高考数学函数的奇偶性复习

1、复习课复习课函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性和周期性要点梳理要点梳理1.1.奇函数、偶函数的概念奇函数、偶函数的概念 一般地一般地, ,如果对于函数如果对于函数f f( (x x) )的定义域内任意一个的定义域内任意一个x x，都，都 有有_，那么函数，那么函数f f（x x）就叫做偶函数）就叫做偶函数. . 一般地一般地, ,如果对于函数如果对于函数f f( (x x) )的定义域内任意一个的定义域内任意一个x x，都，都 有有_，那么函数，那么函数f f（x x）就叫做奇函数）就叫做奇函数. . 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y y轴轴

2、 对称对称. .f f（- -x x）=-=-f f（x x）f f（- -x x）= =f f（x x）2.2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性, ,一般都按照定义严格进行一般都按照定义严格进行, ,一般一般 步骤是步骤是: : （1 1）考查定义域是否关于）考查定义域是否关于_；（2 2）考查表达式）考查表达式f f（- -x x）是否等于）是否等于f f（x x）或）或- -f f（x x）：）： 若若f f（- -x x）=_=_，则，则f f（x x）为奇函数；）为奇函数； 若若f f（- -x x）=_=_，则，则f f（x x）为偶函数；）为偶函

3、数； 若若f f（- -x x）=_=_且且f f（- -x x）=_,=_,则则f f( (x x) )既是既是 奇函数又是偶函数；奇函数又是偶函数； 若若f f（- -x x）-f f（x x）且）且f f（- -x x）f f（x x），则），则f f（x x）既）既 不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数. . 原点对称原点对称- -f f（x x）f f（x x）- -f f（x x）f f（x x）3.3.奇、偶函数的性质奇、偶函数的性质(1)(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_,_, 偶函数在关于原

4、点对称的区间上的单调性偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_(_(填填 “ “相同相同”、“相反相反”）. .(2)(2)在公共定义域内，在公共定义域内， 两个奇函数的和是两个奇函数的和是_,_,两个奇函数的积是偶两个奇函数的积是偶 函数；函数； 两个偶函数的和、积是两个偶函数的和、积是_； 一个奇函数，一个偶函数的积是一个奇函数，一个偶函数的积是_. _. 奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数相同相同相反相反4.函数的周期性函数的周期性(1)(1)定义定义: :如果存在一个非零常数如果存在一个非零常数T T, ,使得对于函数使得对于函数f f( (x x) )定义域内的任意定义域内的任意x

5、x, ,都有都有f f( (T T+ +x x)=)=f f( (x x),),则称则称f f( (x x) )为周期函数为周期函数. .不为零的常数不为零的常数T T叫做这个函叫做这个函数的周期数的周期. .如果在所有的周期中存在着一个最小的正数如果在所有的周期中存在着一个最小的正数, ,这个最小的正这个最小的正数叫做最小正周期数叫做最小正周期. .(2)(2)性质性质: :周期函数的周期不止一个周期函数的周期不止一个. .如果如果T T是函数是函数f f( (x x) )的周期的周期, ,则则nTnT( (n nZ,Z,且且n n0)0)也是也是f f( (x x) )的周期的周期. .如

6、果函数如果函数f f( (x x) )的周期为的周期为T T, ,则则f f( (xx)()(0)0)也是周期函数也是周期函数, ,且周期为且周期为. . 如果函数如果函数f(x)的周期为的周期为T,则则T也是也是的周期的周期. 周期的推导与利用函数的周期解决问题周期的推导与利用函数的周期解决问题.1( )f xT基础自测基础自测1.1.对任意实数对任意实数x x, ,下列函数为奇函数的是下列函数为奇函数的是 （ ） A.A.y y=2=2x x-3 B.-3 B.y y=-3=-3x x2 2 C. C.y y=ln 5=ln 5x x D.D.y y=-|=-|x x|cos |cos x

