MATLAB计算方法1-2

1、河海大学计信院河海大学计信院第一章第一章 绪论绪论第二章求方程根的近似方法第二章求方程根的近似方法第三章线性代的方程组解法第三章线性代的方程组解法第四章矩阵特征值和特征向量计算第四章矩阵特征值和特征向量计算第五章插值法第五章插值法第六章第六章最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟合第七章第七章数值积分与数值微分数值积分与数值微分 第八章第八章常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法 计算方法计算方法第一章第一章绪论绪论实际问题数学问题提供计算方法实际问题数学问题提供计算方法程序设计上机计算结果分析程序设计上机计算结果分析0)( xfdxxfba )()0(xxAx0 xAx 0

2、)( xIA0| IA)(xf12 yyy1)0()0( yy1sin2 yyyey 1)0()0( yy 希希 望：望： 求近似解，但方法简单可行，行之有效求近似解，但方法简单可行，行之有效 （计算量小，误差小等）。以计算机为工（计算量小，误差小等）。以计算机为工 具，易在计算机上实现。具，易在计算机上实现。计算机运算计算机运算: 只能进行加，减，乘，除等算术运只能进行加，减，乘，除等算术运 算和一些逻辑运算。算和一些逻辑运算。计算方法：计算方法： 把求解数学问题转化为按一定次序只把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加，减，乘，除等基本运算进行加，减，乘，除等基本运算 数值方法。数值方法。

3、, .!5!3sin53 xxxx.!5)! 3(sin53xxxx一一 .误差来源（分类）误差来源（分类） 1. 模型误差。模型误差。 2. 观测误差。观测误差。 3. 截断误差，如截断误差，如 右端是截断误差。右端是截断误差。)104040000000000.0 000004.1040000040000.1 000004.1)000002.1(0000004.1)000002.1()33333333.031(3333333333.0311222 本本应应本本应应xx*xxxxe *)()| )(|xexxxree*)()( xxe)()()(rxrexxxxx3 3有效数字有效数字设设 若

4、若 (1.1) (1.1)则说则说 具有具有n n位有效数字，分别是位有效数字，分别是 若若 ，则称，则称 为有效数。为有效数。)21.0(10pnaaaaxm ), 0(1 panmxx 1021*xnaaa,21 pn x例例1.11.1 设设 =0.0270 =0.0270是某数是某数 经经“四舍五入四舍五入”所得，所得，则则 误差误差 不超过不超过 末位的半个单位，即：末位的半个单位，即： 又又 , ,故该不等式又可写为故该不等式又可写为 由有效数字定义可知由有效数字定义可知, , 有有3 3位有效数字，分别位有效数字，分别 是是2,72,7，0 0。x)(xe*x41021* xx)

5、270. 0(101 x311021* xxxx例例1.2 1.2 = 32.93, = 32.89, = 32.93, = 32.89, 故故 有有3 3位有效数字，分别是位有效数字，分别是3,23,2，8 8。由于由于 中的数字中的数字9 9不是有效数字，故不是有效数字，故 不是有不是有效数。效数。 1102105. 004. 0* xx321021* xx*xxxx)(xenraxe 1)(10211 nraxe 11)(10211xx 两边除以两边除以 得得 (1.3) (1.3)和（和（1.41.4）给出了由自变量的误差引起的函）给出了由自变量的误差引起的函 数值的误差的近似式（误差

6、传播）。数值的误差的近似式（误差传播）。四、数值运算的误差估计四、数值运算的误差估计 1. 1. 一元函数情形一元函数情形 设设 则则 ，由，由TaylorTaylor展开公式展开公式 ),(xfy )x*x)(x(f)x(f*)x(fy*y)y( e )()()(xexfye)x(rx)x(f)x( f)y(ree )x(fy (1.4)(1.4)x(eeer)x(f)x( xfy)y()y(r )x(fy* （1.3）2. 2. 多元函数情形多元函数情形 设设 ),(21nxxxfy *),*,*,(*21nxxxfy )(),()(211inniixexxxfye )(),(),()(2

