艾滋病疗法的评价及疗效预测

1、疗法的评价及疗效的，雷指导：摘要：本主要根据美国医疗试验机构 ACTG 公布的两组数据，对几种不同的问题进行了研究。问题一要求根据附件 1 的数据病疗法的优劣以及疗效的患者在测试结束之后继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。在求解问题一的过程中，把附件 1 的数据按照测试排序，由于在某些特定的时刻，只有极少数的患者进行了测试，所测的数据对于 300 多人的整体情况而言是不具有参考价值的。所以在处理数据时，可以将这些数据直接剔除或者归到与其测试相接近的大量数据中，再求平均值。对数据进行曲线拟合时，我们结合最小二乘法选定拟合函数为：2f = u e+ u sin(k x) + u cos(k

2、x) + u + u x + u x2 + u x3 + u x4 + u x5 + u x6 经-k x11223345678910过多次调整各项参数，我们最终将方差逐步缩小，缩到较为理想的拟合曲线,HIV 浓度与 CD4细胞浓度的比值为极小时所对应的时刻且其后的时刻比值陡然变大,这时刻为最佳治疗终止时刻。对于问题二， 法，分别对四个附件二中的划分为四个阶段，并采用了与问题一中相同的方段的数据进行了处理。平均值越大，方差越小，疗法越优。问题三可以看作是问题二的基础上，又考虑了患者所需支付的费，因此我们引入了两类满意度函数Si 和 S¢j ，即消费费可增加的 CD4 细胞浓度，所以第

3、一类满意度函数值 Si 越大，疗法越优；第二类满意度函数值 S¢j 最大时对应的时刻，即为最佳治疗终止时刻。关键字：多项式拟合；非线性最小二乘曲线拟合；自定义拟合函数；平均值方差；第一类满意度；第二类满意度1基本假设1) 1300 多名随机地分为 4 组,每组的总体身体状况大致相同；2)每次测试都是在相同的条件下进行的；3) 四种疗法的进行都是相互每次服药都严格按照规定量服用；5) 每月均按 30 天算。的；4)2问题分析对问题(1)的分析：由题意可知，是利用附件 1 的数据，继续治疗的效果，显然是对 300 多名整体而言的，不必过于注重个人的不同情况，应着重于服用后，CD4 细胞浓

4、度的变化，以及 HIV 浓度的变化。于是我们可以利用附录中给出的数据，求其平均值，并利用求出数据作拟合曲线，观察其趋势，以便得到其结果。在拟合函数的过程中，我们对于问题进行概率问题的考虑，引入概率思想， 对问题进行优化，并引入方差，从而可以通过方差的大小来确认函数的拟合性。在拟合的时候，多项式拟合强调对点的符合性，虽然局部拟合较好，但是宏观拟合差距较大，从而使得结果确。为了能够得到更好的估值，我们选择第二种拟合方法，即自定义函数拟合法。我们应用指数函数、三角函数以及多项式组成新的自定义函数，由于自定义函数的拟合情况要比单纯的多项式更强调趋势问题，因此更适合用来继续治疗的效果，能够为我们解题提供

5、更大的帮助。对问题(2)的分析：对于处于不同段的患者，由于其身体状况的差异，治疗的作用不尽相同，因此我们可以按照对患者进行分段，使得处于同一段的患者身体状况的差异较小，降低由于患者自身的差异而产生的对治疗效果的影响。对于某种疗法，其优劣主要在于 CD4 细胞浓度平均值的大小及CD4 细胞浓度随时间变化幅度的大小(即浓度的方差)。平均值越大，方差越小， 疗法越优，反之，则疗法越劣。因此我们应用了概率与数理统计中平均值与方差的知识对问题二进行了求解。nå Lk-平均值： L = k =1-方差： D(L) = E(L - L) 2nk对于问题(3)的分析：问题(3)在问题(2)的基础上增

6、加了患者进行治疗所用费高低这个因素，能使患者花尽量少的为最优疗法。在使用某一疗法的过程中，若消费度最大时，即为最佳治疗终止时刻。得到最好的治疗效果的疗法，即费可增加的 CD4 细胞浓3符号说明fc CD4 含量与时间的拟合函数； fv HIV 含量与时间的拟合函数；L CD4 细胞浓度指标(lo4+1) ； Lk 第 k 个时刻 CD4 细胞浓度指标-(lo4+1)的值； L CD4 细胞浓度指标 L 的平均值；D(t) CD4 细胞浓度指标 L 的方差； Si 第一类满意度； S ¢j 第二类满意度；T1 第一个问题中的 CD4 细胞浓度离第 40 周最近的极大值点所对应的时刻；

