DSP_19巴特沃斯滤波器

1、1巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter2巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filterl巴特沃斯滤波器设计公式、步骤巴特沃斯滤波器设计公式、步骤l冲激响应不变法设计数字巴特沃斯滤波器冲激响应不变法设计数字巴特沃斯滤波器l双线性变换法设计数字巴特沃斯滤波器双线性变换法设计数字巴特沃斯滤波器3巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)滤波器的幅度响应在通带内具有滤波器的幅度响应在通带内具有最平坦的特性，且在通带和阻带内幅度特性是单调变化最平坦的特性，且在通带和阻带内幅度特性是单调变化

2、的。模拟巴特沃斯滤波器的幅度平方函数为的。模拟巴特沃斯滤波器的幅度平方函数为NcajH22/114巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter707. 0c如下图所示为如下图所示为Butterworth滤波器的幅度特性，其中滤波器的幅度特性，其中 为为角频率，在角频率，在 处幅度响应的平方为处幅度响应的平方为 0.5，N为滤波器的阶为滤波器的阶数，当数，当 时，幅度响应为时，幅度响应为1。c0jHa5巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter从式子和图都可以看出，随着从式子和图都可以看出，随着N的增大，幅度响应曲的增大，幅度响应曲线在截止频率附近变

3、得越来越陡峭，即在通带内有更线在截止频率附近变得越来越陡峭，即在通带内有更大部分的幅度接近于大部分的幅度接近于1，在阻带内以更快的速度下降，在阻带内以更快的速度下降至零。至零。Butterworth滤波器存在极点，而零点在滤波器存在极点，而零点在6巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filterl现在来分析现在来分析Butterworth滤波器极点的分布特点。如果滤波器极点的分布特点。如果用用 s 代替代替 ，得到，得到l由此得到极点由此得到极点j 2*( )aaaaaaaaHjHjHjHjHjh tHS HS 由于是实函数 211/aaNcHs Hssj7巴特沃斯滤波器巴特

4、沃斯滤波器 Butterworth Filter12 , 2 , 1 , 022NkesNkNjck，由此看出，巴特沃斯滤波器的极点分布特点：在由此看出，巴特沃斯滤波器的极点分布特点：在 s 平平面上共有面上共有2N个极点等角距地分布在半经为个极点等角距地分布在半经为 的圆周的圆周上上c22121/0/1/NcNcNcsjsjsj=(-1)121/22122NcNcNcsjssj(2k-1)j2k-1j( +)=(-1)=e e=e8巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter这些极点对称于虚轴，而虚轴上无极点；这些极点对称于虚轴，而虚轴上无极点；N为奇数时，为奇数时，实

5、轴上有两个极点；实轴上有两个极点；N为偶数时，实轴上无极点；各个为偶数时，实轴上无极点；各个极点间的角度为极点间的角度为 。图示为。图示为 N=3时各极点的分布时各极点的分布情况。情况。N/3cc9巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter知道巴特沃斯滤波器的极点分布后，便可以由知道巴特沃斯滤波器的极点分布后，便可以由 s 平面平面左半平面的极点构成系统函数左半平面的极点构成系统函数 ，根据极点分布，根据极点分布，可以得到可以得到上式中，上式中， l 是是 s 平面左半平面的极点，平面左半平面的极点， l是右半平面的极点，是右半平面的极点，lA 和和 B 都为常数都为常

6、数。 sHa NrrNkkNcaassBssAjssHsH112/11ksrs10巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth FilterButterworth滤波器有滤波器有 2N 个极点，且对称于虚轴，所个极点，且对称于虚轴，所以可将左半平面的极点分配给以可将左半平面的极点分配给 ，以便得到一个，以便得到一个稳定的系统，把右半平面的极点分配给稳定的系统，把右半平面的极点分配给 ， 不是所需要的，可以不管它，于是有巴特沃斯滤波器系不是所需要的，可以不管它，于是有巴特沃斯滤波器系统函数：统函数： sHasHasHa 1aNkkAHsss11巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterw

7、orth Filterl值的确定值的确定N为偶数，为偶数，A由滤波器在由滤波器在 处的单位冲激响应来确处的单位冲激响应来确定，即定，即于是得到于是得到 N为奇数可得到一样的结果。为奇数可得到一样的结果。0 102/11NkkkNkkassAssAHNcNkcNkkkssA2/122/112巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filterl当为偶数时，模拟当为偶数时，模拟Butterworth滤波器的系统函数为滤波器的系统函数为式中，式中， 为左半平面的极点，为左半平面的极点， 为为 的共轭极点的共轭极点lN为奇数时，模拟为奇数时，模拟Butterworth滤波器的系统函数为滤

8、波器的系统函数为 为负实轴上的极点。为负实轴上的极点。 2/1NkkkNcasssssH 2/11NkkkpNcasssssssHksksksps13巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter总结设计数字总结设计数字Butterworth滤波器的步骤如下滤波器的步骤如下l根据实际需要规定滤波器的数字截止频率根据实际需要规定滤波器的数字截止频率 处处的衰减，单位为的衰减，单位为 dB l 由数字截止频率由数字截止频率 处的衰减计算模拟巴特沃处的衰减计算模拟巴特沃斯滤波器的阶数斯滤波器的阶数N和频率和频率Tp，Tp，c14巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth

9、 Filterl求模拟巴特沃斯滤波器的极点，并由求模拟巴特沃斯滤波器的极点，并由 s 平面左半平面平面左半平面 的极点构成系统函数的极点构成系统函数左半平面的极点：左半平面的极点：系统函数：系统函数：l使用冲激不变法或双线性变换法将使用冲激不变法或双线性变换法将 转换成数转换成数字滤波器的系统函数字滤波器的系统函数 sHa zH sHa1, 2 , 1 , 022NkesNkNjck， 2/1NkkkNcasssssH 2/11NkkkpNcasssssssH15巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter例例 4.2 设计一个数字巴特沃斯滤波器，在通带截止频率设计一个数

10、字巴特沃斯滤波器，在通带截止频率 处衰减不大于处衰减不大于 1dB，在阻带截止频率，在阻带截止频率 处衰减不小于处衰减不小于 15dB。2 . 0p3 . 0T120lg()apHj 221()1apNpcHj阻带通带过渡带11112pTjeHc22T 16巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter解解 (1) 根据滤波器的指标得根据滤波器的指标得0.20.320lg120lg15jjH eH e220.1110NTc同理可得同理可得120.1110Npc120.10.1101101NpT17巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter(2) 设设

11、 T=1，将数字域指标转换成模拟域指标得，将数字域指标转换成模拟域指标得代入巴特沃斯滤波器的幅度平方函数得代入巴特沃斯滤波器的幅度平方函数得解这两个方程得解这两个方程得按此值设计的滤波器满足通带指标要求，阻带指标将超按此值设计的滤波器满足通带指标要求，阻带指标将超过给定值。过给定值。20lg0.2120lg0.315aaHjHj 220.11.50.20.3110110NNcc 7032. 068858. 5cNN，取221()1apNpcHj18巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter求解求解N的详细过程的详细过程代入巴特沃斯滤波器的幅度平方函数得代入巴特沃斯滤波器

12、的幅度平方函数得22220.11.50.11.5220.10.10.11.51.51.50.20.30.20.3110110 ,10101lg0.2100.2100.210, lglg, 2lglg,0.31010.31010.3101NNNNccccNNNN 0.11.5101010.22lg0.322221()1()1apNpcNpapcHjHj 2222lg0.2lg0.30.11.520.120lg0.2120lg0.3152lg0.20.12lg0.31.5lg0.20.1lg0.31.51010100.2100.3aaaaaaaaHjHjaaHjHjHjHjHjHjHjHj 21.

