圆与相似解直角三角形综合题精选有答案

1、解直1. （2012江苏镇江6分）如图，AB是O的直径，DFAB于点D，交弦AC于点E，FC=FE。 （1）求证：FC是O的切线；（2）若O的半径为5，求弦AC的长。【答案】解：（1）连接OC， FC=FE，FCE=FEC（等边对等角）。 OA=OC，OAC=OCA（等边对等角）。 又FEC=AED（对项角相等）， FCE=AED（等量代换）。又DFAB，OACAED=900（直角三角形两锐角互余）。OCAFCE =900（等量代换），即OCF =900。OCCF（垂直定义）。又OC是O的半径，FC是O的切线（切线的定义）。（2）连接BC。 AB是O的直径，ACB=900（直径所对圆周角是直角

2、）。 OB=OC。OBC=OCB（等边对等角）。 OCB=ACBACO=900ACO=OCFACO=FCE， OBC=FCE。 又，。 又O的半径为5，AB=10。 在RtABC中， 。【考点】等腰三角形的性质，对项角的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】（1）要证FC是O的切线，只要FC垂直于过C点的半径，所以作辅助线OC。由已知条件，根据等腰三角形的等边对等角性质，直角三角形两锐角互余的关系，经过等量代换即可得到。 （2）构造直角三角形ABC，由等量代换得到OBC=FCE，从而得到，应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。2

3、（2012四川巴中10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的O经过点D，E是O上一点，且AED=45°。（1）判断CD与O的位置关系，并说明理由；（2）若O的半径为6cm，AE=10cm，求ADE的正弦值。【答案】解：（1）连接BD，OD，AB是直径，ADB=90°。ABD=E=45°，DAB=45°，则AD=BD。ABD是等腰直角三角形。ODAB。又DCAB，ODDC， CD与O相切。（2）过点O作OFAE，连接OE，则AF=AE=×10=5。OA=OE，AOF=AOE。ADE=AOE，ADE=AOF。在RtAOF中，sinAO

4、F=，sinADE= sinAOF =。3（2012福建福州12分）如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交O于点E(1) 求证：AC平分DAB；(2) 若B60º，CD2，求AE的长【答案】解：(1) 证明：如图，连接OC， CD为O的切线， OCCD。 OCD90°。 ADCD， ADC90°。 OCDADC180°。 ADOC。 CADACO。 OAOC， ACOCAO。 CADCAO，即AC平分DAB。(2) AB为O的直径， ACB90°又 B60°，CADCAB30°。在R

5、tACD中，CD2， AC2CD4。在RtABC中，AC4， AB8。连接OE， EAO2CAB60°，OAOE， AOE是等边三角形。 AEOAAB4。【考点】切线的性质，平行的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质。【分析】(1) 连接OC，由CD为O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CD，由AD垂直于CD，可得出OC平行于AD，根据两直线平行内错角相等可得出CADACO，再由OAOC，利用等边对等角得到ACOCAO，等量代换可得出CADCAO，即AC为角平分线。(2)由A

6、B为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出ACB为直角，在RtABC中，由B的度数求出CAB的度数为30°，可得出CAD的度数为30°。在RtACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由CD的长求出AC的长，在RtABC中，根据cos30°及AC的长，利用锐角三角函数定义求出AB的长，从而得出半径OE的长，由EAO为60°，及OEOA，得到AEO为等边三角形，可得出AEOAOE，即可确定出AE的长。相似与圆1 （2012广西北海10分）如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足为D。（1）求证：EACCA

7、B；（2）若CD4，AD8：求O的半径；求tanBAE的值。【答案】（1）证明：连接OC。CD是O的切线，CDOC。又CDAE，OCAE。13。OCOA，23。12，即EACCAB。（2）解：连接BC。AB是O的直径，CDAE于点D，ACBADC90°。12，ACDABC。AC2AD2CD2428280，AB10。O的半径为10÷25。连接CF与BF。四边形ABCF是O的内接四边形，ABCAFC180°。DFCAFC180°，DFCABC。2ABC90°， DFCDCF90°，2DCF。12，1DCF。CDFCDF，DCFDAC。DF