7、T2 第一个问题中的 HIV 浓度最后一个极小值点所对应的时刻； Li 第i 个段的人使用最优疗法时，CD4 细胞浓度指标 L 随时间变化的函数； ti 第i 个段的人使用最优疗法时的最佳终止治疗时刻； Mi 同一段的采用第i ( i所付总费；M ¢j1，2，3，4)种疗法时，从开始服药到最佳疗终止时刻，采用某种疗法，从开始服药到第 j 个极大值点所对应的时刻 N j ，所付总费； Ni 同一段的人，分别采用四种不同疗法时的最佳治疗终止时刻； N ¢j 采用某种疗法 CD4 细胞浓度指标 L 函数的第 j 个极大值，所对应的时刻；Yi 同一段的人，分别采用四种不同疗法时的最

8、佳治疗终止时刻：CD4 细胞浓度指标 L(lo4+1)的值； Yj¢ 采用某种疗法 CD4 细Ni (胞浓度指标 L 函数的第 j 个极大值。44.14.1.1模型的建立与求解问题一 建模准备整理数据，由于问题问的是此药的治疗效果，是整体效果而不是每一个人或某一些人，于是可以把附件 1 的数据先按 CD4Date 排列，并求出每一段时间的平均值，后按 RNADate 排列，并求出每一段内的平均值，数据整理如下：4.1.2建立数学模型及模型求解（1）多项式拟合m 次多项式 P (x) = a + a x + a xm 使得m01mnnåi=1åd2) = y - p

9、 (x )2 = F (a , a ,L, a ) 为最小，即选取参数 ai( i =0,1,n)，(iimi01mi=1nn, a ,L, a ) = å y- P (x )2 = min å y -y (x )2使得 F (a，其中 H 为至多 m 次多01mimiiifÎHi=1i=1项式集合。这就是数据的多项式拟合， Pm (x) 称为这组数据的最小二乘 m 次拟合多项式。对该小问若用多项式来拟合，则为了方差小，而用多项式拟合。在建立函数的过程中，我们对于问题进行了概率问题的考虑，引入了概率思想，对问题进行了优化，并引入了方差，从而可以通过方差的大小来确认

10、函数的拟合性。在拟合的时候，多项式拟合强调对点的符合性，虽然局部拟合较好，但是宏观拟合差距较大，从而使得结果确。为了能够得到更好的估值，我们选择了第二种拟合方法，即自定义函数拟合法。我们应用了指数函数、三角函数以及多项式组成新的自定义函数，由于自定义函数的拟合情况要比单纯的多项式更强调趋势问题，因此更适合用来的帮助。（2）非线性最小二乘曲线拟合非线性曲线拟合问题的数学模型为：继续治疗的效果，为我们解题提供更大åf (x, data) - Count 2 =( f (x, data ) - Count )2minxii2i其中 xdata和 ydata 为原始数据向量， f (x, x

11、data) 为最优拟合向量值函数。其目标是使通过拟合函数算出的值与原始数据值差的平方和最小。于是我们根据这个方法确定本拟合模型的目标函数为：CD4Count 或RNADateCD4CountVLoadCD4Count 或RNADateCD4CountVLoad085.154935.02159124185.74772.829634134.34513.21357125163.48392.758755128.84723.07142939211.69012.7666677147.93442.99353640195.98942.7392868152.53852.71486541145.51793.144

12、449171.10812.925nmin å( f (x, data ) - Count)2iiii=1它表示非线形最小二乘拟合的最小方差，即最优解。最小二乘法拟合函数时，首先要确认 f (x) 的形式。这不单纯是数学问题，还在所研究问题的数据规律有关；通常要从问题的数据规律及给定数据描图，确定 f (x) 的形式，并通过实际计算选出好的结果。我们的目标函数结合了自定义函数拟合及最小二乘优化的方法，比之前单纯的多项式拟合更加完备、更加优化，可靠性更强，度更高。于是我们结合了统计优化的方法，采用了包括指数函数、三角函数、多项式函数带参复算。的自定义函数拟合的方法分别对 CD4 细胞和

