微分中值定理的证明及应用25598

1、微分中值定理的证明及应用摘 要在数学分析中,三个微分中值定理极为重要.本文从罗尔定理出发,用构造辅助函数法和行列式法,不仅证明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理,并对其进行了应用.关键词中值定理; 证明; 构造函数;行列式; 应用The Proof and Application of The Mid-value TheoremsWang XX Instructor: XXXAbstract: In the mathematical analysis, three differential mid-value theorem is extremely important. This paper,

2、 starting from Rolle theorem in construct auxiliary function method and determinant method, not only proved Lagrange's mean value theorem and Cauchy mid-value theorem are obtained, and analyses the application. Keywords: Mean-value theorem; Proof; The constructor; The determinant; Application 1

3、引言微分中值定理是微分学的基本定理,在数学分析中有重要的地位,在微积分教学与研究中具有承前启后的作用,是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工具.然而,在证明了罗尔定理之后,如何在去证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理,是一个比较困难的问题,本文通过构造辅助函数法和行列式法,在罗尔定理的基础上,对拉格朗日中值定理和柯西中值定理进行证明,其证明方法简捷明了. 2 引理引理11(罗尔(Rolle)中值定理) 若函数满足如下条件:()在闭区间上连续;()在闭区间内可导;(),则在内至少存在一点,使得.罗尔定理的几何意义是说:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切

4、线.证明 因为在上连续,所以有最大值和最小值,分别用与表示,现分两种情况来讨论:(1) 若=,则在上必为常数,从而结论显然成立.(2) 若<,则因,使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得,从而是的极值点 .由条件(),在点处可导,故由费马定理推知.引理224 设函数, , , , , , , , 在内可导,设,则.3 定理的证明定理11 (拉格朗日(Lagrange)中值定理) 若函数满足如下条件:()在闭区间上连续;()在开区间内可导,则在内至少存在一点,使得.拉格朗日中值定理的几何意义是说:满足定理条件的函数在内的曲线上至少存在一点,曲线在该点的切线平行曲线两端点的连线.证法一4

5、 将 变形得.构造辅助函数,其中任意常数.显然,在闭区间上连续,在开区间上可导.而,将与作差化简得.于是满足罗尔中值定理的条件,则至少存在一点,使得故 .证法二23 行列式法:构造辅助函数 ,则 由此可得在闭区间上连续 . 由此可得在开区间内也可导.又由,. 可得.综上所述,可知满足罗尔中值定理的条件,则至少存在一点.使得.故.定理21（柯西（Cauchy）中值定理） 设函数与满足如下条件:()在闭区间连续;()在开区间可导;()与在内不同时为零; (),则在内至少存在一点,使得 .柯西中值定理的几何意义是说:满足定理条件的由与所确定的曲线上至少有一点,曲线的切线平行两端点的连线 .证法一4

6、将变形得.构造辅助函数其中为任意常.显然在闭区间上连续,在开区间内可导,且当与作差时可得.故满足罗尔定理的条件,则存在一点,使得. 故 .证法二23 构造辅助函数 . 则 .由此可得在闭区间上连续. .由此可得在开区间内可导.由, .即 .综上所述:满足罗尔定理的条件,则至少存在一点,使 得.故.4 定理的应用考虑中值问题:即证明存在某个中值,使得某个等式或不等式成立,其中由给定函数及其导数构成.4 .1 罗尔(Rolle)中值定理的应用5 罗尔定理是解决中值问题的主要工具,应用Rolle定理的具体步骤可归纳如下:()将要证中值公式写成适应的形式: .()构作辅助函数,使得等式恰相当于.通常,

7、将看作的函数求其原函数,就得出所需的,当这样行不通时,可试着用适当的因子乘.()验证或(,这通常是容易的,且一般在构作时已考虑到了.例1 设则存在,使得证明 变换待证中值公式为: .则 .设 ,则 .又,得.从而满足罗尔定理的三个条件,则.故原式成立.4.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理的应用6 拉格朗日定理比罗尔定理的应用更广泛,因为它对函数的要求更低.应用拉格朗日中值定理与应用罗尔定理证明命题的方法与技巧基本相同,只是变化更加丰富.例2设在上连续,在内可导;且.证明: ,使得.证明 变换待证公式为: .设,则可对应用拉格朗日中值定理,则存在,使得.又, ,. 则.设,可对应用拉格朗

8、日中值定理,则存在,使得 .则.故.4.3 柯西(Cauchy)中值定理的应用7由于涉及两个函数的问题,柯西中值定理的应用要比罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的应用要复杂,特别要注意的是,在一个命题中如何分离出两个恰当的函数,使函数既满足柯西定理的条件,又使命题的证明或计算简单易行.柯西中值定理经常要与其他定理一起使用.所以分析问题时要注意层次.若待证中值公式明显地可表示为,则很可能就是,因而可应用柯西定理.例3 设,证明:存在,使得证明 变换待证中值公式为: ,进而有,从而有. 令.对、应用柯西定理,可知必存在,使得 成立.故5 微分中值定理之间的关系三个微分中值定理之间不是互相独立的,而是有

9、着非常密切的联系.罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情形(当时);拉格朗日定理是柯西定理的特殊情形(当时);当函数用参数表示时,拉格朗日定理可以推出柯西定理.参 考 文 献 1华东师范大学数学系编.数学分析M.第二版. 北京: 高等教育出版社.,2001,6.2杨耕文. 微分中值定理的研究性学习J. 洛阳大学学报, 2005, 4:66-68.3杨耕文. 用行列式法证明微分中值定理J. 洛阳大学学报, 2006,12:49-52.4高等数学复习及习题选讲M. 北京工业大学出版社,2005 ,5.5李君士. 两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法J.江西九江师专学报, 2004,10:165-169.6陈纪修,徐惠平,周渊,金路,邱维元. 数学分析选讲指南（上册）M. 北京:高等教育出版社. 2006,10.7孙清华,