7、 x 解析解析 A A为非奇非偶函数为非奇非偶函数,B,B、D D为偶函数为偶函数,C,C为奇函为奇函 数数. .设设y y= =f f( (x x)=ln 5)=ln 5x x= =x xln 5,ln 5,f f（- -x x）=-=-x xln 5=ln 5= - -f f（x x）. . C2.2.（20082008全国全国理）理）函数函数 的图象关于的图象关于 （ ） A.A.y y轴对称轴对称 B.B.直线直线y y=-=-x x对称对称 C.C.坐标原点对称坐标原点对称 D.D.直线直线y y= =x x对称对称 解析解析 f f（x x）是奇函数）是奇函数.f f（x x）的图

8、象关于原点对称）的图象关于原点对称. . xxxf1)(,1)(xxxf).()1(1)(xfxxxxxfC3.3.（20082008福建理）福建理）函数函数f f（x x）= =x x3 3+sin +sin x x+1 (+1 (x xR R),), 若若f f（a a）=2=2，则，则f f（- -a a）的值为）的值为 （ ） A.3 B.0 C.-1 D.-2A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析解析 设设g g( (x x)=)=x x3 3+sin +sin x x, ,很明显很明显g g( (x x) )是一个奇函数是一个奇函数. . f f（x x）= =g g（x x）+

9、1.+1.f f（a a）= =g g（a a）+1=2+1=2， g g（a a）=1=1， g g（- -a a）=-1=-1，f f（- -a a）= =g g（- -a a）+1=-1+1=0. +1=-1+1=0. B4.(2011年全国大纲卷)设f(x)是周期为2的奇函数,当0 x1时,f(x)=2x(1-x),则f(-)等于()525.已知奇函数f(x)的周期为4.当x0,2时,f(x)=2x,则f(-1009)=.【解析】函数f(x)周期为4,于是f(-1009)=f(-1)=-f(1)=-2.【答案】-2题型一题型一 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断【例例1 1】 判断下列函

10、数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性： (1)(1) (2) (2) 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性, ,应先检查定义域是应先检查定义域是 否关于原点对称否关于原点对称, ,然后再比较然后再比较f f( (x x) )与与f f(-(-x x) )之间是否之间是否 相等或相反相等或相反. . 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析思维启迪思维启迪;11lg)(xxxf;11) 1()(xxxxf解解 (1) (1) 定义域关于原点对称定义域关于原点对称. .故原函数是奇函数故原函数是奇函数. .(2) 0(2) 0且且1-1-x x00 -1-1x x1,1,定义域关于原点不对称定义域关于原点不对称

11、, ,故原函数是非奇非偶函数故原函数是非奇非偶函数. . , 11011xxx),(11lg)11lg(11lg)(1xfxxxxxxxf又xx11 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性, ,其中包括两个必备其中包括两个必备条件条件: :一是定义域关于原点对称一是定义域关于原点对称, ,这是函数具有奇偶性的这是函数具有奇偶性的必要不充分条件必要不充分条件, ,所以首先考虑定义域对解决问题所以首先考虑定义域对解决问题是有利的是有利的; ;二是判断二是判断f f( (x x) )与与f f(-(-x x) )是否具有等量关系是否具有等量关系. .在判断奇偶在判断奇偶性的运算中性的运算中, ,可以转化为

12、判断奇偶性的等价等量关可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式系式( (f f( (x x)+)+f f(-(-x x)=0()=0(奇函数奇函数) )或或f f( (x x)-)-f f(-(-x x)=0()=0(偶函数偶函数)是否成立是否成立. .探究提高探究提高知能迁移知能迁移1 1 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性: : ;3|3|4)(2xxxf解解 (1) -2(1) -2x x22且且x x0,0,函数函数f f( (x x) )的定义域关于原点对称的定义域关于原点对称. .f f(-(-x x)=-)=-f f( (x x),),即函数即函数f f( (x x) )是奇函