7、1211irinninirxexxxxfxxxfye 21,21,2121),(xxxxxxxxf )(21)21(maxirirxexxe 21, xx)2()1()21(xexexxerrr )(2)1()2()1()21(xexexexexxerrrrr , ,则则由多元函数的由多元函数的TaylorTaylor展开公式类似可得展开公式类似可得（1.51.5）（1.61.6）在（在（1.61.6）式中，分别取）式中，分别取, ,可得可得同号 （1.91.9）（1.71.7）（1.81.8）2241 . 01202 . 060| )(| )(| )(|)()()(),()(),()(cmb

8、eaaebsebaeabebebbasaeabasse 解解: : 面积面积s=ab,s=ab,在公式（在公式（1.51.5）中）中, ,将将 换为换为 s=ab, s=ab, 则则),(21xxfy 相对误差限为相对误差限为:%33.06012024|)(|)(| ssesernnnxaxaaxp .)(102)1(.21 nnn01)()0121( uxp,n-n-kaxuuaunkkknn 100111)111() 1(11000110001 nnnnnn89981040000000000. 0101 . 01004. 010 111 xxxx)1(1111 xxxx， 2cos1sin

9、sincos1xtgxxxx或或 当当x x接近于接近于0 0时，应时，应ba 110515nnnIndxxxI1823. 056ln0 I41021 100I1005)1(511nnInI （n=1,2,n=1,2,）是稳定的。是稳定的。用用Matlab实现求积分实现求积分dxxxInn105在在Matlab程序编辑器中输入：程序编辑器中输入：y0=log(6.0/5.0); fprintf(y%d=%fn,0,y0)n=1;while(1) yl=1.0/n-5*y0; fprintf(y%d=%fn,n,yl) if(n=20) break; end y0=yl; n=n+1;end程序

10、运行程序运行结果结果: : f(x)=0f(x)=0根或根或f(x)f(x)零点，当零点，当f(x)f(x)复杂时，很难求复杂时，很难求 （找近似有效简单方法）。（找近似有效简单方法）。 2.1 2.1 区间二分法区间二分法理理 论论 : : f(x) Ca,b,f(x) Ca,b,单调，单调， f(a)f(b)0 f(a)f(b)0 (1,1.5) nx 1.51 x364. 1368. 1360. 1344. 1313. 1375. 125. 18765432 xxxxxxx364.18* xx若取近似根若取近似根2*1021004. 0)360. 1368. 1(21| xx81,102

11、12|21* nabxxn解出对分次数解出对分次数先验估计：先验估计：优点：计算简单优点：计算简单, ,方法可靠方法可靠, ,只要求只要求f f（x x）连续连续. .缺点：收敛慢缺点：收敛慢. .不易求偶数重根，也不能求复根不易求偶数重根，也不能求复根. .从而一般不单独使用，而常用于提供初值的求解。从而一般不单独使用，而常用于提供初值的求解。，则则 （事后估计事后估计）function x=nabisect(fname,a,b,e) %fnamefunction x=nabisect(fname,a,b,e) %fname为内嵌函数为内嵌函数 表达式；表达式；a,ba,b为区间端点；为区间

12、端点；e e为输入定义的精度为输入定义的精度if nargin4,e=1e-4;end; % narginif nargin0,error(fb0,error(函数在两端点值必须异号函数在两端点值必须异号);end );end x=(a+b)/2x=(a+b)/2while (b-a)(2while (b-a)(2* *e)e) fx=feval(fname,x); fx=feval(fname,x); if fa if fa* *fx0,b=x;fb=fx;fx0,b=x;fb=fx; else a=x;fa=fx;end else a=x;fa=fx;end x=(a+b)/2 x=(a+

13、b)/2endend程序如下：程序如下：程序运行程序运行结果：结果：连续）连续），迭代函数迭代函数改写改写建立建立 fxxxf)()(0)(:. 1 01,.)2 , 1 , 0()(xnxxnn )( 取定初值取定初值迭代格式迭代格式 ，则，则若收敛，设极限为若收敛，设极限为迭代序列迭代序列则产生数列则产生数列 )(.,.,121 nnxxxx 一一. 迭代法的建立与收敛性迭代法的建立与收敛性)( )(lim1lim nnnnxx可作为近似值可作为近似值充分大时充分大时之根，故当之根，故当是是即即1,0)( nxnxf )2lg(2100210)( xxxxxxx或或形式不唯一，如：形式不唯

