平面向量的概念及线性运算10057

1、平面向量的概念及线性运算自主梳理1向量的有关概念(1)向量的定义：既有_大小_又有_方向_的量叫做向量平面向量是自由向量（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，或用，表示(3)模：向量的_长度_叫向量的模，记作_ |a|_或_向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是_任意的_(

2、5)单位向量：长度为_1个_单位长度的向量叫做单位向量与a平行的单位向量e_±_.(6)平行向量：方向_相同_或_相反_的_非零_向量；平行向量又叫_共线向量_，任一组平行向量都可以移到同一直线上规定：0与任一向量_平行_向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.(7)相等向量：长度_相等_且方向_相同_的向量2向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作ab，即ab=+=，这种求向量和的方法叫做向量加法的三

3、角形法则.（2）以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.(3)加法运算律ab_ba_ (交换律)；(ab)c_a(bc)_(结合律)3向量的减法及其几何意义(1)相反向量与a_长度相等_、_方向相反_的向量，叫做a的相反向量，记作_a_(2)向量的减法 定义aba_(b)_，即减去一个向量相当于加上这个向量的_相反向量_ 图，a，b，则ab，_ab_.4向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，记作_a_，它的长度与方向规定如下：|a|_|a|_；当>0时

4、，a与a的方向_相同_；当<0时，a与a的方向_相反_；当0时，a_.(2)运算律设，是两个实数，则 (a)_()a_.(结合律) ()a_aa_.(第一分配律)(ab)_ab_.(第二分配律)(3)两个向量共线定理：向量b与a (a0)共线的充要条件是存在唯一一个实数，使ba.5重要结论()G为ABC的_重心_；0P为ABC的_重心_3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得_b=a_.自我检测1.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|，|则|等于()A8B4C2D11.2下列四个命题：对于实数m和向量a，b，恒有m(ab)mamb；对于实数m和向量

5、a，b (mR)，若mamb，则ab；若mana (m，nR，a0)，则mn；若ab，bc，则ac，其中正确命题的个数为()A1B2C3D42C根据实数与向量积的运算可判断其正确；当m0时，mamb0，但a与b不一定相等，故错误；正确；由于向量相等具有传递性，故正确3.如图，正六边形ABCDEF中，( ) A0 B. C.D.设P是ABC所在平面内的一点，2，则( ) A.0B.0C.0 D.0在平行ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则等于 ()AabBabCabDabA 由3得433(ab)，又ab，所以(ab)ab.已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m等于 ()A2B

6、3C4D5B由题目条件可知，M为ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则，因为AD为中线，2m，即2m，联立可得m3.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中、R，则_.解析 设a，b，那么ab，ab，又ab，()，即，.例1有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；如果ab，bc，那么ac.ab的充要条件是|a|b|且ab.以上命题中正确的个数为()A1B2C3D0不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；不正确，若a与b中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的

7、，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；不正确，如果b0时，则a与c不一定平行探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.(5)非零向量a与的关系是：是a方向上的单位向量.变式训练1(1)下列命题中正确的有_(填写所有正确命题的序号)|a|b|ab；若ab，bc，则ac；|a|0a0；若 ab，则|a|b|；若0，则a0；若A、B、C、D是不共线的四点

8、，则四边形ABCD是平行四边形若将所有的单位向量都平移到同一个起点，则它们的终点在同一个单位圆上变式训练1解析模相同，方向不一定相同，故不正确；两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，正确； 只有零向量的模才为0，故正确；，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等故正确故应选.(2)判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|b|，且a与b方向相同，则ab；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，

9、则向量a与b的方向相同或相反；(6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(7)任一向量与它的相反向量不相等.解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的.(7)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.二向量的线性运算例2在ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，.解()ab；()(

10、)ab.探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.变式训练(1)在ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设a，b，试用a，b表示.解.又m()(1m)a(1m)b，解得m，ab.(2)如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，ABDC，M、N分别是DC、AB的中点，已知a，b，c，试用a、b、c表示，.变式迁移2 解 题型三共线向量问题例3设两个非零向量a与b不共

11、线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线. (1)证明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线.(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210.k±1.探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0

