小数乘法的算理

1、例1. 研究小数乘法的算理 同学们学习过小数加、减法，印象最深刻的是小数点对齐，即相同数位对齐。这在小数加、减法计算中是正确的。初步一个因数是小数的小数乘法时，计算时有的同学也这样做。 如： 从表面看很象小数加、减法，小数点对齐。但你仔细想一想，就不对了。 小数乘法的算理是： 8.6扩大10倍是86，86×4344 一个因数不变，另一因数扩大10倍，积也扩大10倍，要得到8.6×4的积，还必须把344缩小10倍，就从积的右边起数出一位，点上小数点。 0.046扩大1000倍是46，46×351610 一个因数扩大1000倍，另一个因数不变，积也扩大1000倍，要得

2、到0.046×35的积，还必须把1610缩小1000倍，就从积的右边起数出三位，点上小数点，消去小数末尾的0。 纵观以上题目，我们明白了算理，可以得出这样的结论： 当一个因数是整数时，另一个因数有一位小数时，积（消去末尾的零以前）就有一位小数。 当一个因数是整数时，另一个因数有两位小数时，积（消去末尾的零以前）就有两位小数。 当一个因数是整数时，另一个因数有三位小数时，积（消去末尾的零以前）就有三位小数。 归纳总结为： 当一个因数是整数时，另一个因数有几位小数，积（消去末尾的零以前）就有几位小数。 例2. 专项训练 小数乘法计算中，确定积的小数点位置是关键，所以我们重点练习这一项。

3、（1）给下面各题的积点上小数点。消去小数末尾的“0”。 （2）根据16×1252000，很快写出下面各题的积。 1.6×1252000.16×12520 16×1.252016×0.1252 1.6×12.5200.016×1252【模拟试题】（答题时间：25分钟） 1. 口算下面各题。 8×0.7125×0.8 2.5×41.5×2 2.5×61.4×3 0.5×400.1×47 19×0.014.69×0 3.5×

4、;1007×0.9 2. 计算下面各题。 0.37×42125×0.12 206×3.20.15×24 1.65×280.325×18 0.025×240.017×13 1.072×1592×0.025 3. 列式计算。 （1）8乘0.34的积是多少？ （2）0.38的5倍是多少？ 4. 想一想积里应该有（ ）位小数。 35.6×1.20.045×2.9 3.56×1.20.45×0.29 0.356×1.20.045×0.2

5、9 3.56×0.124.5×0.029【试题答案】 1. 口算下面各题。 8×0.75.6125×0.8100 2.5×4101.5×23 2.5×6151.4×34.2 0.5×4020 0.1×474.7 19×0.010.194.69×00 3.5×1003507×0.96.3 2. 计算下面各题。 0.37×4215.54125×0.1215 206×3.2659.20.15×243.6 1.65×

6、;2846.20.325×185.85 0.025×240.60.017×130.221 1.072×1516.0892×0.02523 3. 列式计算。 （1）8乘0.34的积是多少？ 8×0.342.72 （2）0.38的5倍是多少？ 0.38×51.9 4. 想一想积里应该有（ ）位小数。 35.6×1.22位0.045×2.94位 3.56×1.23位0.45×0.294位 0.356×1.24位 0.045×0.295位 3.56×0.124位

7、4.5×0.0294位舍五入”法截取积的近似数求积的近似数，先算出积，然后看需要保留数位的下一位，再按照“四舍五入”的方法求出结果，用约等于号连接。2、小数的连乘、乘加、乘减连乘按照从左往右的顺序计算；乘加、乘减混合运算，有括号的先算括号里的，再算括号外面的；没有括号的，先算乘法，后算加减法。3、应用乘法运算定律进行小数的简便运算乘法运算定律：乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。a×bb×a乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 (a×b)×ca×(b×c)乘法的分配律：

