利用MATLAB设计状态观测器

1、实验5 利用MATLAB设计状态观测器5.1 实验设备同实验1。5.2 实验目的1、学习观测器设计算法；2、通过编程、上机调试，掌握基于观测器的输出反馈控制系统设计方法。5.3 实验原理说明考虑如下的线性时不变系统&=Ax+Bux (5.1) y=Cx其中：x,u和y分别是系统的n维状态向量、m维控制输入向量和p维测量输出向量，A,B和C是已知的适当维数常数矩阵。根据系统模型（5.1）和输入输出信息来人为地构x(t)随着时间的推移逼近系统的真实状态x(t)，即 造一个系统，使得其输出limx(t)x(t)=0 t通常称x(t)为x(t)的重构状态或状态估计值，而这个用以实现系统状态重构

2、的系统为状态观测器。龙伯格观测器具有以下结构：图5.1 状态估计的闭环处理方法其中的矩阵L是误差信号的加权矩阵。观测器模型是&=Axx+Bu+L(yCx) (5.2) =(ALC)x+Bu+Lyx是观测器的n维状态，L是一个n×p维的待定矩阵。 其中：x的动态方程： 状态估计误差e=x&&=x&exxBuLy=Ax+Bu(ALC)(5.3) =Ax(ALC)xLCx=(ALC)e16根据线性时不变系统的稳定性结论，若矩阵ALC的所有特征值均在左半开复平面中，即矩阵ALC的所有特征值都具有负实部，则误差动态系统（5.3）是渐近稳定的，从而对任意的初始误差

3、e(0)，随着时间t，误差向量e(t)都将趋向于零。即无论系统的初始状态x(0)是什么，状态估计模型（5.2）的初始状态x(0)可以任意选取，随着时间的推移，状态估计模型（5.2）的状态x将趋于系统的实际状态，从而实现系统状态的重构。由此可见，只要通过适当选取矩阵L，使得矩阵ALC的所有特征值都具有负实部，则状态估计模型（5.2）就是系统（5.1）的一个状态观测器。由极点配置和观测器设计问题的对偶关系，也可以应用MATLAB中极点配置的函数来确定所需要的观测器增益矩阵。例如，对于单输入单输出系统，观测器的增益矩阵可以由函数L=(acker(A,C,V)得到。其中的V是由期望的观测器极点所构成的

4、向量。类似的，也可以用L=(place(A,C,V)来确定一般系统的观测器矩阵，但这里要求V不包含相同的极点。假定系统（5.1）的矩阵C具有形式10（对一般结构的矩阵C，需要作适当的变换）。根据矩阵C的结构，将系统状态x分划成两部分：xx=a xb其中的xa是一个标量。由xy=Cx=10a=xa xb可知：xa恰好是系统的输出，它能被直接测量得到。xb是n1维向量，是状态向量中不能直接测量的部分。将状态空间模型（5.1）中的矩阵A和B作相应的分块，则该状态空间模型可以写成&aAaaxx=A&bbaAabxaBa+u （5.4） AbbxbBb其中的xb是要估计的状态，将已知信号

5、和未知信号分离，可以得到&b=Abbxb+(baxa+Bbu)x&aAaaxaBau=Aabxbx表5.1 状态空间模型的对应关系 进而，将其和全阶观测器设计时的标准模型（5.2）相比较，可得以下对应项之间的关系：全阶观测器x 降阶观测器 xbAbbAbaxa+Bbu A Buy17&aAaaxaBau xC AabL（n×1维矩阵）根据上表给出的对应关系及全阶观测器的模型 L（(n1)×1维矩阵）&=(ALC)xx+Bu+Ly&=(ALA)&xbbbabxb+Abaxa+Bbu+L(xaAaaxaBau) （5.5） 然而，

