第六讲指数函数

1、第六讲：指数与指数函数编制：邱明朗 审核：陈江洪 2011-6-30一、学习目标：（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；（2）理解指数函数的概念，理解指数函数的性质和图像特点；二、知识点回顾： 1根式：(1) 定义：若，则称为的次方根 当为奇数时，次方根记作_； 当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作_(a>0).(2) 性质： ； 当为奇数时，； 当为偶数时，_ 2指数： a0 (a0)； a-p ； .(2) 运算性质： (a>0, r、Q)3指数函数： 定义：函数 称为指数函数。 函数图像：图像定义域值域性质（1）过定点

2、（2）当时，y 当时，y （2）当时，y 当时，y 在上是 在上是 三、基础自测：1、2的大小顺序为 .2、已知a，则化简的结果是 .3、关于函数f(x)=2x-2-x(xR)，有下列三个结论：f(x)的值域为R；f(x)是R上的增函数；对任意xR,有f(-x)+f(x)=0成立. 其中正确结论的序号是 . 4、若f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间1，2上都是减函数，则a的取值范围是 .5、当函数f(x)=2-|x-1|-m的图象与x轴有公共点时，实数m的取值范围是 .6、函数y=ax（a0,且a1）在1，2上的最大值比最小值大，则a的值是 .四、典例讲解：题型一：有理

3、数指数幂的求值与化简例1、已知a=,b=9.求：（1） （2）； （3）变式训练1：已知a,b是方程的两根（a>b）.求：（1）； （2）题型二：比较数值大小例2、（1）比较下列各组数的大小 （2）函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是 变式训练2：已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.其中不可能成立的有 （填序号）.题型三：指数函数的图像与性质应用例3、求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=3;(2)g(x)=-(. 变式训练3：求下列函数的单调递增区间：（

4、1）y=(; (2)y=2.题型三：指数函数的综合应用例4、已知函数.（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.变式训练4：定义在上的奇函数的最小正周期为，且时，.（1）求在上的解析式；（2）判断在上的单调性；（3）当为何值时，方程在上有实数解.五、随堂检测与反馈1、若函数分别为上的奇函数和偶函数，且满足，则的大小关系是 .2、函数y|2x1|在区间(k1，k1)内不单调，则k的取值范围是_3、若函数的图象经过第二、三、四象限，则 ， .4、已知.当，均有，则实数的取值范围是 .5、若函数f(x)ax1(a>0，a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a等于_6、设函数yf(

5、x)在(，)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)取函数f(x)2|x|，当K时，函数fK(x)的单调递增区间为_7、已知f(x)()x，若f(x)的图象关于直线x1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为_8、已知（1）求函数的定义域；（2）讨论的奇偶性；（3）求的取值范围，使在定义域上恒成立.要使函数y=1+2x+4xa在x（-，1上y0恒成立，求a的取值范围.已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x)=.（1）求f（x)在-1，1上的解析式；（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.函数f(x)22x2x12的定义域为M，值域为1,2

6、，给出下列结论：(1)M1,2；(2)M(，1；(3)M(，1；(4)M2,1；(5)1M；(6)0M.其中一定成立的结论的序号是_1、2、若函数是自然数的底数）的最大值是，且是偶函数，则= .3、（1）函数和的图象关于 对称； （2）函数和的图象关于 对称； （3）函数和的图象关于 对称.4、若函数的值域是，则的定义域是 .5、设，函数有最大值，则不等式的解集为 .6、设函数是上的减函数，求实数的取值范围.7、求函数，且为常数）的定义域.8、已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数取值范围； （2）若函数值域为，求实数取值范围.第八课时：指数函数和对数函数（二）一、知识点梳理（略）二、基础

7、巩固练习1、2、方程的实数解的个数为 .3、关于的方程有负根，则的取值范围是 .4、设均为正数，且，则的大小关系是 .5、已知，函数在上是关于的减函数，则的取值范围是 .6、设偶函数在上单调递增，则的大小关系是 .三、例题精选例1、已知（1）求函数的定义域；（2）讨论的奇偶性；（3）求的取值范围，使在定义域上恒成立.已知函数y(13)|x1|.(1)作出函数的图象(简图)；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值例2、已知函数.（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.例3、已知函数是奇函数（.（1）求的值；（2）判断在区间上的单调性并加以证明