13、HIV 的数据进行计自定义拟合函数为：- k x2f = u e+ u sin(k x) + u cos(k x) + u + u x + u x2 + u x3 + u x4 + u x5 + ux611223345678910于是我们根据这个方法确定本模型的目标函数为：nmin å( f (x, data ) - Count)2iixi=1按照此目标函数，根据表 5.1 经过用 Mathematic 软件进行拟合。图一 CD4 含量 fc 与时间 t 的拟合函数图二 HIV 含量 fv 与时间 t 的拟合函数CD4 含量 fc 与时间t 的拟合函数，经多次调整后取k1 = 0.0

14、5, k2 = 0.798, k3 = 0.4 得：2fc = -503.356 + 664.039e-0 05t + 96.6506t - 2.58651t2 - 0.149071t3 + 0.00780519t4 -0.000931944t5 - 75.484Cos0.4t - 6.3945Sin0.798t同理，HIV 含量 fv 与时间t 的拟合函数取k1 = -1.2, k2 = 0.25, k3 = 0.4 得：2fv = 4.76715 + 0.768902e-1 2t - 0.510965t + 2.58721´10-7 t5 - 0.514464Cos0.4t -0

15、.0401404Sin0.25tc) 确定最佳治疗终止时间治疗的目的，是尽量减少内 HIV 的数量，同时产生的 CD4细胞，至少要有效地降低 CD4 细胞减少的速度，以提高免疫能力。迄今为止人类还没有找到能根治 AIDS 的疗法，目前的一些 AIDS 疗法只能控制病情的继续当 CD4 被 HIV。人类免疫系统的CD4 细胞在抵御HIV 的中起着重要作用，而裂解时，其数量会急剧减少，HIV 将迅速增加，导致 AIDS发作。如果某种疗法能使的 CD4 细胞浓度增加或者能够有效地降低 CD4 减少地速度，同时使得 HIV 浓度在一定范围之内,即可认为此种疗法有效。通过观察图一，可以发现 CD4 细胞

16、浓度在第 50 周之前，总趋势是在上升， 有效地降低了 CD4 减少的速度，符合治疗的预期效果。再观察图二，可以发现在第 40 周之前，HIV 浓度在一定范围内波动，继续服药可以维持 CD4 细胞的数量， 同时也可以抑制 HIV 浓度的增长，也同样达到了治疗的效果。而在最后一个最低点之后，HIV 浓度呈无限增大的趋势，此种疗法已经失去了作用，应停止使用此疗法。所谓最佳终止时刻是指T = fv 取得最小时的t 值。此时刻就为最佳的治疗终fc止时间，用 Mathematic（程序见附件），得：t= 37.3014。综上所述使用这种疗法的最佳治疗终止时间为 ：第 37.3014 周。4.2 问题二4

17、.2.1 建模准备将附件 2 的数据按先按疗法分类，后在同一疗法内按排序。根据法定标准，把第 1第 2划分为：段：15-25 岁； 段：26-45 岁；第 3第 4段：46-60 岁； 段：60 岁以上。在不同的段内，对于测试时间相同的，求其 CD4 含量的平均值。对于某种疗法，其优劣主要在于 CD4 细胞浓度平均值的大小及 CD4 细胞浓度随时间变化幅度的大小(即浓度方差)。平均值越大，方差越小，疗法越优，反之，则疗法越劣。nå Lk k =1n-平均值：L =-方差：D(L) = E(L - L)2 k4.2.2建立数学模型及其求解疗法 1：600mg 疗法 2：600mg 疗法

18、 3：600mg 疗法 4：600mgzidovudine zidovudine zidovudine zidovudine与 400mg didanosine 按月轮换使用； 加 2.25mg zalcitabine；加 400mg didanosine；加 400mg didanosine 加 400mg nevirapine。说明：折线为 CD4 细胞浓度指标的实际值 L 的连线，粗的曲线为拟合曲线、第 1段：15-25 岁图 11：疗法 1图 21：疗法 2图 31：疗法 3a)评价 4 种疗法的优劣图 41：疗法 4首先用 Mathematic 软件拟合得出四种疗法在 15-25段的

