平面向量的数量积时

1、2.4平面向量的数量积教案（第一课时）教材分析：前面已学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算向量的数量积。教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量夹角对数量积符号的影响；然后由投影的概念得出了数量积的几何意义；并由数量积的定义推导出一些数量积的重要性质；最后“探究”研究了运算律。教学目标：（一）知识与技能1掌握数量积的定义、重要性质及运算律；2能应用数量积的重要性质及运算律解决问

2、题；3了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直共线等问题，为下节课灵活运用平面向量数量积解决问题打好基础。（二）过程与方法以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过例题分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。（三）情感、态度与价值观创设适当的问题情境，从物理学中“功”这个概念引入课题，开始就激发学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，加强数学与其它学科及生活实践的联系。教学重点：1平面向量的数量积的定义；2用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积

3、的应用。教学方法：启发引导式教学过程： （一）提出问题，引入新课前面我们学习了平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、以及数乘运算，它们的运算结果都是向量，既然两个向量可以进行加法、减法运算，我们自然会提出：两个向量是否能进行“乘法”运算呢？如果能，运算结果又是什么呢？这让我们联想到物理中“功”的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，F与s的夹角是，那么力F所做的功如何计算呢？我们知道：WFscos，功是一个标量（数量），而力它等于力F和位移s都是矢量（向量），功等于力和位移这两个向量的大小与它们夹角余弦的乘积。这给我们一种启示：能否把功W看成是两向量F和s的一种运算的结果呢，为此我

4、们引入平面向量的数量积。（二）讲授新课今天我们就来学习：（板书课题）2.4 平面向量的数量积一、向量数量积的定义1已知两个非零向量与，我们把数量cos叫做与的数量积（或内积），记作，即cos ， 其中 是与的夹角。2规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0 注意：（1）符号“”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”代替。（2）是与的夹角，范围是0，（再找两向量夹角时，若两向量起点不同，必须通过平移，把起点移到同一点，再找夹角）。（3）两个向量的数量积是一个数量，而不是向量。而且这个数量的大小与两个向量的模及其夹角有关。（4）两非零向量与的数量积的符号由夹角决定：cos=cos = 0

5、 cos前面我们学习了向量的加法、减法及数乘运算，他们都有明确的几何意义，那么向量的数量积的几何意义是什么呢？二、数量积的几何意义1“投影”的概念：已知两个非零向量与，是与的夹角，|cosq 叫做向量在方向上的投影思考：投影是向量，还是数量？根据投影的定义，投影当然算数量，可能为正，可能为负，还可能为0 |q为锐角 q为钝角 q为直角|cosq |cosq |cosq=0当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |；当q = 180°时投影为 -|思考：在方向上的投影是什么，并作图表示2数量积的几何意义：数量积等于的长度与

6、在方向上投影|cosq的乘积，也等于的长度|与在方向上的投影cosq的乘积。根据数量积的定义，可以推出一些结论，我们把它们作为数量积的重要性质三、数量积的重要性质设与都是非零向量，是与的夹角（1） Û = 0（2）当与同向时， = |；当与反向时， = -|；特别地， = |2，（3）cosq =（4）| |运算律与运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看看它满足怎样的运算律四、向量数量积的运算律已知，和实数，则向量的数量积满足下列运算律：（1） (交换律)（2）() () () (数乘结合律)（3）() (分配律) 思考：() () 是否成立？并说明理由 （三）例题剖析概念辨析，正

7、确理解向量夹角定义例1 已知等边ABC的边长为6，求加深对数量积定义的理解例2 判断正误，并简要说明理由. 00 若，则 与是两个单位向量，则22 如果，那么与夹角为锐角 若且，则 若 且，则数量积定义运用例3： 已知4，6，与的夹角为60°，求（1） （2） （3） (4)（四）课堂小结本节课我们学习了一种新的向量运算向量的数量积，与向量的线性运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，但与线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量。本节主要要求要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题。（五）课后作业课本108页 习题2.4 第17题（六）板书设计2.4 平面向量的数量积一.向量数量积的定义 三.向量数量积的几何意义 例2 1已知两个非零向量与 1.投影的概念cos，其中 是与的夹角2规定： 0 2.数量积的几何意义二.向量数量积的重要性质 设与都是非零向量，是与的夹角 四.运算律向量数量积的