8、两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变。 a×(bc)a×ba×c典型例题【方法应用题】例1：下面保留两位小数错误的是（ ）A. 5.3745.37 B. 2.9953.00C. 8.1058.10. 5.6725.67思路分析：1）题意分析：这道题让我们用四舍五入法截取积的近似数，请同学们注意题目让我们选择的是错误的，千万不要一看到正确的选项就填写上去，认真审题对于把题答正确十分重要.2）解题思路：用四舍五入法取积的近似数我们要知道：看需要保留数位的下一位所看数位上的数字和5比较，等于5或大于5，向前一位进一 小于5，

9、舍去不要。截取积的近似数要使用约等于号。解答过程：A、5.374保留两位小数，看千分位上的4，4<5，舍去不要，所以是5.37，用约等于号连接，此题正确。B、2.995保留两位小数，看千分位上的5，55，向百分位进一，百分位上的9加上进位的1等于10，向十分位进一，十分位上的9加上进位的1满十，向个位进一，个位的2加上进位的1等于3，因为是保留两位小数，所以十分位百分位的0要保留，用约等于号连接，此题正确。C、8.105保留两位小数，看千分位上的5，55，向百分位进一，百分位上的0加上进位的1等于1，8.105保留两位小数后应该是8.11.而答案是8.10，因为它是从百分位四舍五入，所以

10、是错误的。请同学们一定要牢记，四舍五入要比要求的多看一位。此题错误。D、5.672保留两位小数，看千分位上的2，2<5，舍去不要，所以是5.67，用约等于号连接，此题正确。应选择C解题后的思考：此题是对用“四舍五入”法求一个数的近似数的考查。包含了舍去、向前一位进一、连续进位等几种情况，考查类型比较全面。同学们最容易出现的错误就是把数位看错、连续进位忘记写0。所以请同学们牢牢把握好“四舍五入”的要求：看需要保留数位的下一位，若是大于等于5则前进1，若是小于5则全舍掉，连续进位留着0，符号要用约等于。例2：你来试一试 在下面的里最小能填几？ 1.992.00思路分析：1）题意分析： 这是一

11、道用“四舍五入”法求一个数的近似数的题目。已知近似数2.00是1.99四舍五入得到的。要求里最小能填几，而不是随意填一个数就可以，需要同学们注意。2）解题思路：观察两个数字，判断是四舍得到的，还是五入得到的；划定数字的范围按要求选择数字解答过程： 观察这两个数我们可以知道，2.是1.99五入得到的，所以里可以填5，6，7，8，9，在这五个数中最小的是5，所以里填5.解题后的思考：此类题目要认真审题，确定是求最大的，还是求最小的。判断出是四舍还是五入对于此类题十分关键。如果是五入，就要从59这五个数字中去选；如果是四舍，就从04这五个数字中去选。在此提醒同学们千万不要把0给忘了。例3：你会做吗3

12、.75×3162.5×3.1思路分析：1）题意分析：此题是考查小数的简便运算。题目适用的是乘法分配律a×ba×ca×(bc)2）解题思路：初看题目，好像不能够简算，但仔细观察就会发现，在相加的两个乘法算式中31和3.1相似，联系乘法中积不变的规律：一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。因此可以利用这条规律使31变成3.1，（或使3.1变成31），且又能使结果保持不变。解答过程：方法一：方法二：3.75×3162.5×3.1 3.75×3162.5×3.1 （3.75×10）

13、5;（31÷10）62.5×3.1 3.75×31（62.5÷10）×（3.1×10）37.5×3.162.5×3.1 3.75×316.25×31（37.562.5）×3.1 （3.756.25）×31100×3.1 10×31310 310解题后的思考： 一道题能不能简算，同学们要注意观察每一个数字，找到数字之间的内在联系。乘法的各条定律要灵活运用。例4：3.8×5.42.7×2.4思路分析：1）题意分析：此题考查的是小数的简便运算

