定积分及其应用61626

1、第5章 定积分及其应用在科学技术和现实生活的许多问题中,经常需要计算某些“和式的极限”.定积分就是从各种计算“和式的极限”问题抽象出来的数学概念,它与不定积分是两个不同的数学概念.但是,微积分基本定理则把这两个概念联系起来,解决了定积分的计算问题,使定积分得到了广泛的应用.本章将从两个实例出发引出定积分的概念然后讨论定积分的性质和计算方法,最后还将介绍广义积分的概念及其计算.本章的主要内容包括:定积分的概念和性质;牛顿-莱布尼兹公式;定积分的换元法与分部积分法;广义积分.5.1 定积分的概念与性质教学目的和要求：理解定积分的概念；了解定积分的几何意义，会用定积分表示曲边梯形的面积。重点与难点：

2、定积分概念与性质、定积分的几何意义 两个实例1.求曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y=f(x)在区间a,b上非负、连续. 由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.xy0y=f(x)ABxi-1xia=x0xn=bixy0aby=f(x)ABx=ax=b 怎样计算曲边梯形的面积呢? 将区间划分为许多小区间,相应地曲边梯形就被分割成许多小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个小矩形近似代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 当把区间无限细分下去,使每个小区间的长度都趋向于零时,所有

3、小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积.根据上面的分析,可按下面四个步骤计算曲边梯形的面积A.(1) 分割在区间a,b中任意插入若干个分点a=x0<x1<x2<×××<xn-1<xn=b, 把a,b分成n个小区间:x0,x1, x1,x2, x2,x3,×××, xn-1,xn, 它们的长度依次为x1= x1-x0,x2= x2-x1,×××,xn= xn-xn-1.经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n个小曲边梯形. 小曲边梯形的面积记为.(2)近似代替在

4、每个小区间xi-1,xi上任取一点 , 以xi-1,xi为底、f ()为高的小矩形的面积近似替代第i个小曲边梯形的面积(i=1, 2,×××,n) , 即(3)求和把这样得到的n个小矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值, 即»f (1)x1+f (2)x2+×××+ f (n)xn. (4)取极限 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记l=maxx1,x2,&

5、#215;××,xn, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令l®0. 所以曲边梯形的面积为.结论:曲边梯形的面积为一个和式的极限.2. 求变速直线运动的路程设物体作变速直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔T 1,T 2上t的连续函数, 且v(t)³0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S.引例2与引例1情况类似,由于速度是变化的,不能按不变(匀速)的情况去处理,我们仍用上面四个步骤去解决这个问题. (1)分割 用分点T1=t0<t1<t2<×××<tn-1<tn

6、=T2把时间区间T 1,T 2分成n 个小区间:t0,t1, t1,t2, t2,t3,×××, tn-1,tn, 这些小区间的长度(时间间隔)记为: .在各段时间内物体经过的路程依次为S 1,S 2,×××,S n.(2)近似代替任取,用点的速度近似代替物体在上的速度,那么物体在时间区间上经过的路程近似为,即(3)求和物体在T 1,T 2内所经过的路程.(4)取极限 记l= maxt 1,t 2,×××,tn, 当l®0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程.结论:变速直线运动的路程

7、为一个和式的极限.上面两个例子,虽然实际意义不同,但是解决问题的数学方法是相同的,并且最后所得到的结果都归结为和式的极限.在科学技术中有许多实际问题也是归结为和式的极限.抛开实际问题的具体意义,数学上把这类和式的极限叫做定积分. 定积分的概念 定义 设函数f(x)在a,b上有界, 在a,b中任意插入若干个分点a=x0<x1<x2<×××<xn-1<xn=b,把区间a,b分成n个小区间:x0,x1, x1,x2,×××, xn-1,xn , 称为子区间,各小段区间的长依次为x1=x1-x0,x2=x2-x1

8、,×××,xn=xn-xn-1.在每个小区间xi-1,xi上任取一个点, 作函数值f (i)与小区间长度xi的乘积f (i)xi (i=1, 2,×××,n) , 并作出和.记l= maxx1,x2,×××,xn, 如果不论对a,b怎样分法, 也不论在小区间xi-1,xi上点i 怎样取法, 只要当l®0时, 上述和式的极限都存在, 则称函数f (x)在区间a,b上可积, 此极限值叫做函数f (x)在区间a,b上的定积分,记作, 即.其中f (x)叫做被积函数,f (x)dx叫做被积表达式,x叫做

