投针实验详解

1、一、 问题的提出在人类数学文化史中，对圆周率精确值的追求吸引了许多学者的研究兴趣。在众多的圆周率计算方法中，最为奇妙的是法国物理学家布丰（Boffon）在1777年提出的“投针实验”。与传统的“割圆术”等几何计算方法不同的是，“投针实验”是利用概率统计的方法计算圆周率的值，进而为圆周率计算开辟了新的研究途径，也使其成为概率论中很有影响力的一个实验。本节我们将借助于MATLAB仿真软件，对“投针实验”进行系统仿真，以此来研究类比的系统建模方法和离散事件系统仿真。二、 系统建模“投针实验”的具体做法是：在一个水平面上画上一些平行线，使它们相邻两条直线之间的距离都为a；然后把一枚长为l(0<l

2、<a)的均匀钢针随意抛到这一平面上。投针的结果将会有两种，一种是针与这组平行线中的一条直线相交，一种是不相交。设n为投针总次数，k为相交次数，如果投针次数足够多，就会发现公式计算出来的值就是圆周率。当然计算精度与投针次数有关，一般情况下投针次数要到成千上万次，才能有较好的计算精度。有兴趣的读者可以耐心地做一下这个实验。为了能够快速的得到实验结果，我们可以通过编写计算机程序来模拟这个实验，即进行系统仿真。所谓的系统仿真是指以计算机为工具，对具有不确定性因素的、可模型化的系统的一种研究方法。建立能够反映实验情况的数学模型是系统仿真的基础。系统建模中需解决两个问题，一个是如何模拟钢针的投掷结果

3、，另一个是如何判断钢针与平行线的位置关系。这里，设O为钢针中点，y为O点与最近平行线之间的距离，为钢针与平行线之间的夹角（）。首先，由于人的投掷动作是随机的，钢针落下后的具体位置也是随机的，因此可用按照均匀分布的两个随机变量y和来模拟钢针投掷结果。其次，人工实验时可以用眼睛直接判断出钢针是否与平行线相交，而计算机仿真实验则需要用数学的方法来判别。如下图所示，如果y、l和满足关系式，那么钢针就与平行线相交，否则反之，进而可以判断钢针与平行线的位置关系。三、 基于MATLAB/SIMULNIK的仿真实验在系统模型基础上，我们可以绘制出程序的流程图如下所示。根据流程图，在MATLAB环境下可编写程序

4、完成计算机系统仿真实验，在这里我们设定平行线之间的距离为，钢针长为，计算精度，这些参数可以根据实际情况做以修改，下面是仿真程序：%投针实验：计算机模拟投针实验，计算圆周率%clearformat longa=40,L=30;n=0;k=0;pii=0; %主要参数值while(abs(pii-pi)>0.00001) %设置计算精度 n=n+1; y=1/2*a*rand(1); %生成0,a)区间的随机数 q=pi*rand(1); %生成0，180)区间的随机数 if(y<1/2*L*sin(q) %判断钢针与平行线是否相交 k=k+1; pii=2*L*n/(a*k); %计

5、算圆周率 end disp('此次实验情况:') disp('投掷次数:') disp(n) %显示投掷次数 disp('相交次数:') disp(k) %显示钢针与平行线相交次数 disp('实验结果:pi=') disp(pii) %显示计算出的圆周率值end通过程序中的注释可以很好的理解程序内容。程序运行时，将显示出每次的“投针实验”情况，即显示当前总投掷次数、钢针与平行线相交次数以及由此计算出来的圆周率值。当满足所设置的精度要求后，程序停止运行,此时显示出当钢针投掷 276427次后，所计算出来的圆周率值满足精度要求，此时

6、钢针与平行线相交131984次，圆周率计算结果为。当然，由于“投掷动作”具有随机性，因此每次“投针实验”的仿真结果不一定相同。为使计算结果更趋近于，可以减小误差的取值来提高计算精度，当然仿真时间也会随之变长。这里对投针实验的基本原理做一简单解释。首先，将一根钢丝弯成一个圆圈，使其直径恰好等于平行线间的距离a。可以想象得出，对于这样的圆圈来说，投掷结果不外乎有两种：一种是与一条平行线相交，一种是与相邻两根平行线相切，这两种情况都将导致圆圈和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n，那么相交的交点数必为2n。然后，将圆圈拉直变成一条长为的钢针。显然，这样的钢针扔下时与平行线相交的情形要比圆圈

7、复杂得多，可能没有交点，有1个交点，2个交点，3个交点，4个交点。由于圆圈和拉直后的钢针的长度相同，根据机会均等的原理，当它们投掷次数足够多时，两者与平行线组交点的总数将是一样的。换句话说，当长度为的钢针扔下无穷多次后，与平行线相交的交点总数也为2n。最后，讨论钢针长为l的情形。由于钢针与平行线相交的交点总数k与钢针长度l成正比，则存在下列比例关系式，进而可求得。四、结论从本质上看，上述投针实验具有朴素的离散事件系统仿真思想。如果按照布丰的做法，进行成千上万次的投针实验和手工计算，势必要消耗大量的人力、物力和财力。而通过类比的方法，对实验进行系统建模，在此基础上使用计算机进行系统仿真，以此来解

8、决“投针问题”将变得非常简单。从中我们可得出以下结论：首先，有意识地运用类比方法将有助于掌握复杂事物的内在规律，显著提升数学建模能力。数学建模的过程蕴含着许多重要的数学思想和方法，其中类比方法是最重要也是最有效的一种。类比建模的过程可表述为，根据已掌握的对客观事物的经验与认识，通过抽象分析运用数学语言、数学符号、数学公式等数学概念来表达这些量，从多种复杂因素中抽取主要因素，忽略次要因素，抓住事物的本质特征，运用一系列等式或不等式来表达各个量之间的关系，建立起研究对象的数学模型。其次，在建好的数学模型基础上，通过计算机进行系统仿真可对研究对象进行快速有效的模拟。20世纪40年代以后，随着电子计算机的出