广东工业大学高等代数2试卷和答案2016

1、广东工业大学考试试卷 ( A )课程名称: 高等代数（2） 试卷满分 100 分考试时间: 2016 年1月 13 日 (第20 周 星期 三 )题 号一二三四五六七八九总分评卷得分评卷签名复核得分复核签名一、选择题（共5题，每小题4分，总分20分）1. 设线性变换在基下的矩阵分别是和，则在同一组基下的矩阵是（ A ） A. ; B. ； C. ; D. ;2. 设矩阵的特征多项式为，且矩阵，其中为可逆矩阵，则矩阵的特征多项式为（ D ）A. ; B. ； C. ； D. 。 3. 设是线性空间上的线性变换，则下列集合中可能不是子空间的是（ D ）A. ; B. ； C. ; D. ;4. 在

2、有限维欧氏空间中，两组标准正交基之间的过渡矩阵是（ A ）A. 正交矩阵; B. 单位阵; C. 数量矩阵; D. 对角矩阵. 5. 设矩阵，则的最小多项式是（ A ） A. ; B. ; C. ; D. . 学 院： 专 业： 学 号： 姓 名： 装 订 线二、填空题（共5题，每小题4分，总分20分）1. 设实对称矩阵是3阶的且特征值为，对应于的特征向量为，则矩阵=（ ）。2. 设3阶矩阵A的特征值为,则行列式=( ), 行列式=( )。3. 已知12阶方阵的所有初等因子为，则矩阵的所有不变因子为（ ）和Jordan标准形为（ ）。4. 设三维线性空间上的线性变换在基的矩阵为, 则线性变换在

3、基下的矩阵为（ ）。5. 在线性空间中定义线性变换，则线性变换在基下的矩阵是（ ）。三、计算和证明（共5题，总分60分）1. （12分）已知在四维欧氏空间中定义的内积为，求的一组标准正交基（由基出发作标准正交化）。2. （12分）求矩阵的初等因子，并写出它的Jordan标准型。3（12分）已知 ，考虑（1）求的所有特征值以及对应的特征向量；（2）判断是否相似于一个对角矩阵；如果能，请写出相似等式；（3）求，其中为自然数（逆矩阵不需要求出，用符号表示即可）。4. （12分） （1）设 是线性变换的两个不同特征值，是分别属于的特征向量，证明：不是的特征向量；（2）证明：如果线性空间的线性变换以中每

4、个非零向量作为它的特征向量，那么是数乘变换。5. （12分）给定的两组基 定义线性变换：（1）求出由基到基的过渡矩阵；（2）求出在基下的矩阵；（3）求出在基下的矩阵。 广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( A )课程名称: 高等代数2 。考试时间: 2016年 1 月 13日 (第 20 周 星期三 )一、选择题（共5题，每小题4分，总分20分）1. A; 2. D; 3. D; 4. A; 5. A.二、填空题（共5题，每小题4分，总分20分）1. ； 2 64, 0;.3. 不变因子都为,和Jordan标准形为 ；4. ； 5. 。三、计算题（共5题，总分60分）1.（12分） 解：记 ，第一步正交化: (6分)第二步单位化: （6分）2. （12分）解： (用初等变换) (6分)由上面特征矩阵的标准型，得出初等因子为； (3分)且矩阵A的Jordan标准为 。 (3分)3.（12分） 解：（1）因为矩阵A的特征多项式为 ，则特征值为 （3分）X1,X2,X3就是特征值2的三个线性无关的特征向量； X4就是特征值-2的特征向量； (3分)（2）因为特征向量X1,X2,X3,X4线性无关，则矩阵A可以对角化，且有 ，其中。 (3分)（3）有（2），我们有。 (3分) 4. （12分）证明：(6分) (6分)5. （12分）解：（1）记由列向量组成的矩阵为，