8、；（3）当时，的值域是，求和的值.例4、若（1）求的最小值及对应的的值；（2）取何值时，例5、函数，当点是函数图象上的点时，点是函数图象上的点.（1）写出函数的解析式；（2）当时，恒有，试确定的取值范围.四、反馈练习1、2、函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 .3、若关于的方程有实根，则实数的取值范围是 .4、设函数，若，则的值等于 .5、设正数满足，则的取值范围是 .6、已知不等式，则的大小关系为 .7、设中的的取值范围是 .8、当时，函数的值恒为正，则实数的取值范围是 .9、设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程.这时，实数的取值集合为 .10、已知函数满足：对任意实数时，总

9、有，则实数的取值范围是 .11、已知函数上的最小值为. （1）求的解析式； （2）证明：2.设指数函数f(x)=ax(a0且a1)，则下列等式正确的有 （填序号）. f(x+y)=f(x)·f(y) f(xy)n=f n(x)·f n(y)f(x-y)= f(nx)=f n(x) 答案 3.函数f(x)=ax-b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论不正确的有 （填序号）. a1,b0 a1,b0 0a1,b0 0a1,b0 答案 5.已知集合M=，则MN= .答案 1.2的大小顺序为 . 答案 22.若a0,则2a,(0.2)a的大小顺序为 . 答案 (0.2)a2

10、a3.若函数y=4x-3·2x+3的定义域为集合A，值域为1，7，集合B=（-，01，2，则集合A与集合B的关系为 . 答案 A=B6.当x0时，函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是 . 答案 a或a-7.若函数f(x)=ax-1 (a0,a1)的定义域和值域都是0，2，则实数a等于 .答案 例1. 已知a=,b=9.求： （1） （2）.解：（1）原式=.÷a·= =a.a=，原式=3.（2）方法一 化去负指数后解. a=a+b=方法二 利用运算性质解.a=a+b=变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）（2）解：（1）原

11、式=（2）原式=-例2. 函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是 （ ）A.f(bx)f(cx) B.f(bx)f(cx)C.f(bx)f(cx) D.大小关系随x的不同而不同解：A变式训练2：已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解：B例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=3;（2）g(x)=-(.解：（1）依题意x2-5x+40,解得x4或x1,f（x）的定义域是（-，14，+）.令u

12、=x（-，14，+），u0，即0，而f(x)=330=1,函数f(x)的值域是1，+）.u=,当x（-，1时，u是减函数，当x4，+）时，u是增函数.而31,由复合函数的单调性可知，f（x）=3在（-，1上是减函数，在4，+）上是增函数.故f（x）的增区间是4，+），减区间是（-，1.（2）由g(x)=-(函数的定义域为R，令t=(x (t0),g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,t0,g(t)=-(t-2)2+99,等号成立的条件是t=2,即g(x)9,等号成立的条件是(=2，即x=-1，g（x）的值域是（-，9.由g(t)=-(t-2)2+9 (t0),而t=(是减函数，要求g

13、(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.g（t）在（0，2上递增，在2，+）上递减，由0t=(2,可得x-1,由t=(2,可得x-1.g（x）在-1，+）上递减，在（-，-1上递增，故g(x)的单调递增区间是（-，-1，单调递减区间是-1，+）.变式训练3：求下列函数的单调递增区间：（1）y=(;(2)y=2.解：（1）函数的定义域为R.令u=6+x-2x2,则y=(.二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=,在区间，+）上，u=6+x-2x2是减函数，又函数y=(u是减函数，函数y=(在，+）上是增函数.故y=(单调递增区间为，+）.（2）令u

14、=x2-x-6,则y=2u,二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=,在区间，+）上u=x2-x-6是增函数.又函数y=2u为增函数，函数y=2在区间，+）上是增函数.故函数y=2的单调递增区间是，+）.例4设a0,f(x)=是R上的偶函数.（1）求a的值；（2）求证：f(x)在（0，+）上是增函数.（1）解： f（x）是R上的偶函数，f（-x）=f（x），（a-=0对一切x均成立，a-=0，而a0,a=1. （2）证明 在（0，+)上任取x1、x2，且x1x2, 则f(x1)-f(x2)= +-= ( x1x2,有x10,x20,x1+x20,1, -10.f(x1)-f(x2)0,即f(x1

