平面向量的数量积的物理背景及其含义

1、2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角.说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0°q180°（2）两向量共线的判定（3）练习 1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且ab，则y=（ C ）A.6 B.5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ B ）A.-3 B.-1 C.1 D.3（4）力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F与s的

2、夹角.二、讲解新课：1平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫与的数量积，记作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.×探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.

3、符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c.但是a×b = b×c a = c 如右图：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×c 但a ¹ c

4、 (5)在实数中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.2“投影”的概念：作图 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值； 当q为钝角时投影为负值； 当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|； 当q = 180°时投影为 -|b|.3向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.探究：两个向量的

5、数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1、ab Û a×b = 02、当a与b同向时，a×b = |a|b|； 当a与b反向时，a×b = -|a|b|. 特别的a×a = |a|2或 |a×b| |a|b| cosq = 探究：平面向量数量积的运算律1交换律：a × b = b × a证：设a，b夹角为q，则a × b = |a|b|cosq，b × a = |b|a|cosq a × b = b × a2数乘结合律：(a)×b =(a×b) = a&#

6、215;(b)证：若> 0，(a)×b =|a|b|cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)×b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3分配律：(a + b)×c = a×c + b×c 在平面内取一点O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上

7、的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c说明：（1）一般地，(·)（·）（2）··，0（3）有如下常用性质：，（）（）····三、讲解范例：例1证明：()·例2已知|a|=12， |b

8、|=9，求与的夹角。例3已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求：（1）(a+2b)·(a-3b). （2）|a+b|与|a-b|.（ 利用 ） 例4已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 四、课堂练习：1P106面1、2、3题。 2下列叙述不正确的是（ ）A. 向量的数量积满足交换律 B. 向量的数量积满足分配律C. 向量的数量积满足结合律 D. a·b是一个实数3|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（ ）A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直 4已知|a|=8， |b|=1

9、0， |a+b|=16，求a与b的夹角.五、小结：1平面向量的数量积及其几何意义；2平面向量数量积的重要性质及运算律；3向量垂直的条件.六、作业：第11课时2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学过程：一、复习引入：1平面向量数量积（内积）的定义： 2两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1° e×a = a×e =|a|cosq； 2° ab Û a×b = 03° 当a与b同向时，a×b = |a|b|；当a与b反向时，a×b = -|a|b|. 特别的a&

10、#215;a = |a|2或4°cosq = ； 5°|a×b| |a|b|3练习：（1）已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）A.60° B.30° C.135° D.°（2）已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）A.2 B.2 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量，怎样用和的坐标表示？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即2. 平面内两点间的距离公式（1）设，则或.（2）如果表示向量的有向线段

11、的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)3 向量垂直的判定设，则4 两向量夹角的余弦（） cosq =二、讲解范例：例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断ABC的形状，并给出证明.例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a·b及a、b间的夹角(精确到1o)分析：为求a与b夹角，需先求a·b及a·b，再结合夹角的范围确定其值.例3 已知a（，），b（，），则a与b的夹角是多少?分析：为求a与b夹角，需先求a·b及a·b，再结合夹角的范围确定其值.解：由a（，），b（，）有a

12、3;b（），a，b记a与b的夹角为，则 又，评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.三、课堂练习：1、P107面1、2、3题 2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x= .四、小结： 1、 2、平面内两点间的距离公式 3、向量垂直的判定：设，则五、课后作业：思考：1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角OAB，使ÐB = 90°，求点B和向量的坐标.解：设B点坐标(x， y)，则= (x， y)，= (x-5， y-2) x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0又| =

13、| x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29由B点坐标或；=或 2 在ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且ABC的一个内角为直角，求k值.解：当A = 90°时，×= 0，2×1 +3×k = 0 k = 当B = 90°时，×= 0，=-= (1-2， k-3) = (-1， k-3)2×(-1) +3×(k-3) = 0 k = 当C = 90°时，×= 0，-1 + k(k-3) = 0 k = 第12课时2.5.1平面几何中的向量方法一、复

14、习引入：1. 两个向量的数量积：2. 平面两向量数量积的坐标表示: 3. 向量平行与垂直的判定: 4. 平面内两点间的距离公式： 5. 求模： 练习 教材P.106练习第1、2、3题.；教材P.107练习第1、2题.二、讲解新课：例1. 已知AC为O的一条直径，ABC为圆周角.求证：ABC90o.证明：设 例2. 如图，AD，BE，CF是ABC的三条高.求证： AD，BE，CF相交于一点.例3. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？思考1：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？ 思考2：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几

15、个步骤？运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.例4如图， ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、 BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？第13课时2.5.2向量在物理中的应用举例一、复习引入：12. 你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？二、讲解新课：例1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包

16、，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？探究1：(1)q为何值时，|最小，最小值是多少?(2)| |能等于|吗?为什么?探究2:你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决相关物理现象.例2. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d500 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|10 km/h，水流速度|2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0

17、.1 min）？思考:1. “行驶最短航程”是什么意思？2. 怎样才能使航程最短？第14课时第二章 平面向量复习课（一）三、教学过程（一）重点知识： 1. 实数与向量的积的运算律：2. 平面向量数量积的运算律: 3. 向量运算及平行与垂直的判定:则 4. 两点间的距离: 5. 夹角公式:6. 求模： （二）典型例题例1 已知O为ABC内部一点，AOB=150°，BOC=90°，设=，=，=，且|=2，|=1，| |=3，用与表示 解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是= , =， =-3所以-3=3+|即=33第15课时第二章 平面向量复习课（二）例1已知圆C：及点A（1，1），M是圆上任意一点，点N在线段MA的延长线上，且，求点N的轨迹方程。练习：1. 已知O为坐标原点，=（2，1），=（1，7