圆的概念和有关性质知识总结和例题

1、 圆的概念和有关性质 知识总结和例题圆的旋转定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示确定一个圆的要素:一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小同心圆:圆心相同，半径不同 等圆 : 圆心相同，半径不同圆的集合定义:圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径注意：1.弦和直径都是线段.2. 直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.弧: 圆上任意两

2、点间的部分叫做圆弧，简弧以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆劣弧与优弧：小于半圆的弧叫做劣弧. ;小于半圆的弧叫做劣弧. ;等弧：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.1.一点和O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm, 则这个圆的半径是 2.下面3个命题：半径相等的两个圆是等圆；长度相等的弧是等弧；一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧其中真命题的个数为( )A0个 B1 C2个 D3个3 .如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上，求证：OB=OC. (3) (4

3、) (5) (6）4.如图，在扇形MON中， ，半径MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长5.如图，AB，AC为O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，BC.求证：CEBF.6,如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，A63°，求B的度数圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

4、（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中，辅助线方法：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.1 下列说法正确的是( )A过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C过弦的中点的直径垂直于弦D平分弦所对的两条弧的直径平分弦2如图，在ABC中，已知ACB130°，

5、BAC20°，BC2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 3如图，AB是O的弦，AB长为8，P是O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OCAP于点C，ODPB于点D，则CD的长为 4O的直径为10，弦AB6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是 .5如图，已知O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD.(1)求证：点E是OB的中点；(2)若AB8，求CD的长6已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图所示)(1)求证：ACBD；(2)若大圆的半径R10，小圆的半径r8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长

6、中心对称：所以圆是中心对称图形，圆是旋转对称图形，具有旋转不变性圆心角：顶点在圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧1如图，A，B，C，D是O上的四点，且ADBC，则AB与CD的大小关系为（ ）AAB>CD BABCD CAB<CD D不能确定2已知O中，M为的中点，则下列结论正确的是 ( )AAB2AM BAB2AM CAB2AM DAB与2AM的大小不能确定3如图，AB是半圆O的直径，E是OA的中点，F是OB的中点，MEAB于点E，NFAB于点F.在下列结论中：；MEN

7、F；AEBF；ME2AE.正确的有 4.如图，AB，DE是O的直径，C是O上的一点，且.BE与CE的大小有什么关系？为什么？ （1） （3） （4） （ 5） （6）5如图，M为O上一点，ODAM于点D，OEBM于点E.若ODOE，求证：.6如图，AB是O的直径，COD60°.(1)AOC是等边三角形吗？请说明理由；(2)求证：OCBD.7.如图，A，B，C为圆O上的三等分点(1)求BOC的度数；(2)若AB3，求圆O的半径长及SABC. （7） （8）8如图，AOB90°，C，D是的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F，求证：AEBFCD.圆周角定理圆周角：顶点在

8、圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或 是直径圆周角和直径的关系： 1. 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°2.如图，在O中，BAC50°，则AEC的度数为( )A65° B75° C50° D55°3.如

9、图，已知A，2.B，C，D是O上的四个点，ABBC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分ADC. （2） （3） （5） （6） （7）4.已知O的弦AB的长等于O的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为 5.如图，C经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知OBA30°，点A的坐标为(2，0)，则点D的坐标为 6.如图，在ABC中，ABBC2，以AB为直径的O分别交BC，AC于点D，E，且点D为边BC的中点(1)求BC的长；(2)求BD的长7.如图，O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1） 求DC的长；（2）若ADC的平分线交O于B, 求AB、BC的长 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中， 四边形是内接四边形 1.如图所示，已知圆心角AOB100°，求ACD的度数 （1） （2） （3） (4) 2.如图，C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，BMO120°.求C的半径4.如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD