解析几何范围最值、定点定值问题

1、解析几何范围最值、定点定值问题一、范围最值问题：1、已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1(1)求动点P的轨迹C的方程(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线，设l1与轨迹C交于A、B两点，l2与轨迹C交于D、E两点，求的最小值2、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线的焦点P为其一个焦点，以双曲线的焦点Q为顶点。(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M是线段CD上的动点，求的取值范围。解：(1)抛物线的焦点P为(4，0)，双曲线的焦点Q为(5，0)可设椭圆的标准方程为，由已知有a>b>0，且

2、a=5，c=4 3分，椭圆的标准方程为 5分(2)设，线段CD方程为，即7分点M是线段CD上，10分将代入得 . 12分，的最大值为24，的最小值为。的取值范围是。 .14分3、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切(I)求椭圆C的方程；(II)设P(4，0)，M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；解：(1)由题意知， 所以，即， , 又因为， 故椭圆C的方程为 6分(II)由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为.由得 .10分由，得， 13分又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是：

3、14分4、一动圆与圆外切，与圆内切(I)求动圆圆心M的轨迹L的方程()设过圆心O1的直线与轨迹L相交于A、B两点，请问（O2为圆O2的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由解：(1)设动圆圆心为M(x，y)，半径为R由题意，得， （3分）由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=2，c=1， 动圆圆心M的轨迹L的方程为 （6分）(2)如图，设内切圆N的半径为r，与直线l的切点为C，则三角形的面积当最大时，r也最大，内切圆的面积也最大，（7分）设、，则， （8分）由，得，解得， (10分)，令，则t1，且m2=t2-1，有，令，则

4、，当t1时，f(t)在1，+）上单调递增，有，即当t=1，m=0时，4r有最大值3，得，这时所求内切圆的面积为，存在直线的内切圆M的面积最大值为. (14分)二、定点定值问题：1、已知椭圆的左焦点为，离心率，M、N是椭圆上的的动点。 (I)求椭圆标准方程；(II)设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F1，F2，使得为定值？若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由。()若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA并延长交椭圆于点B，证明：。解：(I)由题设可知： 2分故 3分故椭圆的标准方程为： 4分(II)设，由可得： .5分由直线O

5、M与ON的斜率之积为可得：，即 6分由可得：M、N是椭圆上，故故，即 8分由椭圆定义可知存在两个定点，使得动点P到两定点距离和为定值; .9分(III)设由题设可知 10分由题设可知斜率存在且满足 .12分将代入可得：点M，B在椭圆，故所以 14分2、已知椭圆过点(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程：(2)A，B为椭圆C的左右顶点，直线与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP, BP分别交直线l于E，F两点.证明：当点P在椭圆C上运动时，恒为定值解：(1)由题意可知，b=1，而，且解得a=2，所以，椭圆的方程为.3、如图，曲线C1是以原点O为中心、F1，F2为焦点的椭圆

6、的一部分，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点且为钝角，若，(1)求曲线C1和C2的方程；(2)过F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由解：(I)设椭圆方程为，则，得a=3 2分设，则，两式相减得，由抛物线定义可知，则c=1，或x=1，（舍去）所以椭圆方程为，抛物线方程为。另解：过F1作垂直于x轴的直线x=-c，即抛物线的准线，作AH垂直于该准线，作轴于M，则由抛物线的定义得所以，得，所以c=1，所以椭圆方程为，抛物线方程为。6分4、在平面直角坐标系xoy中，设点，直线，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，.(I)求动点Q的轨迹的方程C；(II)设圆M过A(1，0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时弦长是否为定值？请说明理由解：(I)依题意知，直线l的方程为：x=-12分点R是线段FP的中点，且，RO是线段FP的垂直平分线4分是