实验3-向量组的相关性及方程组的通解

1、3 向量组的相关性及方程组的通解1. 分析向量组线性相关性的方法； 2. 求解线性方程组通解的各种方法；例3.0求向量组，的秩，并判断其线性相关性.解 A=1 -2 2 3;-2 4 -1 3;-1 2 0 3;0 6 2 3;2 -6 3 4;k=rank(A)结果为k = 3由于秩为3小于向量组所含向量个数，因此向量组线性相关.例3.1求非齐次线性方程组的通解。解：在MATLAB命令窗口，输入以下命令：A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19; % 输入系数矩阵Ab=-2;7;-23;43; % 输入常数列向量bR,s=rref

2、(A,b) % 把增广矩阵的最简行阶梯矩阵赋给R % 而R的所有基准元素在矩阵中的列号构成了行向量s计算结果为：R = 1 2 0 2 9 3 0 0 1 0 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0s = 1 3程序la06.m给出非齐次方程组的通解。% 求齐次线性方程组的通解clear A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19; % 输入系数矩阵Ab=-2;7;-23;43; % 输入常数列向量bR,s=rref(A,b); % 把增广矩阵的最简行阶梯矩阵赋给R % 而R的所有基准元素在矩阵中的列号构成了行向量sm

3、,n=size(A); % 矩阵A的行数、列数赋给了变量m、nx0=zeros(n,1); % 将特解x0初始化为N维零列向量r=length(s); % 矩阵A的秩赋给变量rx0(s,:)=R(1:r,end); % 将矩阵R的最后一列按基准元素的位置给特解x0赋值disp('非齐次线性方程组的特解为：')x0 % 显示特解x0disp('对应齐次线性方程组的基础解系为：')x=null(A,'r') % 得到齐次线性方程组Ax0的基础解系x在MATLAB命令窗口中输入：la06运算结果为：非齐次线性方程组的特解为：x0 = 3 0 8 0 0

4、对应齐次线性方程组的基础解系为：x = -2 -2 -9 1 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 1则方程组的通解为：齐次线性方程组的特解还可以用Matlab的矩阵左除运算来求得，直接在MATLAB命令窗口输入以下命令：A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19;b=-2;7;-23;43; x0=Ab % 用矩阵左除运算求得方程组特解x0x=null(A,'r') % 得到齐次线性方程组Ax0的基础解系x运算结果为：Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 4.3099e-

5、014.x0 = 0 0 7.3333 0 0.3333x = -2 -2 -9 1 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 1方程组的通解为：例3.2 已知向量组，求出它的最大无关组，并用该最大无关组来线性表示其它向量。解：用笔计算的过程为：编写Matlab程序la07.m：% 找向量组的最大无关组，并用它线性表示其它向量cleara1=1;1;0;2;2; % 输入5个列向量a2=3;4;0;8;3;a3=2;3;0;6;1;a4=9;3;2;1;2;a5=6;-2;2;-9;2;A=a1,a2,a3,a4,a5; % 由5个列向量构造矩阵AR,s=rref(A); % 把矩阵A的最简行

6、阶梯矩阵赋给了R % 而R的所有基准元素在矩阵中的列号构成了行向量s % 向量s中的元素即为最大无关组向量的下标r=length(s); % 最大无关组所含向量个数赋给rfprintf('最大线性无关组为：') % 输出字符串for i=1:r fprintf('a%d ',s(i) % 分别输出最大无关组的向量a1，endfor i=1:r % 从矩阵A中取出最大无关组赋给A0 A0(:,i)=A(:,s(i);endA0 % 显示最大无关组矩阵A0s0=1,2,3,4,5; % 构造行向量s0for i=1:r s0(s(i)=0; % s(i)是最大无关组

7、的列号end % 若s0的某元素不为0，表示该元素为矩阵A中% 除最大无关组以外其它列向量的列号s0=find(s0); % 删除s0中的零元素 % 此时s0中元素为其它向量的列号for i=1:5-r % 用最大无关组来线性表示其它向量fprintf('a%d=',s0(i)for j=1:r fprintf('%3d*a%d+ ',R(j,s0(i),s(j); end fprintf('bb n'); % 去掉最后一个”+”end在MATLAB命令窗口中输入：la07运行结果为：最大线性无关组为：a1 a2 a4 A0 = 1 3 9 1

8、4 3 0 0 2 2 8 1 2 3 2a3= -1*a1+ 1*a2+ 0*a4 a5= 3*a1+ -2*a2+ 1*a4例3.22 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并用最大无关组表示其余向量，其中.解 format ratA=1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4;B=rref(A)运行结果得B = 1 0 1/3 0 16/9 0 1 2/3 0 -1/9 0 0 0 1 -1/3 0 0 0 0 0 记矩阵A的五个列向量依次为，则 ， 是列向量组的一个最大无关组.且有，.例3.3 已知齐次线性方程组：，当k取何值时方程组有非零解

9、？在有非零解的情况下，求出其基础解系。解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la08.m% 计算带符号变量的齐次线性方程组的解clearsyms k % 定义符号变量kA=1-2*k,3,3,3;3,2-k,3,3;3,3,2-k,3;3,3,3,11-k; % 给系数矩阵赋值D=det(A); % 算出系数矩阵的行列式Dkk=solve(D); % 解方程“D0”，得到解kk，即k值for i=1:4 AA=subs(A,k,kk(i); % 分别把k值代入系数矩阵A中fprintf('当k=');disp(kk(i); % 显示k的取值fprintf('基础解系为：n');disp(null(AA) % 计算齐次线性方程组“