平面向量的基本定理及坐标运算

1、平面向量的基本定理及坐标运算【考纲要求】1、了解平面向量的基本定理及其意义.2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【基础知识】一、平面向量基本定理  如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得，不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二、平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量可表示成，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标，记作，其中叫作在轴上

2、的坐标，叫作在轴上的坐标.规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。三、平面向量的坐标运算 1、设=，=，则=. 2、设=，=，则=. 3、设，则. 4、设=，则=. 5、设=，=，则（斜乘相减等于零） 6、设=，则四、两个向量平行（共线）的充要条件 1、如果，则的充要条件是有且只有一个实数，使得（没有坐标背景） 2、如果=，=，则的充要条件是(坐标背景)五、三点共线的充要条件 1、三点共线的充要条件是2、设、不共线，点、三点共线的充要条件是. 特别地，当时，是中点。六、温馨提示1、向量的

3、坐标表示体现了数形结合的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题，因此解题过 程中应注意使用数形结合的思想方法。 2、向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。【例题精讲】例1：如图所示，已知中、，M、N是AB、CD的中点，D是BC的中点，MN与AD交于F，求.例2：已知，当k为何值时，与平行？平地时它们是同向还是反向？平面向量的基本定理及坐标运算【基础精练】1已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是（ ） A(4，) B(4，) C(8，1) D(8，1)2已知M(3，2)，N(5，1)且，则P点的坐标为() A(8,1) B(1，) C(1，)

4、 D(8，1)3已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且2，则顶点D的坐标为() A(2，) B(2，) C(3，2) D(1，3)4已知向量(1sin，1)，(，1sin)，且，则锐角等于（ ） A30° B45° C60° D75°5设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是() A2 B4 C6 D86直角坐标系xOy中，(2,1)，(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值个数是() A1 B2 C3 D47l1、l2是不共线向量，且l13l2，4l12l2，3l112l2，若、为一组基底，则_.8已知向量(3，1)，(1，3)，(k，7)，若()，则k_.9若向量(1，2)，(x，1)，2，2且，则x_.10已知向量(1，1)，(1，1)，(cos，sin)(R)，实数m、n满足mn，则(m3)2n2的最大值为_ 11已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)(1)若点A、B、C能够成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若点A、B、C构成以A为直角的直角三角形，求m的值【拓展提高】1设向量(4