14、。需要同学们仔细观察每个数有什么特征。2）解题思路：四个数没有相同数字，关联不明显。但是注意观察5.4和2.7，我们会发现5.42×2.7，这样此题就可以进行简算了解答过程：3.8×5.42.7×2.43.8×2×2.72.7×2.47.6×2.72.7×2.4(7.62.4) ×2.710×2.727解题后的思考：为了使题目能够简算，我们可以先用计算、拆分或重组等方法进行转化，然后根据数，选择合适的方法进行简算。【综合运用题】例5：妈妈各买了3.6斤的和 鲤鱼每斤4.76元 草鱼每斤3.88元

15、.妈妈一共花了多少元钱？思路分析：1）题意分析：此题是考查小数乘法的应用题，要结合生活实际保留小数。2）解题思路：此题求总价，就要知道单价和数量是多少。根据总价单价×数量进行计算。解答过程： 解法一：一斤草鱼和一斤鲤鱼一共多少元钱？4.763.888.64（元）妈妈一共花了多少元钱？8.64×3.631.10431.10（元）答：妈妈一共花了31.10元钱。解法二：3.6斤鲤鱼多少元钱？4.76×3.617.136（元）3.6斤草鱼多少元钱？3.88×3.613.968（元）妈妈一共花了多少元钱？17.13613.96831.10431.10（元）答：妈

16、妈一共花了31.10元钱。解题后的思考：在解题过程中要认真审题，理清数量关系。此题虽然没有要求保留小数，但是结合生活实际，在交易时我们用到的最小的货币单位是分，也就是以元为单位的话，数据最多只能到小数点后面的第二位，所以我们保留了两位小数。【思维突破题】挑战自我例6：比较下面两个积的大小。A1.29×3.21B1.28×3.22 思路分析：1）题意分析：这两道算式要求比较积的大小，需要我们分别算出它们的积是多少，但这样显然太麻烦了。仔细观察，我们发现这两道算式中两个因数的和是一样的，那么我们就可以应用我们学过的规律来解决，使问题简单化。2）解题思路：应用的规律：在和一定的情

17、况下，两个数如果越接近，这两个数的乘积就越大。我们就根据这条规律来比较数的大小。解答过程： 因为1.293.211.283.22 3.211.291.92 3.221.281.94 1.921.94所以AB解题后的思考：对于这种看似比较繁琐的题目，同学们要开动脑筋，结合我们学过的知识，由难变易，由繁变简。例7：100999897969594934321 思路分析：1）题意分析：题目要求简算，可是数目多，需要同学们动脑筋想一想数字、运算符号各有什么特点？2）解题思路：题目中的数是100、99、98、971，运算符号依次是，我们可以把四个数看成一组，即100999897，96959493，4321

18、，总共100个数，正好25组，而且每组的得数都是4，一共25个4。解答过程：100999897969594934321（100999897）（96959493）(4321)4×25100解题后的思考： 一道计算题能否巧算，要仔细审题，看清数字特点，如果是加减法算式，要尽量凑成整十整百的数再运算；如果是乘除法计算，就要多考虑运算定律，看能否根据运算定律进行简便运算；如果是很多数的运算，就要想怎样分组能够简便计算。提分技巧 主要是将应试策略、思想方法、易错难点或者方法小结以文字形式进行归纳总结。 小数乘法中求积的近似数以及四则运算和简算，都是在整数乘法的基础上进行了迁移，所以本讲知识在理

19、解时并不难，只是在运用的过程中，同学们要根据题目把握住基本要求，灵活运用所学，保证计算准确。预习导学一、预习新知请你认真看一看小数乘法这一单元，想一想这一单元都包括哪些内容？ 二、预习点拨探究与反思请你将这一单元所学知识用表格、枝形图等形式表示出来。同步练习（答题时间：45分钟）一、选择正确答案，将序号填在括号里。1、下面保留两位小数错误的是（ ）A. 1.7341.73 B. 5.0765.08C. 39.99540 D. 4.0894.092、与1.01×4.3得数相等的算式是（ ）A. 1×4.30.01 B. 1.01×40.3 C. 1×4.3