19、 CD4 细胞浓度指标 L 随测试时间变化的折线图及其拟合曲线，如上图所示。然后用 Excel，求出四种不同疗法在测试时间段内的CD4 细胞浓度指标L 的平均数及方差，如下(表5.2.1)根据表 5.2.1，可以看出疗法 3 与疗法 4 中 CD4 细胞浓度指标 L 的平均值相对较大，而且方差相对较小，所以疗法 3 和 4 相对于疗法 1 和 2 较优。但由图31 看出，疗法 3 中衡量 CD4 细胞浓度的指标 L 在 10 周左右急剧下降至零，从题目中可知此时 HIV 浓度将迅速增加，导致 AIDS 发作。疗法 4 中 CD4 细胞浓度指标 L 在测试期间，始终在 1.5 以上波动。综上所述

20、，对于 1525 岁 段的人，采用疗法 4 最优，即日用药为 600mg zidovudine 加 400mg didanosine 加 400mg nevirapine。b)确定较优的疗法的最佳治疗终止时间用 Mathematic 软件，得出使用最优疗法时，CD4 细胞浓度指标 L 随时间变化的函数：L = -0.818341+ 0.697947t 2 - 0.14767t3 + 0.0121616t 4 - 0.000480116t5 +19.09016 ´10-6 t6 - 6.62953´10-8 t7 + 3.04307Cos0.4t -1.68848Sin0.5

21、t在这里，所谓最佳治疗终止时刻是指在此时刻之前 HIV 浓度在一个确定的值(相对较小)周围较小幅度波动，且 CD4 细胞浓度增长或者在一个确定的值(相对较大)周围较小幅度波动，而在此时刻之后 HIV 浓度呈急剧增长，或 CD4 细胞浓疗法CD4 细胞浓度指标 L 的平均值CD4 细胞浓度指标L 的方差疗法 12.54510.8786疗法 21.67370.9434疗法 32.64830.9859疗法 42.72210.8972度急剧下降。由最佳治疗终止时刻的定义，可知图 41 中最后一个极大值所对应的时刻即为最佳治疗终止时刻。用 Mathematic 软件，求得：对于 1525 岁段的人，较优

22、疗法的最佳治疗终止时刻为：t1 32.8475周、第 2段：2645 岁图 12：疗法 1图 22：疗法 2图 32：疗法 3a)评价 4 种疗法的优劣图 42：疗法 4用 Excel，求出四种不同疗法在测试时间段内的 CD4 细胞浓度指标 L 的平均数及方差，如下(表 5.2.2)由表 5.2.2 中数据看出，疗法 3 的 CD4 细胞浓度指标 L 的平均值最大，而方差最小，即波动最小。综上所述，对于 26-45 岁段的人，采用疗法 3 最优，即日用药为 600mgzidovudine 加 400mg didanosine。b)确定较优的疗法的最佳治疗终止时间用 Mathematic 软件，

23、得出使用最优疗法时，CD4 细胞浓度指标 L 随时间变化的函数：2L = 40779.1- 4.19247e-0 29t -1.87224t - 50.618t2 - 0.0319954t3 + 0.0122105t4 -20.000042383t5 - 3.78834´10-7 t6 - 40772.1Cos0.05t + 0.207227Sin0.5t疗法CD4 细胞浓度指标 L 的平均值CD4 细胞浓度指标L 的方差疗法 12.99872.8162疗法 22.70130.7855疗法 33.07050.7833疗法 42.95130.8274根据对于 1525 岁得：段的人，较

24、优疗法的最佳治疗终止时刻的求法，可对于 26-45 岁、第 3段的人，较优疗法的最佳治疗终止时刻为： 段：4660 岁28.6089 周图 13：疗法 1图 23：疗法 2图 33：疗法 3a)评价 4 种疗法的优劣图 43：疗法 4用 Excel，求出四种不同疗法在测试时间段内的 CD4 细胞浓度指标 L 的平均数及方差，如下(表 5.2.3)由表 5.2.3 中数据看出，疗法 3 中 CD4 细胞浓度指标 L 的平均值最小，而方差最大，即波动幅度最大，所以疗法 3 的疗效是的。通过比较，疗法 1、疗法 2、疗法 4 中，CD4 细胞浓度指标 L 的方差相差不大，即波动情况基本相同， 而其平

