三垂线定理课例研究

1、“三垂线定理”课例研究“问题式”建构性教学初探湖北省监利县实验高中张新娥（433300）授课背景：监利县数学青年教师教学比武中的一节课.学生状况：学生基础整体情况较好，思维活跃，发言踊跃.开场白：各位评委、老师、同学，大家好！很荣幸今天能在这里和大家共渡45分钟的快乐时光.希望在这45分钟的时间里能和大家很好的相处，让我们各得其所.另外希望同学们能积极举手发言，如果不习惯于举手的话，也可以直接站起来说.点评：老师短短几句话，拉近了师生之间的距离，学生脸上露出了微笑，给本节课创造了和谐的气氛，是互动活动的良好开端.新课：师：前面我们学习了斜线和平面所成的角的定义，也证明了斜线和平面所成的角是该斜

2、线和平面内的所有直线所成的一切角中最小的.点评：温顾而知新，承上启下，为下面的知识建构奠定基础.（问）若直线a和平面 成30°角，则a和平面 内的任一直线b所成的角在什么范围内？点评：顺势提问，激发学生思考，进入紧张的学习课堂.请同学们在下面以笔当直线，桌面当平面模拟一下，得到结果后请站起来回答.（约十几秒钟后）生1：30°，90°.点评：学生对实物模拟颇感兴趣，这里需凭直觉大胆猜想，一个结论的发现往往比它的论证更有意义，因为它是论证的前提、创新的源泉.师（追问）：为什么？生1：因为30°，而两条直线所成的角的最大值又是90° .师（追问）：那

3、能否取到最大值90°呢？请同学们继续模拟，并大胆猜想在什么情况下ba? （约半分钟后）生2：能，当b垂直于a在内的射影时，ba .师：回答非常好！（追问）但这只是我们的直观感觉，它是否可靠呢？生（齐）：需要证明 .点评：猜想结合论证才是科学的研究方法 .师：请同学们自己在下面证明这个结论 ，（点一名同学上黑板做，老师在教室内巡视，个别指正，并适时提问证线线垂直的两种方法：定义法及线面垂直法，约五、六分钟后，大部分学生证完了 .）（附：已知：PO、PA分别是平面的垂线、斜线，OA是PA在内的射影，a，且a OA ，求证：a OA （如图1）.证明（略） . 点评：该命题的证明，完全交给

4、学生独立完成，给与足够的时间，让他们自己去思考、体会，建构成自己的知识，也可以培养学生的自信心和学习热情师（问）：通过我们共同的探讨，取得了累累硕果，现在谁能把这果子从树上摘下来呢？也就是把这个结论用文字语言给叙述出来！（下面开始议论，有的在纸上写 .）生3：，如果一条直线和一个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直 .（老师将该命题板书在黑板上 .）师（问）：有不同意见吗？（学生短暂沉默后开始议论）生4：如果这条直线不在平面内，这个结论不成立 .师（追问）：你能用一个图形来作反例说明吗？请同学们也自己在下面试一下，可以先模拟，再画图 .（生4上黑板画图，如图2，OA但与PA不垂直

5、.）师：好的，说明同学们考虑问题还是非常严密的，以后要继续发扬、 再接再厉 .（追问）图1中有没有这样的直线？（同学们脸上写满惊讶！认真看图 .）生（齐）：有，PO .（学生脸上写满成功的喜悦 .） 师：对！不用舍近求远了 .现在谁能把这个结论完美的叙述出来？生5：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.（学生边说老师边更正板书 .）师：回答很好，请坐.师（问）：该命题中共出现了几条直线？哪几条?生6：三条，平面内的一条直线、平面的一条斜线及射影 .师（追问）：这三条直线有怎样的特殊位置关系？生（齐）：垂直.师（追问）：两两垂直吗？生7：不是.平面内的直线

6、分别与平面的斜线和射影垂直.师：对，请坐 .我们简称为：“若线射垂直，则线斜垂直”，并且给它取一个名字叫“三垂线定理” .（老师板书课题）点评：定理的探讨与取名都显得顺理成章，水到渠成，学生容易理解，老师建构的教，学生建构的学 .师（问）：该命题中的线与斜、线与射是否一定是共面直线？思考!生8：线斜可能共面也可能异面，线射一定共面 .师：对，（老师边说边用模型演示）线斜更多的时候是异面的，当我们用相交直线垂直证异面直线垂直的时候，这体现了怎样的一种数学思想？点评：掌握数学的基本思想方法,是学好数学的关键 .（看学生表情，有一点为难 .）师：同桌之间可以讨论一下 .（约半分钟后.）生9：异面直线