13、数是奇函数. .,3|3|042xx,4)(4)(.4334)(2222xxxxxfxxxxxf又题型二题型二 函数的奇偶性与单调性函数的奇偶性与单调性【例例2 2】 已知函数已知函数f f( (x x),),当当x x, ,y yR R时，恒有时，恒有f f( (x x+ +y y)=)= f f( (x x)+)+f f( (y y).). (1) (1)求证：求证：f f( (x x) )是奇函数；是奇函数； (2)(2)如果如果x x为正实数，为正实数，f f（x x）0,0,并且并且f f(1)= (1)= 试求试求 f f( (x x) )在区间在区间-2-2，6 6上的最值上的最

14、值. . (1)(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明根据函数的奇偶性的定义进行证明, , 只需证只需证f f( (x x)+)+f f(-(-x x)=0;)=0; (2) (2)根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇 偶性的应用偶性的应用. . 思维启迪思维启迪,21(1)(1)证明证明 函数定义域为函数定义域为R R, ,其定义域关于原点对称其定义域关于原点对称. .f f（x x+ +y y）= =f f（x x）+ +f f（y y），令），令y y=-=-x x, ,f f(0)=(0)=f f( (x x)+)+f f(-(-x x).

15、).令令x x= =y y=0,=0,f f(0)=(0)=f f(0)+(0)+f f(0),(0),得得f f(0)=0.(0)=0.f f（x x）+ +f f（- -x x）=0=0，得，得f f(-(-x x)=-)=-f f( (x x),),f f( (x x) )为奇函数为奇函数. . （2 2）解解 设设x x, ,y y为正实数，为正实数，f f（x x+ +y y）= =f f（x x）+ +f f（y y），），f f（x x+ +y y）- -f f（x x）= =f f（y y）. .x x为正实数，为正实数，f f（x x）0,0,f f( (x x+ +y y)

16、-)-f f( (x x)0,)0,f f( (x x+ +y y) x x, ,f f( (x x) )在（在（0 0，+）上是减函数）上是减函数. .又又f f（x x）为奇函数，）为奇函数，f f（0 0）=0=0，f f（x x）在（）在（-,+-,+）上是减函数）上是减函数. .f f（-2-2）为最大值，）为最大值，f f(6)(6)为最小值为最小值. .f f(1)= (1)= f f(-2)=-(-2)=-f f(2)=-2(2)=-2f f(1)=1,(1)=1, f f(6)=2(6)=2f f(3)=2(3)=2f f（1 1）+ +f f（2 2）=-3.=-3.所求所

17、求f f( (x x) )在区间在区间-2-2，6 6上的最大值为上的最大值为1 1，最小值，最小值为为-3. -3. ,21 探究提高探究提高 （1 1）满足）满足f f( (a a+ +b b)=)=f f( (a a)+)+f f( (b b) )的函数，只的函数，只 要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数. .（2 2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用 方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注. . 1.1.正确理解奇函数和偶函数的定义正确理解奇函数和偶函数的定义

18、, ,必须把握好两必须把握好两 个问题个问题: : (1) (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数定义域在数轴上关于原点对称是函数f f( (x x) )为奇为奇 函数或偶函数的必要非充分条件函数或偶函数的必要非充分条件; ; (2) (2)f f(-(-x x)=-)=-f f( (x x) )或或f f(-(-x x)=)=f f( (x x) )是定义域上的恒等式是定义域上的恒等式. .2.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据. .为为 了便于判断函数的奇偶性了便于判断函数的奇偶性, ,有时需要先将函数进行有时需要先将函数进行 化简化简,

19、,或应用定义的等价形式或应用定义的等价形式: :f f(-(-x x)=)=f f( (x x) ) f f(-(-x x) ) f f( (x x)=0)=0 = =1(1(f f( (x x)0). )0). 方法与技巧方法与技巧)()(xfxf 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高3.3.奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称, ,偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y 轴对称轴对称, ,反之也真反之也真. .利用这一性质可简化一些函数利用这一性质可简化一些函数 图象的画法图象的画法, ,也可以利用它去判断函数的奇偶性也可以利用它去判断函数的奇偶性. .1.1.判断函数的奇偶性判

20、断函数的奇偶性, ,首先应该判断函数定义域是否首先应该判断函数定义域是否 关于原点对称关于原点对称. .定义域关于原点对称是函数具有奇定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的一个必要条件偶性的一个必要条件. . 失误与防范失误与防范2.2.判断函数判断函数f f( (x x) )是奇函数是奇函数, ,必须对定义域内的每一个必须对定义域内的每一个x x, , 均有均有f f(-(-x x)=-)=-f f( (x x).).而不能说存在而不能说存在x x0 0使使f f(-(-x x0 0)=-)=-f f( (x x0 0).).对对 于偶函数的判断以此类推于偶函数的判断以此类推. .1.1.若

21、函数若函数f f（x x）是定义在）是定义在R R上的偶函数，在（上的偶函数，在（-，0 0 上是减函数，且上是减函数，且f f(2)=0(2)=0，则使得，则使得f f( (x x)0)0的取值范围的取值范围 是是 （ ） A.(-,2)A.(-,2) B.(2,+) B.(2,+) C.(-,-2)(2,+) C.(-,-2)(2,+) D.(-2,2) D.(-2,2) 解析解析 f f（x x）是偶函数且在）是偶函数且在 (-,0(-,0上是减函数，且上是减函数，且f f（2 2） = =f f（-2-2）=0=0，可画示意图如图所，可画示意图如图所 示，由图知示，由图知f f( (x

22、 x)0)0的解集为（的解集为（-2-2，2 2）. . D2.2.(2009(2009陕西文，陕西文，10)10)定义在定义在R R上的偶函数上的偶函数f f( (x x) )，对，对 任意任意x x1 1, ,x x2 20,+)(0,+)(x x1 1x x2 2) )，有，有 则则 （ ） A.A.f f(3)(3)f f(-2)(-2)f f(1)(1) B. B.f f(1)(1)f f(-2)(-2)f f(3)(3) C. C.f f(-2)(-2)f f(1)(1)f f(3)(3) D. D.f f(3)(3)f f(1)(1)21,321,故有故有f f(3)(3)f f

23、(-2)(-2)00时，时，- -x x0,00）. . f f( (x x)= )= 即即f f( (x x)=-)=-x xlg(2+|lg(2+|x x|) (|) (x xR R). ). ).0()2lg(),0()2lg(xxxxxx12.12.已知函数已知函数 ( (x x0,0,常数常数a aR R).). (1) (1)讨论函数讨论函数f f( (x x) )的奇偶性，并说明理由；的奇偶性，并说明理由； （2 2）若函数）若函数f f( (x x) )在在2 2，+）上为增函数，求实数）上为增函数，求实数 a a的取值范围的取值范围. .xaxxf2)(解解 （1 1）当）当

24、a a=0=0时，时，f f（x x）= =x x2 2对任意对任意x x(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)，有有f f(-(-x x)=(-)=(-x x) )2 2= =x x2 2= =f f( (x x),),f f( (x x) )为偶函数为偶函数. .当当a a00时，时， ( (x x0,0,常数常数a aR R) )，若若x x= =1 1，则，则f f(-1)+(-1)+f f(1)=20(1)=20；f f(-1)-(-1)-f f(1),(1),f f(-1)(-1)f f(1).(1).函数函数f f( (x x) )既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数. .综上所述，当综上所述，当a a=0=0时，时，f f( (x x) )为偶函数；为偶函数；当当a a00时，时，f f（x x) )为非奇非偶函数为非奇非偶函数. . xaxxf2)(（2 2）设）设22x x1 1 x x2 2, , 要使函数要使函数f f( (x x) )在在x x2,+2,+）上为增函数，）上为增函数，必须必须f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0