微分几何 陈维桓 第五章讲稿

1、目 录第五章曲面论基本定理67§ 5.1 自然标架的运动公式67§ 5.2 曲面的唯一性定理69§ 5.3 曲面论基本方程71§ 5.4 曲面的存在性定理74§ 5.5 Gauss定理76第五章 曲面论基本定理本章内容：曲面上的自然标架，运动公式，Gauss公式和Weingarten公式，曲面论唯一性定理，Riemann曲率张量，Gauss-Codazzi方程，曲面论存在性定理，Gauss定理计划学时：9学时，含习题课2学时.难点：Riemann曲率张量，曲面论存在性定理，Gauss定理§5.1自然标架的运动公式设为正则曲面，是单位法

2、向量.第一、第二基本形式和是曲面的两个不变二次形式，与中直角坐标的选取无关.曲面论唯一性问题：这两个基本形式是否足以确定曲面的形状？即若和有相同的第一、第二基本形式，是否这两个曲面仅相差一个中的刚体运动？ (见定理2.1)答案是肯定的. 为了证明这件事情，需要先做一些准备工作.为了公式的书写方便，从现在起记，. 注意的上标不是乘幂的指数. 如果要表示乘幂，则使用括号写成，().这样，的参数方程为.从现在起，用表示向量函数对变量的偏导数. 采用Einstein求和约定，将和式简记为. (1.4)就是说，如果一个单项式中在上标和下标中出现了相同的指标，则表示这是一个和式，对该指标要从1到2求和.如

3、果出现了多对这样的上下指标，那么这些指标都要从1到2求和.例如，.注意在和式中求和指标本身并没有实质性意义，它们是所谓的“哑”指标，可以换成别的字母：. (不能换成别的字母)在本书中，求和指标用希腊字母表示，它们的取值范围为.类似地，采用Einstein求和约定，向量函数的二阶微分可写成.采用Einstein求和约定，的第一、第二基本形式分别可以写成， (1.6)其中， (1.5)即，.记.(1.7-8)用表示度量矩阵的逆矩阵，则有 (1.9)实际上，. (1.10)采用现在的记号，曲面上每一点有一个自然标架.下面来导出自然标架的运动方程.由于线性无关，可将它们的偏导数再用表示出来.设， (1

4、.18)其中称为Christoffel记号(第二类克氏符号).令， (1.22)称为第一类克氏符号.由可知两类克氏符号关于指标都是对称的：，.用与(1.18)中的第1个式子作内积，得. (1.20)用乘(1.20)两边，再对指标求和，由(1.9)可得，即. (1.21)(1.20)和(1.21)说明是用将降标而得的；而则是用将升标而得的.类似地，用与(1.18)中的第2个式子作内积，得， (1.14)从而. (1.15)于是我们有自然标架的运动公式， (1.11)， ， (1.18)其中是第二类基本量，被第一类基本量和第二类基本量所确定.我们断言Christoffel记号被第一类基本量唯一确定

5、. 事实上，由得.返回(1.23)由可得，即有.返回(1.24)于是由(1.21)，. (1.25)通常把(1.18)的第一式称为Gauss公式，(1.18)的第二式称为Weingarten公式.Gauss公式的几何意义：的切向部分是，法向部分是. 当曲面的参数方程给出时，利用Gauss公式的几何意义可以更简单地求出Christoffel记号，而不需要用公式(1.22)来求.Weingarten公式的几何意义；矩阵正好是Weingarten变换在切空间的自然基下的矩阵：.在正交参数网中，Christoffel记号的计算公式(1.28).例 求曲面的Christoffel记号.解曲面的参数方程为

6、. 因此，.其中，. 因为，所以.另一方面.所以，即有，.课外作业：习题4，5§5.2 曲面的唯一性定理利用上一节得到的自然标架的运动方程，可以来解决上一节所提出的问题，即若和有相同的第一、第二基本形式，则这两个曲面仅相差一个中的刚体运动.定理2.1若，()有相同的第一、第二基本形式，且区域是连通的，则有中的刚体运动使得.证明 因为，只需证明存在中的刚体运动使得. (1) 不妨设. 设在该点两个曲面的自然标架分别为和.选取中的刚体运动使得在点成立.(2)事实上，令，. 则由，可知，.(3)同样，令，. 则由有相同的第一基本形式，有，.(4)根据第一章定理1.1，存在刚体运动将正交标架