9、积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限, a,b叫做积分区间.根据定积分的定义 曲边梯形的面积为; 变速直线运动的路程为. 说明: (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即. (2)定积分的值与对区间a,b的分法及的取法无关. (3)如果f (x)在区间a,b上连续, 那么f (x) 在a,b上可积.定积分的几何意义xyaA0y=f(x)bB 当f(x)³0时, 积分在几何上表示由曲线y=f (x)、两条直线x=a、x=b 与x轴所围成的曲边梯形的面积; 当f(x)£0时, 由曲线y=f (x)、两条直线x=a、x=b 与x轴所围成的

10、曲边梯形位于x轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;.当f (x)既取得正值又取得负值时,函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方,而其它部分在x轴的下方.如果我们对面积赋以正负号,在x轴上方的图形面积赋以正号,在x轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分的几何意义为: 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和.定积分的性质 两点规定: (1)当a=b时,. (2)当a> b时,.性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即.这个性质还可推广到有限多个函数的情形.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面

11、 即.性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即 .这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性.值得注意的是不论a,b,c的相对位置如何总有等式成立.性质4 如果在区间ab上f (x)º1 则.性质5 如果在区间a, b上 f (x)³0, 则(a<b).推论1 如果在区间a, b上 f (x)£g(x) 则(a<b).这是因为g(x)-f(x)³0, 从而, 所以.推论2(a<b).这是因为-|f (x)| £f (x) £ |f (x)|, 所以,即| .性质6 (估值

12、定理)设M 及m 分别是函数f(x)在区间a, b上的最大值及最小值, 则(a<b).证明 因为 m£f (x)£M, 所以,从而.性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则在积分区间a, b上至少存在一个点, 使下式成立:.证明 由性质6 ,各项除以b-a 得,再由连续函数的介值定理, 在a, b上至少存在一点, 使,于是两端乘以b-a得中值公式.例1.比较下列各积分值的大小:(1)与 (2) 与解 (1)因为在0,1上,所以.(2) 因为在0,1上,所以.例2.估计定积分的值的范围.解 设,因为,所以在-1,1上单调减少,从而,因此由

13、估值定理有:. 内容小结1. 定积分的概念2. 定积分的几何意义3. 定积分的性质自测题5.1一、选择题 1、函数f(x)在a,b上连续是存在的A充分条件 B.必要条件 C. 充要条件 D.既非充分也非必要 2、设函数f(x)在a,b上连续，且= 0，则A对一切f(x)及a ,b都成立 B.当a > b时才成立C在f(x) = 0 时才成立 D.当a < b时才成立3、由曲线y = sinx，y = cosx和直线x = 0, x = 所围成的平面图形的面积，用定积分表示为A B.+C. D.+4、定积分是Af(x)的一个原函数 B. f(x)的全体原函数C任意常数 D.确定常数5

14、、设函数f(x)在a,b上连续，则的值是= A.小于0 B. .大于0 C. 等于0 D.不能确定二、判断题1、= 0。 （ ）2、定积分的值只与被积函数有关，与积分变量无关。（ ）3、 + 。（ ）4、y = 1, x = 1 ,y = 0 所围成的图形面积为。（ ）5、。（ ）5. 2牛顿-莱布尼茨公式教学目的和要求：了解变上限的定积分的概念和性质；熟练掌握牛顿莱布尼兹公式重点与难点：变上限的定积分的概念和性质；牛顿莱布尼兹公式复习：1、不定积分的定义；2、积分与导数的关系。应用定义去求定积分,尽管被积函数很简单,也是一件比较困难的事.所以,需要寻找简便而有效的计算方法,这就是牛顿莱布尼兹

15、公式. 设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻所经过的路程为S(t), 速度为v=v(t)=S¢(t)(v(t)³0), 则在时间间隔T1,T2内物体所经过的路程S可表示为及,即. 上式表明, 速度函数v(t)在区间T1,T2上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间T1,T2上的增量.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢变上限的定积分设函数f(x) 在区间a,b上连续，对任意的xa,b, f(x) 在区间a,x上也连续。所以函数f(x) 在区间a,b上也可积。定积分的值依赖上限x，因此它也是定义在a,b上的函数，记作则叫做变上限的定积分。定理1 若函数f(x)