15、)f(x2),故f(x)在（0,+）上是增函数. 变式训练4：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x)=. （1）求f（x)在-1，1上的解析式；（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.（1）解： 当x(-1,0)时，-x(0,1).f（x）是奇函数，f（x）=-f（-x）=-由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.在区间-1，1上，有f（x）=(2)证明 当x(0,1)时，f(x)=设0x1x21,则f(x1)-f(x2)=0x1x21,0，2-10,f(x1)-f

16、(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在（0，1）上单调递减.1 a，abN，logaNb(其中N>0，a>0，a1)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底.2处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.3含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内

17、容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合1. 已知a，则化简的结果是 .答案 2.设指数函数f(x)=ax(a0且a1)，则下列等式正确的有 （填序号）. f(x+y)=f(x)·f(y) f(xy)n=f n(x)·f n(y)f(x-y)= f(nx)=f n(x) 答案 3.函数f(x)=ax-b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论不正确的有 （填序号）. a1,b0 a1,b0 0a1,b0 0a1,b0 答案 4.关于函数f(x)=2x-2-x(xR)，有下列三个结论：f(x)的值域为R；f(x)是R上的增函数；对任意xR,有f(-x)+f

18、(x)=0成立. 其中正确结论的序号是 . 答案 5.已知集合M=，则MN= .答案 例1已知a=,b=9.求：（1）（2）.解 （1）原式=.÷a·= =a.a=，原式=3.（2）方法一 化去负指数后解.a=a+b=方法二 利用运算性质解.a=a+b= 例2函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx) f(cx).(用“”，“”，“”，“”填空) 答案例3求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=3;(2)g(x)=-(. 解 （1）依题意x2-5x+40,解得x4或x1,f（x）的定义域是（-，14，+）.令u=x（

19、-，14，+），u0，即0，而f(x)=330=1,函数f(x)的值域是1，+）.u=,当x（-，1时，u是减函数，当x4，+）时，u是增函数.而31,由复合函数的单调性可知，f（x）=3在（-，1上是减函数，在4，+）上是增函数.故f（x）的增区间是4，+），减区间是（-，1.（2）由g(x)=-(函数的定义域为R，令t=(x (t0),g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,t0,g(t)=-(t-2)2+99,等号成立条件是t=2,即g(x)9,等号成立条件是(=2，即x=-1，g（x）的值域是（-，9.由g(t)=-(t-2)2+9 (t0),而t=(是减函数，要求g(x)的增

20、区间实际上是求g(t)的减区间，求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.g（t）在（0，2上递增，在2，+）上递减，由0t=(2,可得x-1,由t=(2,可得x-1.g（x）在-1，+）上递减，在（-，-1上递增，故g(x)的单调递增区间是（-，-1，单调递减区间是-1，+）.例4（14分）设a0,f(x)=是R上的偶函数.（1）求a的值；（2）求证：f(x)在（0，+）上是增函数.（1）解 f（x）是R上的偶函数，f（-x）=f（x）， 2分（a-=0对一切x均成立， 4分a-=0，而a0,a=1. 6分（2）证明 在（0，+)上任取x1、x2，且x1x2, 8分则f(x1)-f(x2

21、)= +-= ( 10分x1x2,有x10,x20,x1+x20,1, 12分-10.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在（0,+）上是增函数. 14分1.化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） （2）解 （1）原式=（2）原式=-2.已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.其中不可能成立的有 （填序号）. 答案3.求下列函数的单调递增区间：（1）y=(;(2)y=2.解 （1）函数的定义域为R.令u=6+x-2x2,则y=(.二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=,在区间，+）上，u=6+x-2x2是减函数，又函数y=