6、方程（5.5）还不是所要的降阶观测器。因为在方程（5.5）中，用到了xa的微分。由于xa就是测量输出信号，而测量信号往往含有噪声和误差，对这样的信号进行微分会放&a。 大噪声和误差，这在实际应用中是应该避免的。因此有必要消除式（5.5）中的x通过将式（5.5）中的微分项放在一起可以克服上面讲到的困难，即得到：&Ly%&=(AbbLAab)(x%bLy)+(AbbLAab)L+AbaLAaayxb （5.6） +(BbLBa)u定义 可以得到估计不可直接测量状态xb的观测器xbLy=wxbLy=wAbbLAab=AL+ALA=BAbaaaBLB=Fba则式（5.6）可以写

7、成+B&=Awy+Fu （5.7） w式（5.7）就是要设计的降阶观测器，不可直接测量的状态分量xb的估计量由下式给出：+Ly x=wb由于xy01x=a=Iw+Ly x+ywLb记=0， D=1 CIL则+Dwy x=C和测量值y给出了系统状态x的估计值上式用降阶观测器的状态wx。基于状态估计值的反馈控制器是%u=Kx %(Ka+KbL)y=Kbw因此，基于降阶观测器的输出反馈控制器是+B&=(AFK)wF(K+KL)ywbab （5.8） u=Kbw(Ka+KbL)y18基于降阶观测器的输出反馈控制系统结构图如下：图5.2 基于降阶观测器的反馈控制系统满足方程 容易证明，误

8、差向量e=xbxb=ww&=(AbbLAab)e （5.9） e因此，若(Aab,Abb)完全能观，则一定可以通过选取一个适当的矩阵L，使得误差动态系统（5.9）具有任意给定的极点，这样的矩阵L可以应用全阶观测器的设计方法来设计。矩阵L也称为是系统的降阶观测器增益矩阵。对于降阶观测器的设计，使用MATLAB软件中的函数L=(acker(Abb,Aab,V)或L=(place(Abb,Aab,V)可以得到观测器的增益矩阵L。其中的V是由降阶观测器的期望极点所组成的向量。5.4 实验步骤1、基于观测器的输出反馈控制系统的设计，采用MATLAB的m-文件编程；2、在MATLAB界面下调试程序

9、，并检查是否运行正确。例5.1 给定线性定常系统y=100x试应用MATLAB软件，设计一个全维观测器，使得观测器极点是1=5+j5，1=5j5，3=10。配置全阶观测器极点的M-文件为：a=0 1 0;0 0 1;1.244 0.3965 -3.145;19b=0;0;1.244;c=1 0 0;v=-5+j*5*sqrt(3) -5-j*5*sqrt(3) -10;l=(acker(a',c',v)'执行以上程序可得：16.855 L=147.3875544.3932相应的全维观测器是：&%=(ALC)x%+Bu+Ly x例5.2 考虑例5.1给出的系统。假

10、设输出y可准确量测。试应用MATLAB软件，设计一个降阶观测器，使得其极点是1=5+j5, 1=5j5。由于输出y可准确量测，同时y=x1，因此可得：100Aaa=0，Aab=10，Aba=，Abb=0.39653.145 1.2440Ba=0，Bb= 1.244执行以下的M-文件：Aaa=0;Aab=1 0;Aba=0;1.244;Abb=0 1;0.3965 -3.145;Ba=0;Bb=0;1.244;v=-5+j*5*sqrt(3) -5-j*5*sqrt(3);l=(acker(Abb',Aab',v)'Ahat=Abb-l*AabBhat=Ahat*l+Aba-l*AaaFhat=Bb-l*Ba可得：20131.846506.8556.855L=A=，B=，F= 78.837578.4413.1451.244784.4132即所设计的降阶观测器为：131.84650&%+By+Fu=6.855%=Aw%ww+y+78.4413.145784.41321.244u 5.5 实验要求在运行以上例程序的基础上，考虑图5.3所示的调节器系统，试针对被控对象设计基于全阶观测器和降阶观测器的输出反馈控制器。设极点配置部分希望的闭环极点是1,2=2