第五章定积分

1、第五章 定积分 第一节 定积分的概念教学目的：理解定积分的定义教学重点：连续变量的累积教学难点：连续变量的累积教学内容：一、定积分举例：1、 曲边梯形面积设在 上非负，连续，由直线x = a, x = b, y = 0 及曲线所围成的图形，称为曲边梯形。求面积：在区间 a,b 中任意插入若干个分点，把a,b分成n个小区间, ,它们的长度依次为： 经过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形，在每个小区间上任取一点，以为底，为高的窄边矩形近似替代第个窄边梯形（i=1,2,n）,把这样得到的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即 =设时，可得曲边梯形的面积2、 变

2、速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上t的连续函数，且，计算在这段时间内物体所经过的路程S在内任意插入若干个分点把分成n个小段， 各小段时间长依次为：相应各段的路程为：在上任取一个时刻，以时的速度来代替上各个时刻的速度，则得： 进一步得到： =设时，得： 二、定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积，路程.将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义 设函数上有界，在a,b中任意插入若干个分点 把区间a,b分成个小区间 各个小区间的长度依次为.在每个小区间上任取一点)

3、,作函数值与小区间长度的乘积并作出和 .记,如果不论对a,b怎样分法,也不论在小区间上点怎样取法,只要当时,和S总趋于确定的极限,这时我们称这个极限为函数在区间a,b上的定积分(简称积分), 记作,即 =,其中叫做被积函数, 叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限, a,b叫做积分区间.注意：积分与积分变量无关，即： 函数可积的两个充分条件：定理1 设上连续，则在a,b上可积。定理2 设上有累，且只有有限个间断点，则上可积。例：利用定积分定义计算 解：连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对0,1n等分，分点取相应小区间的右端点，故 = = = （即），由定积分的定义得：

4、 =小结：重述定积分的定义；注意其中的两个“任意”涉及对连续变量的累积，一般采用分割，近似求和，取极限的方法进而归结到求定积分。作业：作业卡：P52P55第二节 定积分的性质、中值定理教学目的：掌握定积分的性质，特别是中值定理教学重点：熟练运用性质教学难点：中值定理教学内容：为方便定积分计算及应用，作如下补充规定：（1） 当a=b时，（2） 当a>b时，性质1 函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即证明： = =性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即 (是常数)性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设 a<c&l

5、t;b,则注意：我们规定无论a,b,c的相对位置如何，总有上述等式成立。性质4 如果在区间a,b 上，性质5 如果在区间a,b 上， 证明：因故，又因，故，设时，便得欲证的不等式。推论1 如果在a,b 上， （a<b）推论2 性质6 设M与m分别是函数上的最大值及最小值，则 （a<b）性质7 （定积分中值定理） 如果函数在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一点，使下式成立： （）证明：利用性质6，；再由闭区间上连续函数的介值定理，知在a,b上至少存在一点，使 ，故得此性质。显然无论a.>b，还是a<b，上述等式恒成立。做本节后面练习，熟悉上面各性质。积分中

6、值定理的几何释意如下：在区间a，b上至少存在一个，使得以区间a, b为底边, 以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积, 见下图。（在下面做p286图5-4）小结：简捷综述上面各性质作业：作业卡：P52P55第三节 微积分基本公式教学目的：掌握微积分基本公式及其应用教学重点：公式的应用教学难点：公式的应用教学内容：一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度，使其成为一数轴，时刻t 时物体所有的位置，速度。物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分来表达，即 另一方面，这段路程可以通过位置函数在区间的

7、增量来表示，即故=注意到，即是的原函数。二、积分上限的函数及其导数设在上连续，并且设为上任一点，设 函数具有如下性质：定理1 如果函数在区间上连续，则积分上限函数在a,b上具有导数，并且它的导数是 = （）证明：（1）时， = =在之间 时，有 （2）其单侧导数，可得 ，由定理1可得下面结论定理2 如果函数在区间a,b上连续，则函数 是的一个原函数。Newton的积分上限函数的几何意义如下：（P209图55放在下面）三、Newton Leibniz 公式定理3 如果函数是连续函数在区间a,b上的一个原函数，则证明：因与均是原函数，故 = （）又因 故 为方便起见，把记作上述公式就是Newton