22、(u是减函数，函数y=(在，+）上是增函数.故y=(的单调递增区间为，+）.（2）令u=x2-x-6,则y=2u,二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=,在区间，+）上u=x2-x-6是增函数.又函数y=2u为增函数，函数y=2在区间，+）上是增函数.故函数y=2的单调递增区间是，+）.4.已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x)=.（1）求f（x)在-1，1上的解析式；（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.（1）解 当x(-1,0)时，-x(0,1).f（x）是奇函数，f（x）=-f（-x）=-.由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-

23、1)=-f(-1+2) =-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.在区间-1，1上，有f（x）=(2)证明 当x(0,1)时，f(x)=设0x1x21,则f(x1)-f(x2)=0x1x21,2-0， -10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在（0，1）上单调递减.一、填空题1.2的大小顺序为 . 答案 22.若a0,则2a,(0.2)a的大小顺序为 . 答案 (0.2)a2a3.若函数y=4x-3·2x+3的定义域为集合A，值域为1，7，集合B=（-，01，2，则集合A与集合B的关系为 . 答案 A=B4.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=

24、(a+1)1-x在区间1，2上都是减函数，则a的取值范围是 .答案 （0，1 5.当函数f(x)=2-|x-1|-m的图象与x轴有公共点时，实数m的取值范围是 . 答案 （0，16.当x0时，函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是 . 答案 a或a-7.若函数f(x)=ax-1 (a0,a1)的定义域和值域都是0，2，则实数a等于 .答案 8.函数y=ax（a0,且a1）在1，2上的最大值比最小值大，则a的值是 .答案 或二、解答题9.要使函数y=1+2x+4xa在x（-，1上y0恒成立，求a的取值范围.解 由题意得1+2x+4xa0在x（-,1上恒成立，即a-在x（-

25、，1上恒成立.又-=-(x(.令t=(则f(t)在,+）上为减函数，f(t)f(=-(即f(t).af(t),a（-，+）.10.已知函数f(x)=(（1）求f(x)的定义域；（2）讨论f(x)的奇偶性；（3）证明：f(x)0.（1）解 由2x-10x0,定义域为（-,0）(0,+).（2）解 f(x)=(可化为f(x)=则f(-x)=f(x)=（x3是偶函数.（3）证明 当x0时，2x1,x30.（x30.f(x)为偶函数，当x0时，f(x)=f(-x)0.综上可得f(x)0.11.已知函数f(x)=（ax-a-x） (a0，且a1).(1)判断f(x)的单调性；（2）验证性质f(-x)=-

26、f(x),当x(-1,1)时，并应用该性质求满足f(1-m)+f(1-m2)0的实数m的范围.解 （1）设x1x2,x1-x20,1+0.若a1,则, 0,所以f(x1)-f(x2)=0，即f(x1)f(x2),f(x)在（-,+）上为增函数；同理，若0a1，则,0,f(x1)-f(x2)=(1+)0,即f(x1)f(x2),f(x)在（-,+）上为增函数.综上，f(x)在R上为增函数.（2）f(x)=则f(-x)=,显然f(-x)=-f(x).f(1-m)+f(1-m2)0,即f(1-m)-f(1-m2)f(1-m)f(m2-1),函数为增函数，且x(-1,1)，故解-11-mm2-11,可

27、得1m.12.已知f（x）=.（1）判断函数的奇偶性；（2）证明：f（x）是定义域内的增函数；（3）求f（x）的值域.（1）解 f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数.（2）证明 方法一 f（x）=.令x2x1，则f（x2）-f（x1）=(1-当x2x1时，10-100.又10+10,10+10，故当x2x1时，f（x2）-f（x1）0，即f（x2）f（x1）.所以f（x）是增函数.方法二 考虑复合函数的增减性.由f（x）=y1=10x为增函数，y2=102x+1为增函数，y3=为减函数，y4=-为增函数，f(x)=1-为增函数.f（x）=在定义域内是增函数.（3）解

28、 方法一 令y=f（x），由y=解得102x=.102x0，-1y1.即f（x）的值域为（-1，1）.方法二 f（x）=1-,102x0,102x+11.02,-11-1,即值域为(-1,1). A组1(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a>1，b<0，且abab2，则abab的值等于_解析：a>1，b<0，0<ab<1，ab>1.又(abab)2a2ba2b28，a2ba2b6，(abab)2a2ba2b24，abab2.答案：22已知f(x)axb的图象如图所示，则f(3)_.解析：由图象知f(0)1b2，b3.又f(2)a230，a，则f(3)()3