12、成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a、b不共线.变式训练(1)设两个非零向量e1和e2不共线如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A、C、D三点共线；如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三点共线，求k的值（1）证明e1e2，3e12e2，8e12e2，e1e23e12e24e1e2（8e12e2) 与共线又与有公共点C，A、C、D三点共线（2）（e1e2)（2e13e2) 3e12e2，A、C、D三点共线，与共线从而存在实数使得即3e12e2(2e1ke2)由平面向量的基本定理得解之，得k的值为.（2）如图所示，ABC中，在AC上取一点N，使得ANAC

13、，在AB上取一点M，使得AMAB，在BN的延长线上取点P，使得NPBN，在CM的延长线上取点Q，使得时，试确定的值.解:()()，又，即，. (3)如图所示，平行四边形ABCD中，b，a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线.证明在ABD中.因为a,b，所以ba.由共线向量定理知：，又与有公共点C，M、N、C三点共线(4)设，不共线，点P在AB上，求证：且1，R.证明：P在AB上，与共线t.t()tt(1t)t.设1t，t，则且1，R.用方程思想解决平面向量的线性运算问题如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点M，设a，b.试用a和b表示向量.解设manb，则man

14、ba(m1)anb.ab.又A、M、D三点共线，与共线.存在实数t，使得t，即(m1)anbt.(m1)anbtatb.，消去t得，m12n，即m2n1.又manbaanb，baab.又C、M、B三点共线，与共线.存在实数t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.变式训练4综合问题如图，OMAB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且xy，则x的取值范围是_；当x时，y的取值范围是_解析：由题意得：a·b· (a，bR，0<b<1)a·b· (>0)a()b·&#

15、183;(b)·.由a<0，求得x(，0)又由xy，则有0<xy<1，当x时，有0<y<1，求得：y.答案：(，0)变式训练5如图,平面内有三个向量 其中的夹角为1200, 的夹角为300, 且则 的值是_6_. 在ABC中, O是ABC的重心.A,B, C的对边分别为a,b,c,若求证ABC是等边三角形.平面向量的概念及线性运算练习一一、选择题1若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ()A.B.C.D. 2.已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且20，那么()A.B.2C.3D.23如图，正六边形 ABCDEF中，()A0 B

16、CD4.设P是ABC所在平面内的一点，2，则()AP、A、B三点共线 BP、A、C三点共线CP、B、C三点共线 D以上均不正确5已知向量a，b不共线，ckab (kR)，dab.如果cd，那么()A.k1且c与d同向B.k1且c与d反向C.k1且c与d同向D.k1且c与d反向6.在ABC中，已知D是AB边上一点，2，则等于（ ）A.B.CD7.在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，则的值为()A.B.C.D18在四边形ABCD中，且·0，则四边形ABCD是()A矩形B菱形C直角梯形 D等腰梯形9如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则 向量ab可表示为 () A3e2e1

17、B2e14e2 Ce13e2 D3e1e210已知向量p，其中a、b均为非零向量，则|p|的取值范围是 ()A0，B0,1 C(0,2 D0,211化简：(1)_；(2)_；(3)()()_.12已知在平面上不共线的四点O、A、B、C，若320，则_2_.13.下列命题：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；平行于同一个向量的两个向量是共线向量；相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_.14.已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足0，则实数的值为_2_.15已知|a|3，|b|5，且ab，则实数的值是_ _解析：ab，a与b共线，±.16已知a，b是不共线的向量，若1ab，

18、a2b(1，2R)，则A、B、C三点共线的充要条件为_解析：A、B、C三点共线121×10121.17已知|a|6，|b|8，且|ab|ab|，则|ab|_10_.18已知3x4ya,2x3yb，其中a，b为已知向量，则向量x_，y_.答案：abab19设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线(2) 试判断A、C、D三点是否共线，并说明理由(3)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)，2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线(2)解：A、C、D三点不共线

19、ab，BC2a8b，ab2a8b3a9b.而3a3b，假设存在R，使得，即3a9b3a3b.则显然满足上述条件的实数不存在，故A、C、D三点不共线(3)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210，k±1.20设两个非零向量e1和e2不共线如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三点共线，求k的值(e1e2)(2e13e2)3e12e2，A、C、D三点共线，与共线，从而存在实数使得，即3e12e2(2e1ke2)，得解得，k.平面向量的概念及线性运算练习二1.给出下列命题：两个具有