8、 Leibniz 公式，也称作微积分基本公式。例1 例2 计算 解：=例3 解：例4 计算 在上与轴所围成平面图形的面积。解：上例的几何释义如下：（书图P292， 5-4）例5 汽车以每小时36 km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了距离？解：时，故 即刹车后，汽车需要走10m才能停住。例6 设在0，+内连续且>0，证明函数在（0，+）内为单调增加函数。证明：=，=故=>0故在（0，+）内为单调增加函数。例7 求 =利用Hospital 法则得=小结：Newton Leibniz 公式.作业：作业卡：P52P55 第四节 定积分的换元

9、法教学目的：掌握换元积分法教学重点：熟练运用换元积分法教学难点：灵活运用换元法教学内容：定理 假设函数在a,b上连续，函数满足条件： （1） （2）在（或）上具有连续导数，且其值不越出a,b 则有 例1 计算 （a>0）解：设 则 且时；故= =换元公式也可以反过来使用，即例2 计算 解：设，则-=例3 计算 解：= =例4 计算 解：设，则；故 = = =例5 证明（1） 若在a,b上连续且为偶函数，则 =（2） （2）若在a,b上连续且为奇函数，则 =0证明：=+ =+ =+ =（1）为偶函数时，+= 故 =（2）为奇函数时，+=0 故=0例6 若在0，1上连续，证明（1）；（2），

10、由此计算 证明：（1）设 且当时，；当故 = = =（2）设， = = = 利用此公式可得：= = = =例7 设函数计算 解：设=小结：换元法定理。作业：作业卡 P56P59 第五节 定积分的分步积分法教学目的：掌握分步积分法教学重点：熟练应用分步积分法教学难点：灵活应用分步积分法教学内容： 设在a,b上具有连续导数，则有 故 这就是定积分的分步积分公式。例1 解：设u=arcsin,则 = =arcsin+ =例2 计算 解：设，则 = = = = =2例3 证明定积分公式=证明：设由分步积分公式可得： = 故 由此递推公式可得所证明等式。小结：分步积分公式。作业：作业卡 P60P61 第

11、七节 广义积分教学目的：理解无穷限广义积分和无界函数广义积分和定义及计算教学重点：利用广义积分的定义计算教学难点：概念产生的背景教学内容：一、无穷限广义积分定义1 设函数在区间a,+ 上连续，取.如果极限存在,则称此极限为函数在无穷区间a,上的广义积分,记作,即 =这时也称广义积分收敛;如果上述极限不存在,函数在无穷区间a,上的广义积分就没有意义,习惯上称为广义积分发散,这时记号不再表示数值了.类似地,设函数在区间,b上连续,取a<b. 如果极限 存在，则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分，记作，即 =这时也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，就称广义积分发散。设函数在区间（）上连续，

12、如果广义积分 和 都收敛，则称上述两广义积分之和为函数在无穷区间（）上的广义积分，记作，即 = +=+这时也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。例1 计算广义积分 ,解：=+=+=上述广义积分的几何释义如下：（书图P316 5-12）例2 计算广义积分 （p是常数，且p>0）解：=a) 证明广义积分当时收敛；当时发散。证明：当时，=当，故命题得证。例3 无界函数的广义积分定义2 设函数在a,b 上连续，而在点a的右邻域内无界，取，如果极限存在，则称此极限为函数在a,b 上的广义积分，仍然记作即 =这时也称广义积分收敛。如果上述极限不存在，就称广义积分发散。类似地，设函数在a,b 上连续，而在点b的左邻域内无界，取>0,