25、均值相差比较大，且疗法 2 最大，治疗效果最明显。综上所述，对于 46-60 岁段的人，采用疗法 4 最优，即日用药为 600mgzidovudine 加 400mg didanosine 加 400mg nevirapineb)确定较优的疗法的最佳治疗终止时间用 Mathematic 软件，得出使用最优疗法时，CD4 细胞浓度指标 L 随时间变化的函数：2234L = 1.51144 +1.9784e-t + 0.0845275t - 0.00958385t + 0.00040022t -36.96061´10-6 t5 + 4.0599´10-8t6 - 0.51336

26、9Cos0.4t +0.269465CostSin0.1t + 0.496569Sin0.5t疗法CD4 细胞浓度指标L 的平均值CD4 细胞浓度指标 L 的方差疗法 12.96820.9112疗法 22.94910.8195疗法 32.85831.0386疗法 43.27660.9676根据对于 1525 岁段的人，较优疗法的最佳治疗终止时刻的求法，可得:对于 46-60 岁段的人，较优疗法的最佳治疗终止时刻为： t3 = 34.4763周、第 4段：60 岁以上图 14：疗法 1图 24：疗法 2图 34：疗法 3a)评价 4 种疗法的优劣图 44：疗法 4用 Excel，求出四种不同疗法

27、在测试时间段内的 CD4 细胞浓度指标 L 的平均数及方差，如下(表 5.2.4)由表 5.2.4 中数据看出，疗法 1 和疗法 2 中 CD4 细胞浓度指标 L 的方差相差较小，即波动状况基本相同，而 CD4 细胞浓度指标 L 的平均值相差较大，所以疗法 2 相对于疗法 1 较优。疗法 2 和疗法 4CD4 细胞浓度指标 L 的平均值相差较小， 而疗法 3 的方差比疗法 2 的方差大的多，即疗法 3 的波动幅度较大，不稳定，因此疗法 2 优于疗法 3。疗法 4 中，虽然 CD4 细胞浓度指标 L 波动大于疗法 2，但其数值在 3.6831 上下波动，而疗法 2 中，在 3.4147 上下波动

28、，可以看出疗法 4 优于疗法 2。综上所述，对于 60 岁以上的人，采用疗法 4 最优，即日用药为 600mg zidovudine 加 400mg didanosine 加 400mg nevirapine。b)确定较优的疗法的最佳治疗终止时间用 Mathematic 软件，得出使用最优疗法时，CD4 细胞浓度指标 L 随时间变化的函数：疗法CD4 细胞浓度指标 L 的平均值CD4 细胞浓度指标 L 的方差疗法 12.87420.4784疗法 23.41470.4437疗法 33.24471.3138疗法 43.68310.8474L = 2.89185 + 0.0313741t 2 - 0

29、.00301069t3 + 0.0000957965t 4 -49.71108´10-7 t5 - 4.02265´10-10 t6 - 0.084699Sin0.4t根据对于 1525 岁得：段的人，较优疗法的最佳治疗终止时刻的求法，可段的人，较优疗法的最佳治疗终止时刻为： t4 = 39.298 周对于 60 岁以上4.3问题三药品的主要供给商对不发达提供的药品价格如下： 600mgzidovudine 1.60，400mg didanosine 0.85，2.25 mg zalcitabine 1.85，400 mg nevirapine 1.20。由题中已知量得：我

30、们采用问题一中求解最佳治疗终止时刻的方法，求出对于同一段的人，分别采用四种不同疗法时的最佳治疗终止时刻 Ni (：周)及在此时刻的CD4 细胞浓度指标 L(lo4+1)的值Yi 。同一段的采用第i ( i 1，2，3，4)种疗法时，从开始服药到最佳治疗终止时刻，所付总费为Mi ()。Yi M对于四种疗法的优劣评价，我们引入了第一类满意度： S =ii当第一类满意度Si 取最大时，对应的疗法为最优疗法。而要确定较优疗法的最佳治疗终止时间，解决此问题，可以看作是第二小问的基础上，又考虑了患者所需支付的费，因此我们又引入了第二类满意度：Y j¢S ¢ =M ¢jj上式中

31、Yj¢ 为此疗法的 CD4 细胞浓度指标 L 函数的第 j 个极大值，所对应的时刻(：周)为 N ¢j 。M ¢j 为从开始服药到第 j 个极大值点所对应的时刻 N ¢j ，所付总费(：）。当第二类满意度 S j 取最大时，所对应的时刻为较优疗法的最佳治疗终止时间。现对疗法 1 两种情况，第一种情况为第一先服用 600mg zidovudine，第二种情况为第一先服用 400mg didanosine，对各段求解。、第 1段：15-25 岁a)求出了在此段的人分别采用不同疗法时的Yi 及Mi 的值( i 1，2，3，疗法日用药消费（）疗法日用药消费（美元

