微分方程论文50931

1、积分因子的研究 数学科学学院 数学与应用数学专业 2009级汉班 摘 要 从恰当方程一般的结构对微分方程的积分因子进行深入研究，找出几类微分方程的积分因子，使其在求解答积分因子及通解时能很快的得出结论。关键词 微分方程；积分因子；通解每一个微分方程转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要。课本中只介绍了仅关于或仅关于的积分因子，这还远远不够。此论文主要研究几类微分方程积分因子的求法，从而使微分方程的求解变得较简便。1预备知识1.1、定义1 若方程 (1)的左端恰好是某个二元函

2、数的全微分，则称(1)式为恰当微分方程.1.2、定义2 如果存在连续可微的函数=，使得 + =0 为一恰当微分方程，即存在函数 ，使，则称为方程(1)的积分因子.1.3 、定义3 函数为(1)的积分因子的充要条件是=，即是2推导的结论2.1 结论1：方程（1）具有积分因子=的充要条件为 =积分因子为=证明：设=为方程的积分因子，则（2）由(1)得 = =为方程具有形如积分因子的必要条件. 若 取=则有 即,两边乘以且由（2），得 即=为原方程的积分因子.同理得=所以命题得证。结论2：方程（1）具有积分因子=的充要条件为 =积分因子为=证明：设=为方程的积分因子，则,（3）由(1)得 = =为方

3、程具有形如积分因子的必要条件. 若 取=则有 即,两边乘以且由（3），得 即=为原方程的积分因子.从而得证.结论3：方程（1）具有积分因子=的充要条件为 =积分因子为=证明：设=为方程的积分因子,，则, （4）由(1)得 = =为方程具有形如积分因子的必要条件. 若 取=则有 即,两边乘以且由（2），得 即=为原方程的积分因子.同理得=所以命题得证.结论4：方程（1）具有积分因子=的充要条件为 =积分因子为=证明：设=为方程的积分因子，则,（5）由(1)得 = =为方程具有形如积分因子的必要条件. 若,取=则有 即,两边乘以且由（5），得 即=为原方程的积分因子.从而得证.结论5：方程（1）具

4、有积分因子=的充要条件为 =积分因子为=证明：设=为方程的积分因子，则, （6）由(1)得 = = =为方程具有形如积分因子的必要条件. 若=取=则有+=+两边乘以且由（6），得 即=为原方程的积分因子.从而得证.结论6： 假设（1）式中和满足关系=，其中分别为和的连续函数，则方程（1）的积分因子为:）证明：由和存在关系得两边同乘以，得）=）从而=根据定义3知）为方程（1）的积分因子. 结论7：变量分离方程有积分因子.证明：用乘以变量分离方程两端，得 这个方程是恰当方程，因此变量分离方程的积分因子为结论8：设函数+连续可微且，则方程 有积分因子证明：令，则原方程可化为 两边乘以，得这是一个恰当微分方程，因此原方程有积分因子得证.参考文献王高雄, 朱思铭，周之铭，王寿松，李艳会.常微分方程（第三版）M.北京：高等教育出版社，2