20、0.01×4.3 3、积与1.872相等的算式是（ ）A. 5.2×0.36 B. 52×0.36C. 0.52×0.36 D. 520×0.036二、下面的计算对吗？对的打，错的打×，并改正过来。1、3.5×1.60.6 3.5×13.5 （ ） 2、0.25×4.40.25×40.2510.251.25 （ ） 三、计算下面各题，能简算的要简算。1、5.84.2×18 2、2.14×992.14 *3、3.75×1862.5×1.8 *4、1.39&#

21、215;(1883) *5、7.4×2.52.5×5.2÷2 *6、4.9×9.9四、计算下面各题，得数保留两位小数。 0.46×1.8 0.86×4.7五、解决问题1、1990年我国城市公园面积有3.9万公顷，2003年我国城市公园面积是1990年的2.9倍。2003年我国城市公园面积大约有多少万公顷？（得数保留一位小数）2、 电饱煲售价188.8元，电冰箱的价钱是一只电饭煲价钱的16倍，买这样的5只电饭煲和5台冰箱共需付多少钱？【试题答案】一、选择正确答案，将序号填在括号里。1、下面保留两位小数错误的是（ C ）A. 1.7341

22、.73 B. 5.0765.08C. 39.99540 D. 4.0894.092、与1.01×4.3得数相等的算式是（ C ）A. 1×4.30.01 B. 1.01×40.3 C. 1×4.30.01×4.33、积与1.872相等的算式是（ A ）A. 5.2×0.36 B. 52×0.36C. 0.52×0.36 D. 520×0.036二、下面的计算对吗？对的打，错的打×，并改正过来。 3.5×1.60.6 3.5×1.60.6 3.5×1 5.60.6 3

23、.5 （ × ） 5 0.25×4.4 0.25×4.40.25×40.25 0.25×40.25×0.410.25 10.11.25 （ × ） 1.1 三、计算下面各题，能简算的要简算。1、5.84.2×18 2、2.14×992.14 5.875.6 2.14×（991）81.4 2.14×100 214*3、3.75×1862.5×1.8 解析：此题初看无法简算，但仔细观察可以看到两个乘法算式中分别有18和1.8，我们根据积不变的规律，可以将18变成1.8，

24、或将1.8变成18。这样利用乘法分配律就可以进行简算了。解法一3.75×1862.5×1.8 （3.75×10）×（18÷10）62.5×1.8 37.5×1.862.5×1.8(37.562.5)×1.8100×1.8180解法二3.75×1862.5×1.8 3.75×18（62.5÷10）×（1.8×10） 3.75×186.25×18(3.756.25)×1810×18180*4、1.39

25、×(1883) 解析：此题初看无法简算，但我们可以发现1883101，这时就可以用乘法分配律进行简算了。1.39×(1883) 1.39×101 1.39×(1001) 1.39×1001.39×1 1391.39 140.39*5、7.4×2.52.5×5.2÷2解析：此题如果按运算顺序做则无法简算，但我们可以发现算式中都有2.5。这时我们先做除法，就可以进行简算了。 7.4×2.52.5×5.2÷2 7.4×2.52.5×2.6 （7.42.6）

26、15;2.5 10×2.5 25*6、4.9×9.9 解析：此题可以将4.9看成5，或将9.9看成10进行简算。两相比较把9.9看成10计算会更简便。 4.9×9.9 4.9×（100.1） 4.9×104.9×0.1 490.49 48.51四、计算下面各题，得数保留两位小数。 0.46×1.80.83 0.86×4.74.04五、解决问题1、1990年我国城市公园面积有3.9万公顷，2003年我国城市公园面积是1990年的2.9倍。2003年我国城市公园面积大约有多少万公顷？（得数保留一位小数）3.9×