32、）疗法 11.60 或 0.85疗法 32.45疗法 23.45疗法 43.654)。由问题二中图及题有：Yi由公式S =计算得：iMi在情况一和情况二中，均为满意度S1 最大，则对于处于第 1说，第一种疗法最优。b)确定较优疗法的最佳治疗终止时间用Mathematic 软件求出CD4 细胞浓度指标L 函数的所有极大值点所对应的函数值Yj¢ 及其时刻 N ¢j ,并由题有：段的人来Y j¢由题得及由公式S ¢ =得：jM ¢j在情况一和情况二中，均为第二类满意度 S1 最大，即最佳治疗终止时间为j12345第一种情况 S ¢j0.08

33、9420.044130.036250.023210.01439第二种情况 S ¢j0.168320.048300.040200.025110.01499j12345时刻 N ¢j （周）2.9390310.052912.273515.188218.3841函数值Yj¢2.94343.975884.167323.141982.31484第一种情况 M ¢j32.917190.0925114.9632135.3698160.9012第二种情况 M ¢j17.487282.3148103.6632125.1078154.3854i1234第一种情况

34、Si0.0149939050.0037460.004480.002425第二种情况 Si0.0143870.0037460.004480.002425i1234时刻 Ni （周）18.384137.41439.279438.1969函数值Yi2.314843.384713.017952.36696第一种情况 M i154.385395903.5481673.64171975.930795第二种情况 M i160.90192903.5481673.64171975.9307952.93903。、第 2段：26-45 岁a)求出了在此段的人分别采用不同疗法时的Yi 及Mi 的值( i 1，2，3，

35、4)。 由问题二中图及题有：Yi由公式S =计算得：iMi在情况一和情况二中，均为满意度S1 最大，则对于处于第 2第一种疗法最优。b)确定较优疗法的最佳治疗终止时间段的人来说，用Mathematic 软件求出CD4 细胞浓度指标L 函数的所有极大值点所对应的函数值Yj¢ 及其时刻 N ¢j ，并由题有：Y j¢由公式S ¢ =得：jM ¢jj1234j1234时刻 N ¢j （周）6.082615.275626.950237.5273函数值Yj¢3.642132.556355.578283.9759第一种情况 M 

36、2;j58.6950135.8898234.342330.306第二种情况 M ¢j21.6707126.087227.854313.287i1234第一种情况 Si0.012040.0025960.0068930.003079第二种情况 Si0.012690.0025960.0068930.003079i1234时刻 Ni （周）37.527340.089228.608937.946函数值Yi3.97592.559853.381762.98548第一种情况M i330.305576986.1542490.6426969.5203第二种情况M i313.2874986.1542490

37、.6426969.5203在情况一和情况二中，均为第二类满意度 S1 最大，即最佳治疗终止时间为6.0826。、第 3段：49-60 岁a)求出了在此段的人分别采用不同疗法时的Yi 及Mi 的值( i 1，2，3，4)。由问题二中图及题有：Yi由公式S =计算得：iMi在情况一和情况二中，均为满意度S1 最大，则对于处于第 3第一种疗法最优。b)确定较优疗法的最佳治疗终止时间段的人来说，用Mathematic 软件求出CD4 细胞浓度指标L 函数的所有极大值点所对应的函数值Yj¢ 及其时刻 N ¢j ，并由题有：j1234时刻 N ¢j （周）1.8600712.

38、296426.593636.6451函数值Yj¢5.124713.457083.731544.30036第一种情况 M ¢j20.8328115.220230.348320.425第二种情况 M ¢j11.067495.664225.732308.038i1234第一种情况 Si0.0125580.0035620.0063890.003715第二种情况 Si0.0142240.0035620.0063890.003715i1234时刻 Ni （周）38.645138.774139.252436.3152函数值Yi4.300363.338744.301133.40467第一种情况 M i342.4383936.3945673.1787927.8534第二种情况 M i302.3251936.3945673.1787927.8534第一种情况 S ¢j0.062050.018810.023800.01204第二