16、在区间a,b上连续，则变上限的定积分在区间a,b上可导，并且它的导数等于被积函数，即证明（略）由定理可知，如果函数f(x) 在区间a,b上连续，则变上限的定积分就是f(x) 在区间a,b上的一个原函数，即连续函数的原函数一定存在。例1、计算：。解：= 。例2、已知F(x)=,求F(x)。解：F(x)= =。例3、设y = ,求。解：积分上限是x的函数，所以变上限的定积分是x的复合函数，由复合函数求导法则 =。牛顿-莱布尼茨公式 定理2 如果函数F (x) 区间a,b上连续，F (x)是f(x)在区间a,b上的一个原函数, 则.此公式称为牛顿-莱布尼茨公式, 也称为微积分基本公式. 证明: 已知

17、函数F(x) 是连续函数f(x) 的一个原函数, 又根据定理1, 积分上限函数F(x)=也是f(x)的一个原函数. 于是有一常数C, 使F(x)-F(x)=C (a£x£b).当x=a时, 有F(a)-F(a)=C, 而F(a)=0, 所以C=F(a); 当x=b 时,F(b)-F(b)=F(a),所以F(b)=F(b)-F(a), 即.为了方便起见, 可把F(b)-F(a)记成, 于是.进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.例1 计算.解：.例2. 计算下列定积分:(1) (2) (3) (4) (5) 解:(1) (2) =(3)=(4) =+ =+

18、 =+=(5)=- =-=内容小结：1、变上限的定积分 2、牛顿-莱布尼茨公式自测题5.2一、选择题1、设函数F (x) 区间a,b上连续，,则下式中是f(x)一个原函数的是A. B. C. D.2、下列积分中可用牛顿-莱布尼茨公式计算的是A B. C. D.3、下列等式不正确的是A. B.C. D.4、的值等于A B.0 C.1 D.25、= A2（ B. C.( D.二、填空题1、2、已知3、4、若f(x)=5、5. 3 定积分的换元法和分部积分法教学目的和要求： 熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法，会求定积分重点与难点：定积分的换元积分法和分部积分法复习：不定积分的换元法和分部积分法

19、定积分的换元积分法 定理 假设函数f(x)在区间a,b上连续, 函数x=j(t)满足条件: (1)j(a )=a,j(b)=b; 当t在a,b上变化时,j(t)在a,b上变化. (2)j(t)在a,b上单调且有连续导数. 则有. 这个公式叫做定积分的换元公式,可以把f(x)在区间a,b上的定积分转化为f j(t)j¢(t)在a,b(这里a不一定小于b)上的定积分. 例1 计算. 解 令,则, ;当x=0时t=0, 当x=1时;= 例2 计算. 解 令,则;当x=0时t=0, 当x=4时,t=2;=4-2ln3 例3 计算. 解 令,则;当x=ln3时t=2,当x=ln8时,t=3;=

20、例4 设函数f(x)在-a,a上连续(a>0),证明:(1) 若f (x)在-a,a上为偶函数, 则.(2) 若f(x)在-a,a上为奇函数, 问0. 证明 因为,而 ,所以 .(1)若f (x)在-a,a上为偶函数,则=(2)若f (x)在-a,a上为奇函数,则=0在计算对称区间上的积分时,如能判断被积函数的奇偶性,可使计算简化.分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区间a,b上具有连续导数u¢(x)、v¢(x), 由(uv)¢=u¢v+uv¢得uv¢=uv-u¢v, 等式两端在区间a,b上积分得,.或 这就是定积分

21、的分部积分公式.例5 计算下列积分:(1) (2) (3) 解:（1）=（2）=(3) =课堂练习:P862（3）、（4） P861（3）、(5)、(7)、（9）（30）5.3.3 内容小结1、定积分的换元积分法2、定积分的分部积分法自测题5.3一、选择题1、Aln B. ln C. ln D. ln2、计算定积分应作代换A.x = asecx B.x = asinx C.x=tanx D.x = atanx3、A. B. C. D.4、设，则的值等于A.0 B.8 C. D.25、A B. C.D.二、计算下列各积分、（、5. 广义积分复习：1、函数极限的定义；2、函数极限的计算；3、牛顿-