8、2。AFADDF826。AB是O的直径，BFA90°。BF8。tanBAD。【考点】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OC，由CD是O的切线，CDOC，又由CDAE，即可判定OCAE，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得EAC=CAB。（2）连接BC，易证得ACDABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，从而可得O的半径长。 连接CF与BF由四边形ABCF是O的内接四边形，易证得DCFDAC，然后根据相似三角形的对应边成比例，求得AF的长，又由AB是O的直径，即可得B

9、FA是直角，利用勾股定理求得BF的长，即可求得tanBAE的值。2（2012山东聊城10分）如图，O是ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D（1）当点P在什么位置时，DP是O的切线？请说明理由；（2）当DP为O的切线时，求线段DP的长【答案】解：（1）当点P是的中点时，DP是O的切线。理由如下：连接AP。AB=AC，。又，。PA是O的直径。，1=2。又AB=AC，PABC。又DPBC，DPPA。DP是O的切线。（2）连接OB，设PA交BC于点E。由垂径定理，得BE=BC=6。在RtABE中，由勾股定理，得：AE=。设O的半径为r

10、，则OE=8r，在RtOBE中，由勾股定理，得：r2=62+（8r）2，解得r=。DPBC，ABE=D。又1=1，ABEADP，即，解得：。【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据当点P是的中点时，得出，得出PA是O的直径，再利用DPBC，得出DPPA，问题得证。（2）利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出ABEADP，即可得出DP的长。3 . （2012湖北恩施12分）如图，AB是O的弦，D为OA半径的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，交O于点F，且CE=CB（1）求证：BC是O的切线；（2）连接AF，BF

11、，求ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求O的半径【答案】解：（1）证明：连接OB，OB=OA，CE=CB，A=OBA，CEB=ABC。又CDOA，A+AED=A+CEB=90°。OBA+ABC=90°。OBBC。BC是O的切线。（2）连接OF，AF，BF，DA=DO，CDOA，OAF是等边三角形。AOF=60°。ABF=AOF=30°。（3）过点C作CGBE于点G，由CE=CB，EG=BE=5。易证RtADERtCGE，sinECG=sinA=，。又CD=15，CE=13，DE=2，由RtADERtCGE得，即，解得。O的半径为

12、2AD=。【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明OBC=90°即可证明BC是O的切线。（2）连接OF，AF，BF，首先证明OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出ABF的度数。（3）过点C作CGBE于点G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，由RtADERtCGE和勾股定理求出DE=2，由RtADERtCGE求出AD的长，从而求出O的半径。4 （2012江苏泰州12分）如图，已知直线l与O相离，OAl

13、于点A，OA=5，OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=，求O的半径和线段PB的长；【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：连接OB。AB切O于B，OAAC，OBA=OAC=90°。OBP+ABP=90°，ACP+CPB=90°。OP=OB，OBP=OPB。OPB=APC，ACP=ABC。AB=AC。（2）延长AP交O于D，连接BD，设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5r。又PC=， 。由（1）AB=AC得，解得：r=3。AB=AC=4。PD是直径，PBD

14、=90°=PAC。DPB=CPA，DPBCPA。，即，解得。【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出OBA=OAC=90°，推出OBP+ABP=90°，ACP+CPB=90°，求出ACP=ABC，根据等腰三角形的判定推出即可。（2）延长AP交O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5r，根据AB=AC推出，求出r，证DPBCPA，得出 ，代入求出PB即可。（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OEMN，求出OEr，求出r范围，再根据相离得出r5，即可得出答案。15. （2012湖北黄冈8分）如图，在ABC 中，BA=BC，以AB 为直径作半圆O，交AC 于点D.连结DB，过点D 作DEBC，垂足为点E.（1）求证：DE 为O 的切线；（2）求证：DB2=AB·BE.【答案】证明：（1）连接OD、BD，则ADB=90°（圆周角定理），BA=BC，CD=AD（三线合一）。又AO=BO，OD是ABC的中位线。ODBC。DEB=90°，ODE=90°，即ODDE。DE为O的切线。（2）BED=BD