20、公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0 (为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线.其中错误命题的个数为()A.1B.2C.3D.42平面向量a，b共线的充要条件是 ()Aa，b方向相同Ba，b两向量中至少有一个为0C存在R，使baD存在不全为零的实数1，2，使1a2b0解析：a，b共线时，a，b方向相同或相反，故A错a，b共线时，a，b不一定是零向量，故B错当ba时，a，b一定共线，若b0，a0，则ba不成立，故C错排除A、B、C.3下列命题是假命题的是()A对于两个非零向量a、b，若存在一个实数k满足akb，则a、b共线B若ab，则|a|

21、b|C若a、b为两个非零向量，则|ab|ab|D若a、b为两个方向相同的向量，则|ab|a|b|4设a，b是任意的两个向量，R，给出下面四个结论：若a与b共线，则ba；若ba，则a与b共线；若ab，则a与b共线；当b0时，a与b共线的充要条件是有且只有一个实数1，使得a1b.其中正确的结论有()ABCD5已知点O，N在ABC所在平面内，且|，0，则点O，N依次是ABC的()A重心外心 B重心内心C外心重心 D外心内心解析：由|知，O为ABC的外心；0，知，N为ABC的重心答案：C6已知ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若 (0)， (0)，则的最小值是(

22、)A9 B. C5 D.解析：由题意得，2，又D、E、F在同一条直线上，可得1.所以()()2，当且仅当2时取等号答案：D7.已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与ABC的关系为 () AP在ABC内部 BP在ABC外部 CP在AB边所在直线上DP是AC边的一个三等分点解析：，22，P是AC边的一个三等分点8O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A外心 B垂心C内心 D重心9.已知P是ABC所在平面内的一点，若，其中R，则点P一定在()A.ABC的内部B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上D.BC边所

23、在直线上10.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：由条件得，因与都是单位向量，故点P在BAC的平分线上，所以点P的轨迹通过ABC的内心选B.11在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则 ()A.abB.abC.abD.ab解析：aa(ba)ab.故选D.12.设a、b是两个不共线向量，2apb，ab，a2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为_1_.13.已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是

24、_(将正确的序号填在横线上).2a3b4e，且a2b3e；存在相异实数、，使·a·b0；x·ay·b0(实数x，y满足xy0)；若四边形ABCD是梯形，则与共线.14.已知a，b，则_.aba(ba)ab.15.如图，以向量a，b为边作OADB，用a、b表示、.解ab，ab，ab.又ab，(ab).ababab.即ab，ab，ab.16.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上？解设a，tb，(ab)，ab，tba.要使A、B、C三点共线，只需.即abtba.有当t时，三向量终点在同一直

25、线上.平面向量的概念及线性运算练习三1若ABC满足|，则ABC的形状必定为()A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形2.命题p：a与b是方向相同的非零向量，命题q: a与b是两平行向量，则命题p是命题q的()A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件3在ABC所在平面上有一点P，满足，则PBC与ABC的面积之比是()A.B.C.D.4设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)， (R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C(c,0)，D(d,0)(c，dR)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确

26、的是()AC可能是线段AB的中点 BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上 DC，D不可能同时在线段AB的延长线上解依题意，若C，D调和分割点A，B，则有，且2.若C是线段AB的中点，则有，此时.又2，0，不可能成立因此选项A不正确，同理B也不正确若C，D同时在线段AB上，由，知01,01，此时2，与已知2矛盾，因此选项C不正确若C，D同时在线段AB的延长线上，则时，1，时，1，此时2，与已知2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上5.设a，b是两个不共线的非零向量，若8akb与ka2b共线，则实数k_±4_.解析：因为8akb与ka2b共线，所以存在实数，使8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0.又a，b是两个不共线的非零向量，故解得k±4.6如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分、(不包括边界)若ab，且点P落在第部分，则实数a，b满足a_0，b_0(用“”，“”或“”填空)解析：由于点P落在第部分，且ab，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a0，b0.答案：7设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_(