13、51019巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter(3) 把把 代入式子代入式子得到得到 s 平面左半平面的平面左半平面的3对极点分别为：对极点分别为：由这由这3对极点构成的滤波器的系统函数为对极点构成的滤波器的系统函数为7032. 06cN，12 , 2 , 1 , 022NkesNkNjck，0.18200.67920.49720.49720.67920.1820jjj 4945. 03585. 14945. 09945. 04945. 03640. 012093. 02222/1sssssssssssHNkkkNca20巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butter

14、worth Filter(4) 将上述模拟将上述模拟Butterworth滤波器的系统函数部分分式滤波器的系统函数部分分式展开，再按照冲激响应不变法求得数字滤波器的系展开，再按照冲激响应不变法求得数字滤波器的系统函数为统函数为可以代入可以代入 来验证滤波器的各项性能指标是否满来验证滤波器的各项性能指标是否满足要求。可以看出，设计的滤波器完全满足规定的技术足要求。可以看出，设计的滤波器完全满足规定的技术指标。指标。 -1-2-3-4-5-1-2-3-4-5-60.00063 z0.0101 z0.01614 z0.0041z0.0001 z1 3.3635 z5.0685 z4.2759 z2.

15、1067z0.57066 z0.0661zH zjez 21巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter(5) 实现上述设计的实现上述设计的MATLAB程序如下程序如下a=10.1.5-1; b=10.0.1-1; c=a/b; d=log10(c);n=d/2/log10(3/2),pause;n=ceil(n);wc=0.2*pi/b.(1/2/n),pause;z,p,k=butter(6,0.7032,s),pause;sosa,ga=zp2sos(z,p,k),pause;b,a=sos2tf(sosa,ga);bz,az=impinvar(b,a,1)sos,

16、g=tf2sos(bz,az)模拟滤波器模拟滤波器Butter(N,c ,S)二阶节变为传函形式二阶节变为传函形式零极增益形式变为二阶节形式零极增益形式变为二阶节形式传函变为传函变为二阶节形式二阶节形式fs=122巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter例例 4.3 用双线性变换法设计一个数字巴特沃斯滤波器，用双线性变换法设计一个数字巴特沃斯滤波器，设取样频率为设取样频率为 ，在通带截止频率，在通带截止频率 处衰减不大于处衰减不大于 1dB，在阻带截止频率，在阻带截止频率 处衰减不小于处衰减不小于 15dB。解解 (1) 将模拟截止频率转换成数字截止频率将模拟截止频率

17、转换成数字截止频率3 . 02 . 013000220002TTfTffTTppsTTpp，所以，因为kHzfs10kHzfp1kHzfT5 . 123巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter(2) 计算计算将模拟截止频率进行将模拟截止频率进行预畸变预畸变，即，即于是得到于是得到 即即cN和2tan2ppT2tan2TTT15lg201lg20TapajHjH1523 . 0tan2lg20122 . 0tan2lg20TjHTjHaa1220.120.1110110NpcNTc24巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filterl现在可以认为模拟频

18、率时归一化的频率，即令现在可以认为模拟频率时归一化的频率，即令 T=1，得，得220.11.510.210.312tan1012tan1022NNcc 5.34666NN，取76622. 0cc即：即：解得：解得：再代入左边下面阻带指标式子求得：再代入左边下面阻带指标式子求得：可以验算这个可以验算这个 值对应的阻带指标刚好满足要求，值对应的阻带指标刚好满足要求，而通带指标已经超过要求。而通带指标已经超过要求。12220.10.1110110NNpTcc25巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter(3) 把把 代入式子代入式子得到得到 s 平面左半平面的平面左半平面的3

19、对极点分别为：对极点分别为：由这由这3对极点构成的滤波器的系统函数为对极点构成的滤波器的系统函数为76622. 06cN，12 ,2 , 1 ,022NkesNkNjck，0.198310.740120.541810.541810.740120.19831jjj 5871. 04802. 15871. 00836. 15871. 03966. 020237. 02222/1sssssssssssHNkkkNca26巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 Butterworth Filter(4) 将上述模拟将上述模拟Butterworth滤波器的系统函数按照双线滤波器的系统函数按照双线性变换法求得数字滤波器的系统函数为性变换法求得数字滤波器的系统函数为 2-1 -2-1 -2-1 -2-1 -2-1 -2-11120.70513zz1.2686510.08717zz0.1775009036. 00.35827zz1.0105810.09036zz18068. 009036. 00.21552zz0.9043710.09367zz18