单调函数与有界变差函数

1、微分与不定积分本章的主要目的是要在Lebesgue积分理论中推广这一结果)()()(xfdttfRdxdxal若f(x)在a,b上连续，则)()()( )(aFxFdttFRxal若F (x) 在a,b上连续，则xaxaxadttfLdttfLdttfLxF)()()()()()()(为两个单调不减函数的差l单调函数的可微性：单调函数几乎处处有有限导数l有界变差函数（即两个单调不减函数的差）l绝对连续函数（即能写成不定积分形式的函数）l定理 设f(x)是a,b上的单调不减函数，则f (x)在a,b上几乎处处存在有限导数，且)()()( ,afbfdxxfbal注：等号不一定成立， 即使f(x)

2、是a,b上的 连续单调不减函数， 例如Cantor函数。Weierstrass在1772构造出一处处连续但无处可导的函数) x (a cosb (x) fn0nn（其中 0 b 1 且 a为正奇数）Koch曲线btttaTn10：分划21)()()()()(21211iiiinittttTL折线长1222111( )()( )() niiiiitttt | )()(|11iinitt都和|)()(|11iinitt|)()(|11iinitt| )()(|11iinitt( )( ) , xtytta b参数曲线L：的全变差在为的分点组为,)(,: ),(sup)(baxfbaPPfVfVba

3、ba上的有界变差函数为，则称若,)()(baxffVba为f(x)对分点组P的变差，称| )()(|),(11iinibaxfxfPfV称,10bxxxan设f(x)是a,b上的有限函数，在a,b上任取一分点组 P闭区间上的单调函数一定是有界变差函数 |)()(|)(10afbffV|)()(|)()(|),(11afbfxfxfPfVPiiniba，分划连续函数不一定是有界变差函数1 ,0(cos002)(xxxxxf上的有界变差函数不为，故从而 1 , 0)()(10 xffV对0,1取分划111122132:11,nnTiniiinixfxfTfV111110| )()(|),(则0.2

4、0.40.60.81-0.4-0.20.21/41/21/6l定理 f(x)是有界变差函数当且仅当f(x)可表成两个非负单调不减函数的差）（）（其中即|)(|)()(21)(|)(|)()(21)()()()(2121afxffVxfafxffVxfxfxfxfxaxa注：由于单调函数的不连续点全体为一可数集，从而有界变差函数的不连续点为一可数集，故Riemann可积,并且几乎处处存在有限导数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1/9 1/3 2/3 1 1/21/81/43/85/87/83/4如此类似取值一直定义下去a.在G=0,1-P的各构成区间上，)(x)(x:

5、 )(sup)(xtGttx且1 , 0Pxc.当 时,规定称 为0,1 上的Cantor函数。1) 1 (0) 0(b.规定351212222,;nnnnn如前图规定:在第n次去掉的2n-1个开区间上依次取值为显然在0,1上单调不减，从而为有界变差函数，并且导函数几乎处处为0，)0() 1 (10)( 1 , 0dxx注：Cantor函数把长度为零的集合连续拉长成长度为1的集合)(),()(),(0000 xxxx或)(x否则，若 在x0 (0,1)处不连续，则开区间 非空， 1 , 0)(G)(x此区间中的每个数都不属于 的值域，这与 矛盾。（端点情形类似说明）定理 f(x)是有界变差函数

6、当且仅当f(x)可表成两个非负单调不减函数的差xaxaxadttfLdttfLdttfLxF)()()()()()()(l不定积分F(x)是有界变差函数，但由Cantor 函数（是有界变差函数）知道，先取导数再取积分并不能返回，问什么函数满足此性质？|)()(|1iiniaFbF有则称F(x)是a,b上的绝对连续函数注： 绝对连续函数一定是一致连续函数，当然是连续函数，也一定是有界变差函数，从而几乎处处有有限导数。, 0, 0设F(x)是a,b上的有限函数，若使对a,b中的任意有限个互不相交的开区间), 2 , 1(),(nibaii时，当)(1iiniab为绝对连续函数则上的可积函数，是若cdttfxFbaxfxa)()(,)(1函数的一真子类界变差从而绝对连续函数是有但不是绝对连续函数，故为有界变差函数，函数为单调连续函数，Cantor2利用积分的绝对连续性即可)()()( )(aFxFdttFLxal定理 若F(x)在a,b上绝对连续，则