14、一，如：问题：问题： 不同。不同。（计算结果略）收敛性（计算结果略）收敛性取取取取 3)2lg(32100101 xxxxxnnxnn) 1 (032)(2xxxf再如：,)( 1 . 2Thm上具有一阶连续的导数上具有一阶连续的导数在在设设bax 为常数）为常数）LLxbax(1| )( |,)2( *).( *lim)5(1,2,.1|*|1,2,.1|*|3*(,2*,)(1101110 xxxxx kxxLLxx kxxLLxxxxxbaxxbaxxkkkkkkkknn (4) ）（）收敛到）收敛到）（；有唯一根有唯一根在在）方程）方程则：（则：（;)(1bxabxa 时，时，）当）当

15、且满足（且满足（.)(,0)( 1)( ,0)(,0)()(,0)()(),()(唯一唯一故根故根递增，递增，又又使使故至少有故至少有则则设设证：证：xxgxxgxgbaxbbbgaaagxxxg (1) (2) (2) *1xxk ，故收敛。，故收敛。 )(0*0112时时当当 kxxLxxLnk中值定理中值定理*)( *)()(*1xxLxxxxxxkknkk ( )1,.2 , 1*2)( )()(|11|*|*|*|*|*|11111111111 kxxLLxxxxLxxxxxxxxLxxxxxxLxxxxxxxxxxkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk故故（）（）中值定理

16、中值定理又又因而因而-1 (3)(3) ）。）。（得得注意到注意到将上式两端取极限，并将上式两端取极限，并）的证明过程可知，）的证明过程可知，由（由（可得可得式式由（）由（）*lim*,lim)( *2)5(*)4(1101211xxxxxxxxxxxxLLxxLLxxLLxxkkkkkkkkkkkkk 1 11 2 2-k注：注：L L越小，收敛越快。越小，收敛越快。3 3编程停机判断编程停机判断)(1nnxx （取定初值（取定初值0 x）计算，当）计算，当 nnxx1时，由（）时，由（） 3 3 式知式知 L11 *xxn比较小，此时停机，比较小，此时停机，1n x 由由)(*, 1| )

17、( |,*,2 . 200证明略证明略，其迭代公式发散。，其迭代公式发散。且且则对任意初始值则对任意初始值时，时，且当，且当内有根内有根设方程在区间设方程在区间定理定理xxbaxxbaxxba ,.1 , 0)3(21)2(,.1 , 032)1(211 kxxkxxkkkk 位有效数字。内的一个实根，精确至，在区间用迭代法求方程例4 1001) 1( 52xxf(x)解当当时，时，将将方方程程改改写写成成等等价价形形式：式：于于是是有有满满足足定定理理2.2.1 1的的条条件件( (1)1)。但但是是，定定理理2.2.1 1的的条条件件( (2)2)不不能能满满足。足。因因此此需需要要缩缩小

18、小有有根根区区间。间。从从开开始，始，以以为为步步长，长，逐逐步步验验证，证，得得0)6 . 0(, 0)4 . 0(, 0)2 . 0(fff可知方程在区间可知方程在区间6 . 0 , 4 . 0内有内有1 1个实根。当个实根。当6 . 0 , 4 . 0 x时时17289.0)14.0(2)4.0( )( 3x有：有：但是但是6.0,4.05102.0,3906.0)4.0(),6.0()(x继续缩小有效区间为继续缩小有效区间为55. 0 , 4 . 0，则当，则当55. 0 , 4 . 0 x时时55.0,4.05102.0,4612.0)4.0(),55.0()(x有：有：17289.

