光子晶体的理论研究、数值模拟及应用

1、-by 陈诺、曹明明、张宇檀、谢忱、任宇星陈诺、曹明明、张宇檀、谢忱、任宇星光子晶体的定义 光子晶体(Photonic Crystals, PCs)是一种（人工）周期介质结构，由不同折射率材料周期性地交替排列而成。 具有特殊的光学及电磁学性质。目录提出背景及发展历史理论研究数值研究光子晶体的制备实验研究性质应用光子晶体的提出在1987年之前，光子晶体已取得了一些进展1987年，Eli Yablonovitch和Sajeev John发表了2篇有关光子晶体里程碑的文章。自从1987年起，具有空间周期性介质的结构的一维光子晶体（如布拉格镜面）就开始被广泛地研究。 此后，二维、三维的光子晶体也逐渐受

2、到了人们的关注。发展历史 首次提出 在1887年，Lord Rayleigh在它的研究中表明在光子晶体中存在一维光子带隙 Vladimir P. Bykov首次就一维光子晶体结构的理论做出了细致的研究，他也是首个研究了在光子晶体结构中，光子带隙对原子与分子的自发辐射的影响的科学家。 同时，Bykov还预测了在二维与三维光子晶体结构中可能会发生的现象。三维光子晶体 三维光子晶体的概念是由Ohtaka于1979年提出的，同时他也发展出了一套理论用于计算光子能带结构。直到在1987年，Ohtaka才受到了关注。Yablonovitch：改变光子的态密度从而去控制嵌入到光子晶体内部结构中的材料的自发辐

3、射。 John： 利用光子晶体去定位和控制光子早期研究1987年以后，光子晶体发展迅速由于制备的难度，仍存在很大局限性半导体材料光子晶体 到1991年，Yablonvitch实现三维光子带隙，并命名为Yablonvite 1996年，Thomas Krass制备了半导体材料的光子晶体 将光子晶体应用于通讯尚未成熟，但二维光子晶体中的光子晶体光纤已经在商业上被广泛应用。研究现状 在进度上，由于制备上的难度，三维光子晶体的研究要比二维光子晶体慢得多。就目前而言，使用半导体技术去制备三维光子晶体是不成功的，但是，科学家们利用了其他的一些技术，已经取得了一定的进步。发现各种天然光子晶体，如巴西的甲虫鳞

4、片理论研究1 1、一维光子晶体、一维光子晶体1 1）一维光子晶体的转移矩阵）一维光子晶体的转移矩阵 如下图所示，考虑两种层状介质沿x方向周期地交替排列，它们的厚度分别为h1和h2，相对于真空的折射率分别为n1和n2，电介质沿x和y方向均匀，折射率是z的函数其中m=1,2,3.，电介质沿z方向的周期为a=h1+h2。 在某一层电介质中，电场满足亥姆霍兹方程式，有平面波解。设角频率为的电磁波在yz平面传播，即波矢k只有ky分量和kz分量，电场E垂直于yz平面且与x无关（TE波），它沿y方向是平面波，沿z方向则由一个向前入射波和一个往后反射波构成。第 ( =1,2)种电介质层中电场可写成（1） 通过

5、转移矩阵可以方便的计算给光在任意多层一维光子晶体材料中的反射和透射，因为在上述讨论中没有考虑到传播过程中光的吸收与产生，可以验证转移矩阵的横列式为1即： det(T)=12)光子带隙 考虑一维无限大的光子晶体，两种电介质沿着z有交替排列形成周期为a的结构，我们将电场写为： 其中(z)=(z+ma)为周期性的函数，另一个函数f(z)待定 因为不考虑光的吸收和产生所以在这样的无限长的结构之中稳定的能量密度和能流密度的分布应当呈现出周期性而却由于|E(y,z+ma,t|=|E(y,z,t)|因此有：|f(z+ma)|=|f(z)| 上式对于任意m成立的条件为：f(z)=e(iKz) 因此电场对z的依

6、赖关系可以写成一个周期函数和平面波的乘积： 上面的方程就是布洛赫（Bloch）定理，与之等价的表达式为：将(1)带入到(3)中可得:3）一维光子晶体的全反射 考虑TE光波从真空投影到一维光子晶体以z轴为法线的表面上。设第一次电介质的折射率为n1，记入射角为 0，光线在第一层和第二层的折射角分别为1和2。因为各层电介质互相平行，所以1也是第二层的入射角。因此我们有sin0=n1sin1=n2sin2 同时我们还知道，由于ky只是波矢k的一个分量必然有： Figure2中，虚线和轴夹的部分代表了上不等式。 真实情况中只有不等式代表的这一部分是可能发生的。 取出真是可能的部分我们不难发现，在每个阴影

7、带之间都有一部分带隙，并且这一部分带隙的一部分形成完全带隙：这一部分无论如何取值，在真实情况下都不会有对应的ky使这个光波落到阴影区域。也就是说这个频率的光波无论如何角度入射都不可能射到光子晶体里了。 这就是一维光子晶体的全反射。 但是实际上利用一维光子晶体的全反射效应制备光纤并不常用或者说实用，在实际应用中我们通常使用二维光子晶体制备光纤。 下面我们来分析二维光子晶体的能带结构和完全带隙产生的全反射效应。2、二维光子晶体-平面波展开法1）光波本征方程 在课程中已经学习过，麦克斯韦方程组经过变形，在自由电荷和电流都不存在的空间可以简化成一个波动方程。 如果把光波时间部分分离，得到空间部分便是一

8、个本征方程：对于TE波：对于TM波：二者的求解方式是完全类似的，因此后面只讨论TE波2）结构与数学表达、倒格子利用倒格子空间进行傅里叶级数展开将介电常数傅里叶级数展开3） TE波的、k关系分析（能带分析） 我们在这里只分析TE波的一种情况，TM波的分析方法与之相同。 类似于介电常数的展开，我们把电场强度E也用倒格子格点进行傅里叶级数展开：（打错啦） 把这个表达式以及介电常数的倒数的表达式代入上面TE波的本征方程，就能得到： 最后，将 的表达式代入上式得： 其中： 表示不包 的项。根据上式编写计算机程序进行求解就得到了E偏振情况下的二维电介质光子晶体能带结构。 在实际求解中，根据我们的理解，傅里

9、叶级数只对有限的几个节点E(G)进行叠加，也就是说上图中的2.10式中的E(G)和E(G)是几个固定倒格子格点的级数展开系数。因此上式可以写成一个线性方程组（只要G取不同的值）。 写成线性方程组为了让展开系数有非零解，要求变元E(G)对应的系数矩阵行列式等于0.这样就可以解出关于和K的关系。 第一布里渊区的边界连续的取波矢（第一个倒格子的边界），可以画出一个K和$omega$的关系图，也就是能带关系图： 可以看到第一个图中阴影部分就是完全禁带，频率在这个区域的光，不管波矢什么方向，什么大小都无法在光子晶体中传播。这些光在碰到这样的光子晶体之后会全反射。 这就是二维光子晶体光纤的原理。计算模拟1

10、、一维光子晶体2、二维光子晶体文献中的模拟：光子晶体的制备较为成熟的体系1、微机械加工法 1991年，Yablonovitch在Phys. Rev. Lett.上报导了世界上第一块光子晶体的制备。 机械打孔方法： 在GaAs衬底上以偏离垂直法线方向三十五度，并且互相之间呈夹角一百二十度的方向，分别从三个对称的角度进行打孔，当孔呈四方形布满整个衬底表面时，一种面心立方结构的GaAs光子晶体便由此得到。经过实验验证，它具有在微波波段的完全光子带隙，如图：机械加工法弊端： 因为尺寸限制，不能加工微波波段以下的光子晶体。 为实现光子晶体作为光子信息的处理材料和通信材料 将禁带做在微波波段或者可见光波段

11、。 2、逐层叠加法 由于普通机械方法很难制备微波波段以下的光子晶体，人们首先就想到了利用己经较为成熟的二维微电子制造技术，将其与其它各种技术结合起来，来制备三维光子晶体结构。其中有一种方法是，先得到二维周期性结构，然后采用一层层往上叠加的方法，最后得到多层的具有三维结构光子晶体。这种方法通常被称为逐层叠加法。其中最先出现的报道在1994年的Phys. Rev. B杂志上，得到的多层结构被称为“木桩”结构(wood-pile structure)，其周期性结构如图： (a)示意图；(b) SEM图；(c)不同层数下的透射谱3、模板法 由于自然界中和人工自组装等方法得到的光子晶体本身的材料折射率较

