定积分性质2009

1、第24讲 定积分的性质授课题目定积分的性质教学内容1. 定积分的基本性质；2. 积分第一中值定理.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好掌握定积分的基本性质，熟练掌握积分第一中值定理，并能灵活应用，了解积分第二中值定理.教学重点及难点教学重点：定积分的基本性质，积分第一中值定理；教学难点：定积分的基本性质.教学方法及教材处理提示(1) 在讲授定积分的基本性质证明过程中注意两点：一是尽可能使用定积分定义即积分和数的极限来证明，二是借助定积分的几何意义对积分性质作出直观的解释。(2)积分第一中值定理是本讲的重点内容之一，应用十分广泛，要求学生必须熟练掌握并灵活应用在讲授时要与拉格朗日微分中值

2、定理联系起来，讲清中间点性质及意义.(3) 应用积分性质和积分第一中值定理证明积分不等式问题既是本讲的重点又是难点，除布置这方面的习题要求学生练习外，老师还应开展专题课外辅导，使学生能熟练掌握作业布置作业内容：教材 :2（1），3（1，3），4，6，11.讲授内容一、定积分的基本性质性质1 若上可积，为常数，则在上也可积，且 证 当时结论显然成立当时，由于其中，由上可积时，故任给，存在，当时时， ，从而 ，即上可积，且 性质2 若都在上可积，则在上也可积，且 注：性质l与性质2合起来即为性质3 若都在上可积；则在上也可积证：由都在上可积，从而都有界，设且 (否则中至少有一个恒为零值函数，于是亦

3、为零值函数，结论显然成立)任给，由可积，必分别存在分割、，使得令 (表示把、的所有分割点合并而成的一个新的分割)对于上所属的每一个，有 可知这就证得在上可积. 注意：在一般情形下性质4 在 上可积的充要条件是：任给，在与上都可积且有 （3）证：充分性 由于在与上都可积，故任给，分别存在对与的分割与，使得 现令，它是对的一个分割，且有，由此证得在上可积 必要性 已知在上可积，故任给，存在对的某分割，使得在上再增加一个分点，得到一个新的分割又有 分割在和上的部分，分别是对和的分割，记为和，则有， .这就证得f在与上都可积 在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3)为此对作分割T，恒使点c为其中的一

4、个分点，这时T在与上的部分各自构成对与的分割，分别记为与T由于 =，因此当(同时有)时，对上式取极限，就得到(3)式成立 性质4及公式(3)称为关于积分区间的可加性当时，(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性按定积分的定义，记号只有当时才有意义，而当或时本来是没有意义的但为了运用上的方便，对它作如下规定： 规定l 当时，令 规定2 当时，令有了这个规定之后，等式(3)对于的任何大小顺序都能成立例如，当时，只要在上可积，则有性质5 设为上的可积函数若，则 推论(积分不等式性) 若与为上的两个可积函数，且，则有.性质6 若在上可积，则在上也可积，且（6） 证：由于在上可积，故任给，存在某分割，

5、使得.由绝对值不等式可得，于是有从而证得在上可积再由不等式，应用性质5(推论)，即证得不等式.注：这个性质的逆命题一般不成立，例如在上不可积（类似于狄利克雷函数）；但，它在上可积.例1 求，其中解：对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即 注：上述解法中取，其中被积函数在处的值已由原来的改为，由§3习题第3题知道这一改动并不影响在上的可积性和定积分的值. 注：如果要求直接在上使用牛顿莱布尼次公式来计算这时应取怎样的函数？读者可对照§2习题第3题来回答.例2 证明若在上连续，且.证：用反证法.倘若有某则由连续函数的局部保号性，存在的某领域（当或时，则为右邻域或左

6、邻域），使在其中.由性质4和性质5推知这与假设相矛盾.所以 注：从此例证明中看到，即使为一非负可积函数，只要它在某一点处连续，且，则必有(至于可积函数必有连续点，这是一个较难证明的命题，读者可参阅§6习题第7题) 二、积分中值定理 定理9.7(积分第一中值定理)若在上连续，则至少存在一点，使得 证：由于在上连续，因此存在最大值和最小值由使用积分不等式性质得到或再由连续函数的介值性，至少存在一点，使得 积分第一中值定理几何意义为，若在上非负连续，则在上的曲边梯形面积等于以为高，为底的矩形面积而可理解为在区间上所有函数值的平均值例3 试求在上的平均值.解：所求平均值为定理9.8(推广的积分第一中值定理) 若与都在上连续，且在上不变号，则至少存在一点，使得 ，(当时，即为定理9.7). 证：不妨设，这时有其中分别为在上的最大、最小值由定积分的不等式性质，得到 若，则由上式知，从而对任何，等式成立.若，则得.由连续函数的介值性，必至少有一点，使得注： 事实上，定理9.7和定理9.8中的中值点必能在开区间内取得.定理9.9(积分第二中值定理