7、变成，其中，而是保持定向的正交变换，即.由定义，将向量变成向量.所以刚体运动将向量变成向量.同理，. 又. 设是将经过刚体运动后得到的曲面，则的参数方程为.于是，从而，.由于保持定向的正交变换保持外积不变，有，.由于保持定向的正交变换保持内积不变，所以的第一、第二基本形式分别为，.于是与有相同的第一、第二基本形式，它们的自然标架满足同样的齐次线性偏微分方程组(1.11)，(1.18)，即有；.由(2)可知它们的自然标架满足同样的初始条件：，.设是任意一点. 因为区域是连通的，可取一条中的连续可微曲线，使得.则限制在上和满足同样的常微分方程组初值问题由常微分方程组解的唯一性得.由的任意性可知.定

8、理2.2 设，是2个曲面，它们的第一、第二基本形式分别为和. 如果存在光滑映射使得，则存在中的刚体运动使得.(选取适用参数系)课外作业：无§5.3曲面论基本方程曲面论存在性问题：设和是区域 上的2个给定的二次微分形式，是否存在中的三次以上连续可微的曲面，使得，正好是曲面的第一、第二基本形式？如果这样的曲面存在，则首先和必须是对称的：，；并且二次型必须是正定的. 除此之外，在本节中我们还要导出所应该满足的必要条件.假设有曲面使得它的第一、第二基本形式为， . (3.2)在第一节中已经得到自然标架的运动公式返回(3.3)其中，. (3.4)因为是三次以上连续可微的，必须有，. (3.5)

9、将(3.3)代入(3.5)第1式，得. (3.6)将上式展开，并利用(3.3)， 左边.右边.比较两边的系数，得， (3.8)，. (3.9)注意(3.8)左边的量是被第一类基本量唯一确定的，将它记为， (3.10)称为曲面的Riemann记号.再记， (3.11)则自然就有. (3.11)与一样，也是被第一类基本量唯一确定的.和都称为曲面的Riemann曲率张量.采用这些符号，由曲面三阶连续可微得到的相容性条件(3.8)可以改写成， (3.12)或等价地，. (3.13)相容性条件即方程(3.8)，或(3.12)，或(3.13)，称为Gauss方程. 方程(3.9)称为Codazzi方程.注

10、1.Gauss方程(3.13)看上去似乎有16个等式，实际上只有一个独立的方程：.返回(3.18)Codazzi方程(3.9)中只有2个独立的方程 (3.20)这是因为有. (3.17)从而当或时得到8个恒等式；当而时得到4个恒等式. 剩下的4个方程是相互等价的：. 事实上，. 利用(1.23)：将(1.24)：代入上式前2项，并注意，可得注2.将(3.3)看作以的12个分量为未知函数的一阶线性偏微分方程组，其中，是已知的函数，从而以及由(3.4)给出的也都是已知的. (3.3)的可积性条件是，.(C)由(3.3)可知可积性条件(C)的第一式自动成立.第二式就是Gauss-Codazzi方程(

11、3.8)和(3.9)，也就是(3.18)和(3.20). 因为，所以可积性条件(C)的第三式为，.(3.14)上面第二式自动成立，因为.以乘(3.14)第一式的两边，再对求和，可知它等价于.将(1.23)代入上式得，即.这就是(3.8). 所以(3.14)第一式与(3.9)是等价的.在正交参数网中，. 因此.因此由此得 (见课本).返回(3.22)如果参数曲线网是正交的曲率线网，则，Codazzi方程(3.20)可简化为返回 (3.23)课外作业：习题4，5§5.4曲面的存在性定理本节证明Gauss-Codazzi方程也是曲面存在的充分条件.设和是区域 上的2个给定的二次微分式，其中

12、和是对称的：，；并且二次型是正定的. 令为矩阵的逆矩阵， (4.2-3)，. (4.4-5)定理4.1如果上面给定的二次微分式，满足 (4.6)则对任意一点，必有的(连通)邻域，以及定义在上的正则曲面，使得和分别是的第一、第二基本形式. 在相差一个中的刚体运动的情况下，这样的曲面是唯一的. 如果是连通且单连通区域，则曲面可以定义在整个上.证明 唯一性由定理2.1可得.只需证明存在性.构造一阶线性偏微分方程组 (4.7)其中是未知向量，从而共有12个未知函数，自变量是. 根据一阶偏微分方程组理论，(4.6)有解的充分必要条件是由(4.7)可推得， .(C)从§3的讨论我们知道当Gaus