19、0)4.0( )( x于是根据定理于是根据定理2.12.1，对任意，对任意55. 0 , 4 . 00 x，迭代格式，迭代格式21)1(1kkxx,.2, 1 ,0k收敛收敛代入代入4 . 00 x计算可知，当迭代计算可知，当迭代1818次时，才有次时，才有4 4位位有效数字。取有效数字。取4656. 0*x，其误差不超过，其误差不超过41021的。的。式在的附近是局部收敛式在的附近是局部收敛都收敛，则称该迭代格都收敛，则称该迭代格迭代格式迭代格式内，对任意初值内，对任意初值的某个邻域的某个邻域若在若在对于方程对于方程定义定义)14. 3,.)2 , 1 , 0)(,|*|*),(1 . 21

20、0( ( kxxSxxxxSxxxkk 发散。发散。时，迭代格式时，迭代格式）当）当（局部收敛。局部收敛。时，迭代格式时，迭代格式）当）当（存在一阶连续导数，则存在一阶连续导数，则内内的某个邻域的某个邻域若在若在有根有根设方程设方程定理定理 )14. 3(1|*)( |2)14. 3(1|*)( |1)(|*|*,)(3 . 2 xxxxxxSxxxx 越大，则收敛越快。越大，则收敛越快。阶收敛的。阶收敛的。是是则称序列则称序列使得使得，和正常数和正常数。如果存在非零常数。如果存在非零常数并记并记收敛于收敛于设序列设序列定义定义ppxceepckxxexxkkkkkkk,lim,.)2 , 1

21、 , 0(*,2 . 21 个迭代所需迭代次数。个迭代所需迭代次数。分别估计分别估计精度精度其中其中敛敛比较线性收敛与平方收比较线性收敛与平方收例例2.10,31.21)2(,21)1(:100211 eeeeekkkk 7. 1|*)( |, 1.!*)(*(*lim,), 2 , 1 , 0)(*, 0*)(, 0*)(, 0*)( *,*)()1(*)()(11)()1( xppxxxxxpkxxxxxxxxppxxppkkkkkpp 要求要求如果如果）且有且有阶收敛的阶收敛的是是的初始值，迭代公式的初始值，迭代公式则对一个任意靠近则对一个任意靠近阶连续导数，且阶连续导数，且附近的某个邻

22、域内有附近的某个邻域内有在在若若定理定理 ( 2.4)(展开展开点处点处在在将将Taylorxxfn)( )( )()()(! 2)()( )( )()(2nnnnnnnnxxxfxfxfxxxfxxxfxfxf 近似于近似于0)( xf0)()( )( nnnxxxfxf则则记作记作解出解出,1 nxx) 1 . 2(), 2 , 1 , 0( )( )(1 nxfxfxxnnnn2.2.NewtonNewton迭代法的几何意义迭代法的几何意义 的切线的切线过过) )(,(nnxfx)()( )(nnnxxxfxfy 则则求交点，解出求交点，解出与与,01 nxxy)( )(1nnnnxfx

23、fxx 3. 3. NewtonNewton迭代法收敛定理迭代法收敛定理( (定理定理2.52.5）0)( xf在在 ba,有根有根，且且)(xf在在 ba,（1 1）)(),( xfxf连续，且分别不变号；连续，且分别不变号； bax,0 , ,使使则则 Newton Newton 迭代法产生的数列迭代法产生的数列 1 nx的收敛到根的收敛到根。0)(, 0)(, 0)( 0 xfxfxf 为例证明（其它情况类似）为例证明（其它情况类似） （2 2） 取初值取初值设设0)()(00 xfxf证明略。证明略。将将在在)( f nx处处TaylorTaylor展开展开12122)()( 2)()

24、()( 2)()( )(0)(! 2)()( )()( nnnnnnnnnnnnnnnnxxxffxxxffxfxfxxfxxfxff 说明数列说明数列1nx 有下界有下界 又又nnnnnxxfxfxx )( )(1 故故 1 nx单调递减。单调递减。 1 nx收敛。设收敛。设xxnn 1lim则由（则由（2.12.1），）， xxfxfxfxx, 0)(,)( )(，2.2.定理定理2.62.6线性收敛；线性收敛；则则（且且）（若若。的根的根收敛到收敛到设设)(, 0)(), 2 , 1 , 0()( (1)111xxxxnnnncxxxn 至少二阶收敛。至少二阶收敛。（即（即的单根的单根迭代法求迭代法求则则)0)( 0)( fxfNewton 的条件成立的条件成立）设定理）设定理（5 . 22例例2.22.2 解：设解：设, 0,2 cxcx则则取取cxxf 2)(，则由（，则由（2.12.1）)(2122