27、;2.911.3（万公顷）2、 电饭煲售价188.8元，是一只电饭煲价钱的16倍，买这样的5只电饭煲和5台冰箱共需付多少钱？188.8×163020.8（元）（188.83020.8）×53209.6×516048（元）二. 学习要点： 对第一单元进行知识整理：重点：学习对单元知识整理的方法。难点：灵活解决问题 计算中一些技巧：重点：理解计算技巧的道理难点：在解决问题的过程中正确地运用。知识教学一、对第一单元的知识进行整理。（一）按照知识的学习顺序进行整理。1、小数乘法的计算方法（1）按照整数乘法的计算方法进行。（2）进行积的处理。（点小数点）（3）进行结果的处理

28、。（最简）例1：0.126×506.3提示：当数位不够的时候，要用0占位。2、求积的近似值方法：看规定保留位数的下一位，用四舍五入的方法进行保留例2：（1）2.9495（保留一位小数）2.9（2）3.9504（保留三位小数）3.950（3）4.9983（保留两位小数）5.00（4）5.8092（保留整数）6提示：在这里，末尾的0表示精确到的位置，所以不能省略。3、连乘、连加、乘减，整数乘法运算定律推广到小数方法：同整数的运算顺序相同，同整数乘法运算定律使用方法也是相同的。教学：分辨下面题目能否进行简算。例3：（1）27×0.72×0.4 （2）1.280.72&#

29、215;0.5 （3）2.5×1.71.3×2.5 （4）9.8×0.77.9×0.3思考：这些题哪些能进行简算?（3）2.5×1.71.3×2.5（1.71.3） ×2.50.4×2.51分析：符合运算的规律，可以运用乘法的分配律进行简算。（2）1.280.72×0.5（4）9.8×0.77.9×0.3分析：虽然数字可以结合成整数，但不符合运算定律，所以，不能进行简算。例4：解决实际问题：一家三口，每天要喝三袋鲜奶，每袋的零售价是0.85元，如果在牛奶销售点定，每袋0.83元，比零买

30、可少花多少元？解法（一）：0.85×3×310.83×3×31解法（二）：（0.850.83）×3×314、按照新旧知识之间的对比进行知识的整理。整数乘法小数乘法计算方法同：方法同整数计算方法。异：处理积的小数点结果同被乘数比较结果肯定比被乘数大关键在乘数乘数1，积被乘数乘数1，积被乘数乘数1，积被乘数二、教学：一些简算的技巧。1、教学：口算中的一些技巧。例1：（1）2.5×0.10.25 34×0.13.4 0.11×0.10.011小结：乘0.1，只要把被乘数的小数点向左移动一位。（2）2.5

31、5;0.010.025 34×0.010.34 0.11×0.010.0011小结：乘0.01，只要把被乘数的小数点向左移动两位。思考：如果乘0.001，怎么办？2、教学：计算中的一些技巧。例2：（1）438.9×5 438.9 ×10÷2 2194.5分析：由于510÷2，因此，可以先把438.9乘10，再除以2，所得到的商就是438.9与5的积。 574.62×25574.62×100÷457462÷414365.5 分析：由于25100÷4，因此，可以先把574.62乘100，再

32、除以4，所得到的商就是574.62 与25的积。 3、教学：简算中的一些技巧。例3：9.9×5.30.53 9.9×5.35.3×0.1 （9.90.1）×5.3 10×5.3 53提示：根据数字的特点，在符合运算定律的前提下进行转化。在完全符合的情况下，再进行简算。【模拟试题】（答题时间：30分钟）1、根据36×17612，很快写出下面各式的积。（1）0.36×17 （2）3.6×1.7 （3）3.6×0.17（4）0.36×0.17 （5）360×0.17 （6）0.036×1.72、用竖式计算下面各题。（1）2.35×1.6（2）2.7×2403、用竖式计算下面的题目，得数保留两位小数。（1）1.72×0.19（2）0.28×3.234、用脱式进行计算。（1）1.8×0.15×0.6（2）6.4×3.28.95、用简便方法计算下面的题目。（1）0.25×2.6×4（2）7.09×5545×7.09（3）3.8×101（4）5.6