四年级奥数讲义第七讲包含与排除

1、第七讲 包含与排除（因下讲将要进行考试，本讲设置例题较少，方便教师调控！可适当帮助学生复习知识！） 内容概述同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题：(1) 如右图（1），两个面积都是4厘米2的正方形摆在桌面上，它们遮盖住桌面的面积是8厘米2吗？(2) 如右图（2），一个正方形每条边上有6个点，四条边上一共有24个点吗？聪明的同学马上就会发现：(1) 两个正方形的面积和是8厘米2，现在它们有一部分重叠了。因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米2。(2) 四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复

2、计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有 6×4-420(个)点。这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法。当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素个数。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： |AB|=|A|+|B|-|AB|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。图示如右:A表示小圆部分，B表示大

3、圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积。 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|AB|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）。例题精讲【例1】 某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？分析：讲解此题之前适当进行铺垫！如右图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，

4、B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人。图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28-1216(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29-1217(人)。法1：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有16121745(人)。法2：根据包含排除法，直接可得： 参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人=2829- 1245(人)。小朋友们要学会用图示法帮助自己分析问题。【例2】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？分析：如右图

5、所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数。前100个自然数中能被2整除的数有100÷2=50(个)。由 100÷3 33 1知，前 100个自然数中能被 3整除的数有 33个。由 100÷(2×3) 164知，前 100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个。所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数。根据包含排除法得到，能被2或3整除的数：5033- 1667(个)。【例3】 （第九届“迎春杯”决赛）有一些数字卡片，上面写的数都是

6、3的倍数或4的倍数.其中3的倍数卡片占，4的倍数卡片占，12的倍数卡片有15张.那么，这些卡片一共有_.分析：12的倍数占：+-1= ， 因而卡片共15÷=36（张）.【例4】 在一根长木棍上，有两种刻度线，它们分别将木棍分成10等分、12等分。如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？分析：由于木棍的端点处没有刻度线，所以，不妨设木棍长为60厘米。那么，与两种刻度线相对应的每一份长分别是：60÷10=6（厘米），60÷12=5（厘米），在木棒上是5厘米的刻度线有：12-1=11（条）；在木棒上是6厘米的刻度线有：10-1=9（条）；根据5和6的最小公倍数

7、是30，可算出第一、第二种刻度线重复的条数应是60÷30=2（条），但在木棒上重复的条数是：2-1=1（条），那么刻度线共：（10-1）（12-1）-1=19（条），沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成：19+1=20（段）。想一想：（1）在计算刻度线条数时为什么都要减去1？（2）为什么可设木棍长是60厘米？【例5】 全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，既会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，既不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。问：仅会打羽毛球的有多少人？分析:46-6=40(或者会打羽毛球的,或者会打乒乓球的)；40-7=33(只会打羽毛球的和只会打乒乓球的)；33-18=15

8、(只会打羽毛球的) 。教师为帮助学生形象理解可画图分析。【例6】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？分析：从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数。根据包含排除法知，该班参加美术或音乐小组的人数为：1223-530(人)。所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46-30=16(人)。【例7】 （第二届小学迎春杯数学竞赛）有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语。问既懂英语又懂俄语

9、的有多少人？ 分析：法1 ：在100人中懂英语或俄语的有：100-10=90（人）.又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：90-75=15（人）.从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的83-15=68（人）就是既懂英语又懂俄语的旅客.法2 ：学会把公式进行适当得变换，由容斥原理，得：|AB|=|A|+|B|-|AB|=75+83-90=68（人）。【例8】 （第二届“祖冲之杯”数学邀请赛）某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生.参加语文竞赛有120名女生，80名男生.已知该校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生

10、人数是_人.分析：两科都参加的人数是200+200-260=140（人），两科都参加的女生人数是140-75=65（人），所以只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生是80-65=15（人）.【例9】 三年级科技活动组共有63人。在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人。每个同学都至少完成了一项活动。问：同时完成这两项活动的同学有多少人？分析：因423476，7663，所以必有人同时完成了这两项活动。由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即

11、76-(完成了两项活动的人数)63。由减法运算法则知，完成两项活动的人数为76-6313(人)。也可画图分析。【例10】 （第三届“华杯赛”复赛）某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短跑、游泳、篮球1718156652求这个班的学生数.分析：4+17+18+15中有两项达到优秀的学生被算了2次，应当从统计中去掉1次，成为4+17+18+15-6-6-5但其中三项达到优秀的人，开始被算了3次，然后又被去掉3次，所以应将这部分人数