22、莱布尼兹公式。教学目的和要求： 了解广义积分的概念；会判断较简单的广义积分的的敛散性，掌握用“p_积分”判断广义积分的敛散性.重点与难点：广义积分的概念和敛散性的判定。在前面所讨论的定积分,我们总是假定函数区间a,b上连续或有有限个第一类间断点,而a和b都是有限数,这些积分都属于常义(通常意义)积分的范围.在实际问题中还常遇到积分区间是无限或被积函数在有限区间上是无界的情形,前者叫无穷区间上的积分,后者叫无界函数的积分,两者都叫广义积分.无限区间上的广义积分例1 求由曲线,轴及轴所围成的开口的曲边梯形(图1)的面积S.xyoA(0,1)bBy=e-x解 如果按定积分的几何意义,所求的开口曲边梯

23、形的面积S应是一个无穷区间的积分.解决这个问题的思路是:任取,先求曲边梯形obBA面积.而这个面积为.再让,曲边梯形obBA的面积的极限值就是开口曲边梯形的面积S,即定义1 设函数f(x)在区间a,+¥上连续, 取b>a. 如果极限 存在, 则称此极限为函数f(x)在无穷区间a,+¥上的广义积分, 记作, 即.这时也称广义积分收敛. 如果上述极限不存在, 函数f(x)在无穷区间a,+¥上的广义积分就没有意义, 此时称广义积分发散. 类似地, 设函数f(x)在区间(-¥,b )上连续, 如果极限(a<b)存在, 则称此极限为函数f(x)在无穷区

24、间(-¥,b )上的广义积分, 记作, 即.这时也称广义积分收敛. 如果上述极限不存在, 则称广义积分发散. 设函数f(x)在区间(-¥,+¥)上连续, 如果广义积分和都收敛, 则称上述两个广义积分的和为函数f(x)在无穷区间(-¥,+¥)上的广义积分, 记作, 即. 这时也称广义积分收敛.如果上式右端有一个广义积分发散, 则称广义积分发散. 可见,求广义积分的基本思路是:先求定积分,再取极限. 例2 计算广义积分.解 取b>0,因为.所以= 例3 计算广义积分.解 取b<0,因为= 所以. 例4 讨论广义积分(a>0)的敛散

25、性. 解 当p=1时,. 当p<1时,. 当p>1时,.因此, 当p>1时, 此广义积分收敛, 其值为; 当p£1时, 此广义积分发散. 被积函数有无穷间断点的广义积分定义2 设函数f(x)在区间(a,b上连续, 而在点a的右邻域内无界. 取e>0, 如果极限存在, 则称此极限为函数f(x)在(a,b上的广义积分, 仍然记作, 即.这时也称广义积分收敛. 如果上述极限不存在, 就称广义积分发散. 类似地, 设函数f(x)在区间a,b)上连续, 而在点b 的左邻域内无界. 取e>0, 如果极限存在, 则称此极限为函数f(x)在a,b)上的广义积分, 仍然记

26、作, 即.这时也称广义积分收敛. 如果上述极限不存在, 就称广义积分发散. 设函数f(x)在区间a,b上除点c(a<c<b)外连续, 而在点c的邻域内无界. 如果两个广义积分与都收敛, 则定义.否则, 就称广义积分发散. 例5 计算广义积分. 解 因为, 所以该积分为广义积分. 例6 讨论广义积分的收敛性. 解 函数在区间-1, 1上除x=0外连续, 且. 由于,即广义积分发散, 所以广义积分发散.注:本题若按常义积分去做就会得到错误的结果 内容小结1. 无穷区间上的广义积分2. 被积函数有无穷间断点的广义积分注意的是，在积分时要考虑被积函数的可积性。自测题5.4一、选择题、.不收

27、敛.1 C. D.02、下列广义积分中收敛的是. B. C. D.3、设广义积分收敛，则必定有. B. C. D.4、A. B. C.1 D.05、A.0 B.2 C.1 D.55定积分在几何中的应用教学目的和要求：理解微元法的思想；熟练掌握求解平面图形的面积；会求平行截面面积为已知的立体的体积。 重点与难点：求解平面图形的面积；求旋转体的体积。 定积分应用的微元法复习：1、定积分的定义；2、定积分的几何意义当时，连续且，则定积分的几何意义是曲边梯形的面积，即。由此可见，用定积分表示面积的关键在于写出微小面积的近似值； 由于分割的任意性以及的任意性，微小面积记为，记为，并取，则微小面积可以近似