12、低，并且往往是密排结构，不能形成完全光子禁带，所以，人们开始尝试将各种高折射率的材料，例如半导体、金属以及某些聚合物材料填充到这些结构中，再将原来的模板去除，以得到高折射率的材料，并且保留了原来模板的形貌的光子晶体。 除了将自组装微球作为模板，目前也有许多小组开始研究使用其它模板制备光子晶体，例如生物模板。 生物模板的优点是可以直接从自然界中获得，不需要特别的制备过程，并且它们的形貌较单分散微球的自组装结构来得丰富多样，可以得到不同的性能。光子晶体的应用 对电磁波传播具有卓越的控制能力 微波通信 光电子学 整个电磁波领域 集成光学。 反射镜 带隙特性、局域特性 波导 谐振腔 滤波器 光弯折器件

13、 光分束器件 光开关 发光二极管。 在二维或三维光子晶体中引入线缺陷 （1）形成光子晶体波导 目前多在二维平板光子晶体中引入线缺陷传统介质波导:拐弯处存在较大的能量损耗光子晶体波导:1)拐弯处几乎没有损耗 2)可以在波长量级的尺寸上实现， 非常适合集成光学器件的设计。 更大的设计自由度，是未来集成光路设计的基础。1、光子晶体波导与微谐振腔(2)微谐振腔原子的自发辐射几率与光子模式的态密度成正比在光子晶体中引入点缺陷，且其缺陷模频率与原子自发辐射频率相同 自发辐射将得到显著增强光子晶体的尺寸与波长在同一量级 高品质因数微谐振腔的设计2、光子晶体光纤传统光纤:光的全内反射原理 掺杂以提高两种介质的

14、折射率差 不同的掺杂仅对某一相应频率的光起作用， 在弯曲处的损耗也非常大。光子晶体光纤(photonic crystal fiber, PCF)： 利用光子局域特性，将对应的电磁波模式限制在光子晶体内部，并沿轴向传播。一维光子晶体光纤（布拉格光纤） 沿长度方向均匀，在径向以同心圆方式周期排列的两种介质 二维光子晶体光纤（多孔光纤或微结构光纤） 带有轴向线缺陷的二维光子晶体 光子晶体光纤在横向平面内通常由三角晶格或六边形晶格规则排列的空气孔构成，而在纵向则均匀分布，如图(b)与(c)所示。3、微波天线 传统微波天线： 将天线直接制备在介质基底上 大部分的能量损失在基底之中, 带来基底的热效应。

15、光子晶体天线： 针对某微波频段的光子晶体天线的基片, 无损耗全反射,把能量全部发射到空中, 很大程度上提高了天线的发射效率。 第一个以光子晶体为基底的偶极平面微波天线于1993年在美国研制成功。4、光子晶体全光开关光子与非线性光子晶体的相互作用 光束传输过程的开与关 的控制作用。 体积小 全光驱动 更快速的时间响应 更高的开关效率 2005年, 日本NTT研究员 微加工技术 硅片上刻蚀出周期性三角晶格的空气孔, 制备出二维硅光子晶体5、光子晶体超棱镜分开能力比常规的要强100-1000倍, 体积只有常规的 1%。 2004年, 英国南安普敦大学与 M esophoton i cs有限公司的研究

16、人员能够在可见光波长上工作的光子晶体超棱镜。从整个可见光延伸到近红外的宽带光谱和角光谱技术发现,在几个主要的光子带隙附近, 角分散超过了 1%/nm, 比折射系数相同的普通棱镜大了100多倍,比等效衍射光栅大了10多倍,这对光通讯中的信息处理有重要的意义。6、光交换机 光交换：指不经过任何光电转换, 将输入端光信号直接交换到任意的光输出端。全光网络的关键技术。体积小、高速、低功率的全光交换机。2003年MEMS(微机电系统)推动器,在光子晶体中引入缺陷来实现MEMS把微小的介质棒推入光子晶体时,光可以在此处通过; MEMS把微小的介质棒抽出光子晶体时, 光被阻挡利用光子晶体反射光和局域光的基本原理制备的光子晶体激光器具有低阈值和便于集成的特点, 所发射的光束方向性好、相干性好; 利用光子晶体对自发辐射的控制作用, 并使受控制的自发辐射按照引导波导发光, 则能得到高效的发光二极管;此外, 还有光子晶体偏振器, 光子晶体滤波器,高性能反射镜,光路集成等。7、光子晶体集成光路光难以控制传统光学器件为基础的光学集成技术： 在大规模集成应用方面还面临着很大的困难 受到组建集成光路的