反比例函数与一次函数专题

1、反比例函数与一次函数一、专题考点归纳（一）热点透析反比例函数与一次函数是近几年各地中考的主要考点之一，其中考察的内容主要包括一次函数与反比例函数的基本概念和性质，主要考察利用常用增减性来比较函数值的大小关系，待定系数法来确定函数的表达式，用割补法求平面直角坐标系中的规则或者不规则图形的面积问题，利用数形结合思想灵活运用图象的性质解决相关问题，而反比例函数近年来已经很少单独出现在考题中，更多的是与一次函数，二次函数，以及方程组和不等式，三角形知识结合的综合题以大题或者压轴题的形式出现。（二）知识回顾(一)对知识点的考查：部分省市课标中考涉及的知识点如下表: 序号所考知识点分值1一次函数的性质及相

2、关知识点35分2反比例函数的性质及相关知识点35分3一次函数与反比例函数的综合考察58分(二)考试热点：近几年，在全国各地的中考题中，涉及一次函数、反比例函数的知识较多，尤其是求函数的解析式的考题，利用函数的图象及性质解题几乎每年都有。本节知识仍是中考命题的热点，不乏有创新题、探究题、综合大题屡屡出现。(三)考试命题趋势及学习对策：针对中考命题趋势，掌握一次函数，二次函数，反比例函数的基本概念及性质，对在解题过程中常常使用的待定系数法，数形结合思想，割补法求面积等常用解题技巧要多加熟练。二、高频考点专题链接考点一：一次函数考点分析：1、一次函数的概念：形如y=kx+b (k0, k, b为常数

3、)的函数。 注意：（1）k0,否则自变量x的最高次项的系数不为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 2、图象：一次函数的图象是一条直线， （1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0） （2）由图象可知，直线y=kx+b与直线y=kx平行，及K相等，直线平行。3、性质： (1)图象的位置: (2)增减性 k>0时，y随x增大而增大 ；k<0时，y随x增大而减小 4、求一次函数解析式的方法：常用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已

4、知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程。考点预测：1、会确定函数解析式及求函数值2、会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息3、利用待定系数法求函数解析式4、利用函数的图象和性质解决实际问题考点二、反比例函数考点分析：1、反比例函数的定义一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：x是自变量，y是x的反比例函数；自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分；反比例函数有三种表达式：（）， （）， （定值）（）；2、用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数（）中，只

5、有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。3、反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。4、反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数（）的符号图像性质的取值范围是，y的取值范围是当时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。的取值范围是，y的取值

6、范围是当时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。如在第一、第三象限，则可知。反比例函数（）中比例系数k的绝对值的几何意义。如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，则双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=x。考点预测：（1） 反比例函数的概念，求反比例函数的解析式（2） 反比例函数的图象和性质（3） 反比例函数中的面积问

7、题（4） 与反比例函数有关的综合问题考点三：一次函数与反比例函数的综合考察考点预测：1、求同一坐标系下的图象问题2、求函数解析式3、求点的坐标4、交点问题 与坐标轴的交点问题：令x=0或者y=0 与正比例函数的交点问题：可以利用反比例函数的中心对称性或者联立解方程。 与一次函数的交点问题：列方程组，求公共解，即交点坐标。解决交点问题时，需要注意：（1）直线与双曲线的交点坐标适合直线解析式，也适合双曲线解析式；（2）通过观察图像可以知道在某一自变量范围内，一次函数值与反比例函数值的大小。解题方法：（1）当已知交点求函数解析式时，先将一次函数和反比例函数的解析式设出来，然后把交点坐标代入，求出未知

8、量。（2）对于一次函数值与反比例函数值大小的比较，我们需要观察两者的图像：当直线在双曲线上方时，即一次函数值大于反比例函数值；当直线在双曲线下方时，即一次函数值小于反比例函数值。5、面积问题1、则： 2、设P(m,n)是双曲线上任意一点，有过P分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B则： 3、 则： 注意：对一次函数和反比例函数的考察通常都会以综合的形式出现在考题中，是对这两种函数性质的交叉应用二、经典考题剖析： 考点一：求同一坐标系下的图象问题【考题11】已知函数与在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（ B ）A. B. C. D. 【考题12】（2008年贵港市中考题）在同一

9、直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）A. B. C. D.【考题13】(台州市)反比例函数图象上有三个点，其中，则，的大小关系是( ) A B C D针对性训练： 1.一次函数y=kx+b与反比例函数图象，如图所示，则下列说法正确的是( ) A函数值y随着x的增大而增大 B函数值y随着x的增大而减小Ck0 D它们的自变量x的取值为全体实数2函数的图象如图3所示，则结论：两函数图象的交点的坐标为；当时，；当时，；当逐渐增大图3OxABCy时，随着的增大而增大，随着的增大而减小其中正确结论的序号是 3.已知点A（）、B（）是反比例函数（）图象上的两点，若，则有（）A B C D4.若A(x1，y1)，B(x2，y2)是上的两点，且x1>x2>0，