28、的表为，记微小面积的近似值为面积微元（面积元素），这正好是积分表达式，从而有。注：事实上，所取面积的近似值正是面积的微分，即就是用面积的微分 作为面积微小量的近似值。如果所求量为，且满足：对应于某个变量，如，且；在时，具有可加性；则可以用下面的方法，得到的一个积分表达式。选取积分变量，如，确定的变化范围即；，求出在上所求量的微小量的近似值，也称为的微元（微小量的近似值），即：；，即：。 以上方法的关键是得到所求量的微小量的近似值，即微元。 用定积分求平面图形的面积设平面图形如右图所示，求此图形的面积。所求面积视为变量的函数，则；区间，对应的微小面积的近似值即面积微元；例1求曲线，所围成图形的面

29、积。解：联立：，解的交点：、，且， 或者直接利用推出的公式，此时，则注：如果求平面图形（右图）的面积，则选取积分变量为，；区间，对应细小横条的面积的近似值即面积微元为：如果将上面例题中所求面积视为的函数，则面积为变量的函数，；分别考虑：，对应的面积的近似值即面积微元所求图形的面积为：。注：积分变量的选择（或）可能直接影响到积分的计算；公式，与定积分几何意义的结果一致。 用定积分求平行截面面积为已知的立体的体积（1）设连续曲线方程为，且；将、与轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周，求所得旋转体的体积。旋转轴是轴，则截面面积为：，其中是截面的圆的半径；从而，旋转体的体积为：（2）若连续曲线为，则、及轴所

30、围成的曲边梯形绕轴旋转一周，所得旋转体的体积为例2求图中圆锥的体积。解：积分变量，例3曲线绕轴旋转一周，求旋转体的体积。解：以为旋转半径的体积微元为，以为旋转半径的体积微元为积分区间为-1 ，1。得，注：若有连续曲线，且；将、与直线所围成的曲边梯形绕直线旋转一周，所得旋转体的体积应为：。（3）连续曲线，；将、与轴围成的曲边梯形绕轴旋转一周，求旋转体的体积。积分变量，；，微小体积的近似值即体积微元：用定积分求平面曲线的弧长 设有曲线y = f(x)（假设其导数连续），我们来计算从x = a到x = b的一段弧的长度s（如右图）我们仍用微分法，取x为积分变量，,在微小区间x,x+dx内，用切线段M

31、T来近似代替小弧段（“常代变”），得弧长微分为=上式称为弧微分公式,于是所求的弧长为 V 例1 一根弹簧按螺线盘绕，共计10圈,已知每圈的间隔10mm,试求弹簧的全长.解 分析第一圈第二圈的间隔,由方程 知 、 两点极坐标分别为()、，所以，因此，.因为弹簧共圈，所以，从增到,根据前面极坐标下弧长公式得 内容小结1. 定积分应用的微元法2.用定积分求平面图形的面积3. 用定积分求平行截面面积为已知的立体的体积4. 用定积分求平面曲线的弧长自测题5.5一、求曲线轴围成的平面图形的面积。二、用定积分求底圆半径为r，高为h的圆锥体的体积。三、抛物线把图形分成两部分，求这两部分面积之比。56定积分其它

32、应用举例教学目的和要求：会用定积分的微元法求变力所做的功，会用定积分的微元法求液体对平面薄板的侧压力。重点与难点：微元法在实际问题中的应用。定积分物理应用1、变力做功设力与物体的运动方向平行，约定：以物体的运动方向为坐标轴的正向，不妨设其沿轴运动；力与坐标轴方向一致时为正，相反时为负。如果是常力，则使得物体由点到点时，所做的功为：；一般地如果是变力，设为，考虑物体在此力的作用下由点到点时所作的功。积分变量；，功的微元为。例1将一弹簧平放，一端固定。已知将弹簧拉长10厘米用力需要5牛顿。问若将弹簧拉长15厘米，克服弹性力所作的功是多少？（g重力加速度）解：首先建立坐标系如图。选取平衡位置为坐标原点。当弹簧被拉长为米时，弹性力为，从而所使用的外力为；由于米时，（N），故，即，所作功为：（）例2一个高为5米，底半径为3米的圆柱形水池，盛满水。欲