定积分的简单应用59717

1、1.7定积分的简单应用课标考纲解读 夺冠学习方略1会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.2. 理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法;3. 掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积。4会用定积分解决简单的物理问题.1.在定积分几何意义的基础上，会应用定积分解决曲线围成的平面图形的面积；2.了解定积分的几何意义及微积分的基本定理；3.会用定积分解决简单实际问题，在解决问题的过程中体会定积分的价值；4. 求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题基础知识基本技能名师解题基础知识1求平面图形的面积由定积分的概念知：求曲边梯形的面积由三条直线，轴及一条

2、曲线围成的曲边梯的面积s=。(1)若在a,b上0则(2) 若在a,b上0则利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：第一步：画出图形，确定图形范围第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置第四步：计算定积分，求出平面图形面积基础知识2变力作功一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs。如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a0当x=0时，t=0；当x=a时，又ds=vdt，故阻力所作的功为19（14分

3、）设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x=t（0t1把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.19解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x）=2ax+b，又已知f（x）=2x+2a=1，b=2.f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有两个相等实根，判别式=44c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依题意，有所求面积=.（3）依题意，有，t3+t2t+=t3t2+t，2t36t2+6t1=0，2（t1）3=1

4、，于是t=1.评述：本题考查导数和积分的基本概念.20如图所示，求抛物线和过它上面的点的切线的垂线所围成的平面图形的面积解：由题意令，所以过点且垂直于过点的抛物线的切线的直线的斜率为其方程为即与抛物线方程联立消去，得，解得或又，所以所求平面图形的面积为3.求曲线与直线所围成的图形的面积解：如图，先求出直线与曲线的交点，由方程组解得故交点坐标为因此，积分区间应分为两部分，且由图象的对称性知，图形在两个积分区间上面积相等故评注：本解法充分利用图形的对称性，减少了运算量.20（14分）抛物线y=ax2bx在第一象限内与直线xy=4相切此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S求使S达到最大值的a、b值，

5、并求Smax20解 依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=b/a，所以(1)又直线xy=4与抛物线y=ax2bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2(b1)x4=0，其判别式必须为0，即(b1)216a=0于是代入（1）式得：，；令S(b)=0；在b0时得唯一驻点b=3，且当0b3时，S(b)0；当b3时，S(b)0故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=1，b=3时，S取得最大值，且例5设点P在曲线上，从原点向A(2，4)移动，如果直线OP、曲线及直线x=2所围成的面积分别记为、(1)当时，求点P的坐标；(2)当有最小值时，求点P的坐标和此时

6、的最小值剖析(1)问题的关键在于P点的位置，因而设P点的坐标，建立直线OP的方程，求出与，由条件即可解出点P的坐标对(2)只要建立起的目标函数，利用导数来求最小值即可。解(1)设点P的横坐标为t(Ot2)，则，直线OP的方程为：y=tx，。，所以，得，点P的坐标为。（2）设，令S=0 得，0t2，时，S0，所以，当时，因此，当点P坐标为(，2)时，有最小值警示本题主要小结利用定积分求曲边梯形面积的方法，前后知识融会贯通是解决这类综合题的基础例6已知y=ax3+bx通过点（1,2），与y=x2+2x有一个交点x1，且a0。（1）求y=ax3+bx与y=x2+2x所围的面积S。（2）a,b为何值时

7、，S取得最小值。剖析先利用定积分求出，然后借助于导数求解最大值与最小值。解（1）按题意，x=1时y=2，故a+b=2,即b=2a,从而y=ax3+bxa(x2-x)+2x与y=x2+2x有交点0及，按条件a0,由此可得1a0,即a1。从上所述y=ax3+bx与y=x2+2x所围的面积S为（2）求出导数，不难看出在上0，在（3，1）上0因此在上S（a）在点x=3处取得最小值，这时b=2a=5，最小值S（3）。警示定积分是最新的内容，与实际问题紧密结合，是大学内容的下放，所以肯定是高考中的重点，而且有可能与其它知识点结合出综合题，因此在复习时应注意。16如图阴影部分是由曲线y，y2x与直线x2，y

8、0围成，则其面积为_答案ln2解析由，得交点A(1,1)由得交点B.故所求面积Sdxdxxlnxln2.18(本题满分12分)求曲线y2xx2，y2x24x所围成图形的面积解析由得x10，x22.由图可知，所求图形的面积为S(2xx2)dx|(2x24x)dx|(2xx2)dx(2x24x)dx.因为2xx2，2x24x，所以S4.基础巩固题：75.若1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，则需要花费的功为(B)A0.05 J B0.5 J C0.25 J D1 J解析：设力Fkx(k是比例系数)，当F1 N时，x0.01 m，可解得k100 N/m，则F100x，所以W1

9、00xdx50x20.5 J.9如图，由曲线yx2和直线yt2(0t1)，x1，x0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是_答案：解析：S(t)(t2x2)dx(x2t2)dxt3t2，S(t)2t(2t1)0，得t为最小值点，此时S(t)min.12(13分)设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2.(1)求yf(x)的表达式；(2)若直线xt(0t1)把yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值解析：(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb，由已知f(x)2x2，所以a1，b2，所以f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个

10、相等的实根所以44c0，即c1.所以f(x)x22x1.(2)依题意知：(x22x1)dxt(x22x1)dx.所以(x3x2x)|1t(x3x2x)|t0所以t3t2tt3t2t，所以2t36t26t10.即2(t1)310.于是t1.答案：A 解析：.强化提高题：1313如图，设点P从原点沿曲线yx2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线yx2及直线x2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1S2，则点P的坐标为_答案：(，)解析：设直线OP的方程为ykx, P点的坐标为(x，y)，则(kxx2)dx(x2kx)dx，即(kx2x3)(x3kx2)，解得kx2x32k(x3kx2)，解得k，

11、即直线OP的方程为yx，所以点P的坐标为(，)12如图所示，抛物线y4x2与直线y3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动(1)求使PAB的面积最大的P点的坐标(a，b)；(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线xa分为面积相等的两部分解：(1)解：解方程组，得x11，x24.抛物线y4x2与直线y3x的交点为A(1,3)，B(4，12)，P点的横坐标a(4,1)点P(a，b)到直线y3x的距离为d，P点在抛物线上，b4a2，da(43aa2)(2a3)0，a，即当a时，d最大，这时b4，P点的坐标为时，PAB的面积最大(2)证明：设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S，位于x右

12、侧的面积为S1，S4(4x23x)dx，S1(4x23x)dx，S2S1，即直线x平分抛物线与线段AB围成的图形的面积7.抛物线y=ax2bx在第一象限内与直线xy=4相切此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S求使S达到最大值的a、b值，并求Smax解 依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=b/a，所以(1)又直线xy=4与抛物线y=ax2bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2(b1)x4=0，其判别式必须为0，即(b1)216a=0于是代入（1）式得：，；令S(b)=0；在b0时得唯一驻点b=3，且当0b3时，S(b)0；当b3时，S(b)0故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=1，b=3时，S取得最大值，且11(20分)(1)求定积分2dx；(2)计算曲线yx22x3与直线yx3所围图形的面积解：(1)设y，即(x3)2y225(y0)dx表示以5为半径的圆的四分之一面积，dx.(2)如右图，设f(x)x3，g(x)x22x3，两函数图象的交点为A，B，由得或曲线yx22x3与直线yx3所围图形的面积Sf(x)g(x)dx(x3)(x22x3)dx(x23x)dx(x3x2).故曲线与直线所围图形的面积为.12(20分)求由曲线yx2和直线x0，x1，yt2，t(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值解：由定