7、是空间图形，共面直线是平面图形，用共面直线垂直证异面直线垂直，把空间问题转化成了平面问题 .师：说得非常好！那这是一种怎样的数学思想呢？生9：化归思想.师：对！这里把三维空间的问题转化成了二维空间问题，我们说它起到了降维转化的作用 .化归思想不仅渗透到我们立体几何的每节每课，也贯穿了数学的始终，化新知为旧知，化复杂为简单，都是化归思想的重要体现，在立体几何中，把空间问题化归为平面问题一直是我们的基本指导思想.（问）：到现在为止，我们学习的证明“线线垂直”方法有哪些？生（齐）：定义法、线面垂直法、三垂线定理法 .点评：建立新的知识结构，是建构的基本目标 .例题：已知正方体ABCDA1B1C1D1

8、，求证：BD1面AB1C.（如图3）师（问）：要证线面垂直，需证什么？生11：线线垂直，BD1AC且BD1AB1，或BD1B1C .师（问）：这里可用哪些方法证BD1AC？请同学们自己在下面尝试 .（老师在下面巡视，然后点两名证法不同的学生上黑板板书.）（附：方法一DD1面ACDD1AC又ACBDAC面BDD1 ACBD1方法二：DD1面ACBD1在面AC内的射影是BD又BDACBD1AC点评：有比较才有鉴别，才能取长补短，才能感觉到三垂线定理的优越性 .师（问）：这里两种方法有什么区别，哪种方法简单？生12：方法二直接用三垂线定理证明线线垂直，方法一用线面垂直证线线垂直，把三垂线定理又证了一

9、次，方法二较方法一简单 .师：对，用三垂线定理证明线线垂直是用线线垂直证线线垂直，比用线面垂直证线线垂直简单 .同理可证BD1AB1，所以BD1面AB1C .（老师边口述，边把证明补充完整.）在用三垂线定理证线线垂直时，需要先确定哪条直线在平面内、哪条直线是该平面的斜线，射影是谁，这就需要先找准平面 .如在上例中要证BD1AC，是把BD1当作AC所在平面的斜线，还是把AC当作BD1所在平面的斜线，这就要视具体情况而定，看选择哪种方案更容易证明出线射垂直. 利用三垂线定理证线线垂直的步骤我们可编成一个口诀：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，面内直线随便 .（板书）在以后的学习中我们再慢一点

10、来体会，（问）：好的，现在请同学们回顾一下,通过这节课的学习，我们学了些什么？生13：三垂线定理 .师（追问）：三垂线定理有什么用？生13：用来证线线垂直.师（追问）：到现在为止，我们证线线垂直有方法有哪些？生13：定义法、线面垂直法、三垂线定理法 .（板书）师：这是对数学知识的归纳，那这节课还用了什么样的数学思想呢？生14：化归思想，用三垂线定理证线线垂直，把空间问题转化为平面问题，起到降维转化的作用.师：今天，通过我们共同的探讨，我们发现了空间几何中的黄金定理三垂线定理 .如果大家能够把这种勤于思考、勇于探索的思想品质发扬到今后的学习和生活中去，我相信在不久的将来，我们在座的每位同学都将会

11、拥有自己的发明与创造！（下面响起了学生自发的热烈掌声 .）下去以后，请大家思考这样一个问题：三垂线定理的逆定理是什么？它是否是真命题呢？ 下课！点评：一节课并非给学生的思维划上句号，带着问题进教室、带着更高层次的问题出教室也许会更好！总评：“问题是数学的心脏” . 本节课的特点是“问题”多，通过巧妙设问、环环追问、热情激问，使学生运用已有知识思索新的问题，从而得到新的知识，是一种很自然的使学生将新知识纳入已有知识结构的过程即“问题式”建构性教学。学生的思维始终处于一种紧张状态，积极参与到学习中来，充分体现学生的主体作用，使学生兴趣高涨，饱含激情，学生回答问题几乎都是主动站起来的，课堂最后情不自禁的掌声，也应算是较好的说明 .本节课的提问虽多，但回顾性提问不多，更多的是推理性提问，可激发学生思考；每次提问后都给予学生足够的思考时间，不让“问题”成为形式；但又总能及时收回，使课堂结构紧凑而不松懈；在问题设计时也注意到了语言的准确表达，不至于让学生无法回答；当学生遇到困难时，并没有代替学生作答，而是巧妙的追问，给学生设计台阶，使问题不致冻结、课堂气氛不致凝固本节课虽说学习了一个非常重要的新定理，但整节课没有让学生感觉到陌生知识的出现，在提问设计上遵循“