13、s-Codazzi方程(4.6)成立时，可积条件(C)也成立，从而(4.7)是可积的，即对任意一点，有的邻域，以及定义在上的向量函数， (4.8)它们满足(4.7)及任给的初始条件. (4.9)现在选取初始标架使得. (4.10)下面我们证明(4.8)中的函数定义了一个正则曲面，以和分别为的第一、第二基本形式.为此，考虑函数组， . (4.11)其中是方程组(4.7)的解. 因此6个函数满足一阶齐次线性偏微分方程组Cauchy问题 (4.12-13)事实上，.根据Cauchy问题解的唯一性，得到，即有， ， . (4.14)由上式得，这说明是正则曲面.又，即与共线，从而.因为在点，由连续性得到

14、在上. 因此.因为满足方程组(4.7)第1式，故是曲面的自然标架. 由(4.14)第1式和(4.7)第2式可知的第一、第二基本形式分别是和.当连通且单连通时，方程组(4.7)有定义在整个上的解.课外作业：习题2，4§ 5.5Gauss定理由(3.18)得到. (5.3)所以Gauss曲率被曲面的第一基本形式唯一确定，而与曲面的第二基本形式无关，是曲面的内蕴几何量.于是有下面的Gauss绝妙定理(Egregium Theorem).定理5.1 曲面的Gauss曲率是曲面在保长变换下的不变量.由(3.22)得到正交参数网()时，.(5.4)特别，取等温参数网时，其中.此时， (5.5)其

15、中是关于变量的Laplace算子.引理 直纹面是可展曲面的充要条件是.证明.设是直纹面，参数方程为.则，.从而，.因此.根据第三章定理6.1即得引理.定理5.2 一个曲面是可展曲面的充要条件是的Gauss曲率.证明 必要性由上面的引理可得.充分性. 根据引理，只须证明是直纹面.设的主曲率为. 由条件可知.1. 如果上的点都是脐点，则是平面，从而是直纹面.2. 假设上没有脐点，则可取正交的曲率线网为参数曲线网，使得，且.那么. 由Codazzi方程(3.23)得，即有. (5.6)于是，. (5.8)根据第一章定理2.2，(5.7)说明-曲线的切向量具有固定方向. 因此-曲线是直线，从而是直纹面

16、.事实上，令，则. 于是由(5.8)，即有，从而. 这样，.令. 则，故有，也就是.作参数变换，则是直纹面：.定理5.3曲面是可展曲面的充要条件是(局部地)可以与平面建立保长对应.证明 根据第三章定理6.3，可展曲面局部地可以与平面建立保长对应. 反之，若曲面局部可以与平面建立保长对应，则由Gauss绝妙定理，的Gauss曲率，从而是可展曲面.注根据后面第六章的定理4.1，具有相同常数Gauss曲率的曲面之间局部可以建立保长对应.下面的例子说明两个具有相同的非常数Gauss曲率的曲面之间未必能建立保长对应.例 设常数满足. 证明曲面与之间在对应下有相同的Gauss曲率.但是当且时，曲面与之间不

17、存在保长对应.证明对于曲面,，.，.因此的第一、第二基本形式分别为，.曲面的Gauss曲率为. (5.9)同理，曲面的第一基本形式为，Gauss曲率为. (5.10)因为，所以在对应下它们有相同的Gauss曲率.设有保长对应. (5.11)则在对应点有相同的Gauss曲率. 故由(5.9)和(5.10)得. (5.12)因此. (5.13)将(5.12)两边对求偏导数，得.再对求偏导数，得，.在处取值，可得，. (5.14)这说明和是相互正交的单位向量. 可设，.另一方面，将代入和的第一基本形式得.因此在处成立，.如果，则有，与已知条件矛盾.如果，则有或. 当时，有；当时，有，同样导致矛盾.下

18、面的定理说明在某些情况下曲面的法曲率的确包含了曲面形状的全部信息.定理5.4设是连续可微映射，其中上没有脐点，且Gauss曲率处处不为0.若在每一点处，保持所有方向的法曲率不变，则有中的刚体运动使得.证明由条件，可在上取正交的曲率线网为参数曲线网，使得，且.不妨设.设的参数方程为，映射的参数表示为. 对于的两个主方向，对应的方向是和. 则，且与线性无关，因为沿和方向的法曲率不等(法曲率仅依赖于方向).因此在每一点处是线性同构. 由第三章定理5.1，可在上选取适用参数系使得的参数方程为，映射的参数表示为.下面证明在相同参数的对应下，和有相同的第一、第二基本形式. 由于沿着切方向，法曲率达到最小值，因此是