12、加进来，即全班人数是 4+17+18+15-6-6-5+2=39。注：其实这类问题我们也有公式可以计算。如右图（1），它的面积你能表示出来么？ 我们首先要看清这个图形的正真面目。如右图（2），图中的斜线d部分重叠了3层，a、b、c部分重叠了两层。用AB表示A、B的共有部分面积：a+d的面积 ，那么，图形面积= A+B+C-（AB+AC+BC）+ABC 。让学生理解记忆，并举例巩固一下。【例11】 （第七届“迎春杯”刊赛）在1至100的自然数中，不能被2整除，又不能被3整除，也不能被5整除的数，占这100个自然数的百分之几？分析：1至100中，能被2整除的有100÷2=50个；能被3整

13、除的有33个（100÷3=331）；能被5整除的有100÷5=20个；能被2、3都整除的有16个（100÷6=164）；能被2、5都整除的有100÷10=10个；能被3、5都整除的有6个（100÷15=610）；能被2、3、5都整除的有3个（100÷30=310）；故能被2、3、5中至少一个整除的数有：（50+33+20）-（16+10+6）+3=74。所以，在1至100的自然数中，不能被2整除，又不能被3整除，也不能被5整除的自然数有100-74=26（个）。占这100个自然数的26%。附加题目【附1】 把长38厘米和53厘米的两根

14、铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？分析：焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：3853- 4 87(厘米)。【附2】一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。分析：12×8+10×6-4×4=140（平方厘米）。【附3】一个车间有80个工人，其中每个工人或者会骑车，或者会游泳，或者两样都会。现在知道会骑车的有65人，会骑车又会游泳的有30人，问会游泳的有多少人？分析：80-（65-30）=45人。【附4】1至100的自然数

15、中：（1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？（2）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？分析：（1）是2的倍数又是3的倍数的数有16个；（2）是2的倍数的有：50个，是2的倍数但不是3的倍数的数有50-16=34个 。【附5】（第十届“迎春杯”决赛）有黑白两种棋子共300枚，按每堆3枚分成100堆.其中只有1枚白子的共27堆；有2枚或3枚黑子的共42堆；有3枚白子的与有3枚黑子的堆数相等.那么在全部棋子中，白子共有_枚.分析：按每堆所含白子的枚数分类讨论.只有1枚白子共27堆；有2枚或3枚黑子的共42堆，即有1枚或0枚白子的共42堆；于是有0枚白子的有42-27=15（堆）；因为“有3枚白子

16、的与有3枚黑子（即有0枚白子）的堆数相等”，故有3枚白子的堆数也是15堆；最后，因为总堆数是100，所以有2枚白子的堆数是：100-（15+27+15）= 43 。所以，在全部棋子中，白子共有：0×15+1×27+2×43+3×15=158（枚）。【附6】幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？分析：A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人：43-37=6，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人：58-37=21。教师帮助学生画图分析

17、，清楚的分析每一部分的含义。 习题七1三年级四班组织了一次象棋和军棋的棋类比赛，参加象棋比赛的有35人，参加军棋比赛的有24人，有16人两项比赛都参加了。这个班参加棋类比赛的共有多少人？解答：3524-16=43(人)。2（第七届“迎春杯”刊赛）在春光小学“创造杯”展览会上，展品中有26件不是六年级的，有25件不是五年级的.已知五、六年级展品共35件，那么五年级的展品有_件.解答：依题意，一至四年级与五年级的展品共有26件；一至四年级与六年级的展品共有25件；五、六年级展品共35件；因此全校共有展品：（26+25+35）÷2=43（件），所以五年级的展品有：43-25=18（件）.3

18、.一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了。一班有多少人两项比赛都没有参加？解答：45-(2622-12)=9(人)。4四1班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人。（1）问语文数学都写完的有多少人？（2）只写完语文作业的有多少人？ 解答：（1）8人。（2）30-8=22人。5.在自然数1100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？解答：100÷3=331，100÷5=20，100÷(3×5)610。3320-647。6.在自然数1100中，能被3，4，5中任一个整除的数有多少个？解答：60个。 数学童话伪慈善家大灰狼在一次动物集会上，洋洋得意的说：“在昨天，我把抓到的50只兔子施舍给了10只可怜的狐狸。我不是平均分给它们的，而是根据它们饥饿 不同程度进行施舍的。因此，它们每个得到的兔子只数都不相同。”“50只兔子”，这么大的施舍数目，如此慷慨解囊扶贫济困行为，真是令人望尘莫及。在场的许多肉食动物们听了，都称赞大灰狼这种慈善之举。一时间，大灰狼成了大众关注和称赞的新闻人物。小老虎听了这件事以后，非常生气。他说：“大灰狼是一个伪慈善家，他说的全是谎话！”肉食动物们听了都很吃惊