29、333.答案：333函数y()2xx2的值域是_解析：2xx2(x1)211，()2xx2.答案：，)4(2009年高考山东卷)若函数f(x)axxa(a>0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)的零点的个数就是函数yax与函数yxa交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，0<a<1时两函数图象有惟一交点，故a>1. 答案：(1，+)5(原创题)解析：由题意知无解或a.答案：6已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范围解：

30、(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1.从而有f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.(2)法一：由(1)知f(x)，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)<0f(t22t)<f(2t2k)f(2t2k)因f(x)是R上的减函数，由上式推得t22t>2t2k.即对一切tR有3t22tk>0，从而412k<0，解得k<.法二：由(1)知f(x)，又由题设条件得<0即(22t2k12)(2t22t1)(2t22t12)(22t2k1)<0整理得23t22tk>

31、1，因底数2>1，故3t22tk>0上式对一切tR均成立，从而判别式412k<0，解得k<.B组1如果函数f(x)axb1(a>0且a1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有_0<a<1且b>00<a<1且0<b<1a>1且b<0 a>1且b>0解析：当0<a<1时，把指数函数f(x)ax的图象向下平移，观察可知1<b1<0，即0<b<1.答案：2(2010年保定模拟)若f(x)x22ax与g(x)(a1)1x在区间1,2上都是减函数，则a的取值

32、范围是_解析：f(x)x22ax(xa)2a2，所以f(x)在a，)上为减函数，又f(x)，g(x)都在1,2上为减函数，所以需0<a1.答案：(0,13已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件f (x)ax·g(x)(a>0，a1)；g(x)0；若，则a等于_解析：由f(x)ax·g(x)得ax，所以aa1，解得a2或.答案：2或4(2010年北京朝阳模拟)已知函数f(x)ax(a>0且a1)，其反函数为f1(x)若f(2)9，则f1()f(1)的值是_解析：因为f(2)a29，且a>0，a3，则f(x)3x，x1，故f1()1.

33、又f(1)3，所以f1()f(1)2.答案：25(2010年山东青岛质检)解析：设yg(x)上任意一点P(x，y)，P(x，y)关于x1的对称点P(2x，y)在f(x)()x上，y()2x3x2.答案：y3x2(xR)6(2009年高考山东卷改编)函数y的图象大致为_ 解析：f(x)f(x)，f(x)为奇函数，排除.又y1在(，0)、(0，)上都是减函数，排除、.答案：7(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)()x；当x<4时，f(x)f(x1)，则f(2log23)_.解析：2<3<422，1<log23<2.3<2log23

34、<4，f(2log23)f(3log23)f(log224)()log2242log2242log2.答案：8(2009年高考湖南卷改编)解析：由f(x)2|x|得x1或x1，fK(x)则单调增区间为(，1答案：(，19函数y2|x|的定义域为a，b，值域为1,16，当a变动时，函数bg(a)的图象可以是_解析：函数y2|x|的图象如图当a4时，0b4，当b4时，4a0，答案：10(2010年宁夏银川模拟)已知函数f(x)a2x2ax1(a>0，且a1)在区间1,1上的最大值为14，求实数a的值解：f(x)a2x2ax1(ax1)22，x1,1，(1)当0<a<1时，a

35、ax，当ax时，f(x)取得最大值(1)2214，3，a.(2)当a>1时，axa，当axa时，f(x)取得最大值(a1)2214，a3.综上可知，实数a的值为或3.11已知函数f(x).(1)求证：f(x)的图象关于点M(a，1)对称；(2)若f(x)2x在xa上恒成立，求实数a的取值范围解：(1)证明：设f(x)的图象C上任一点为P(x，y)，则y，P(x，y)关于点M(a，1)的对称点为P(2ax，2y)2y2，说明点P(2ax，2y)也在函数y的图象上，由点P的任意性知，f(x)的图象关于点M(a，1)对称(2)由f(x)2x得2x，则2x，化为2xa·2x2x20，则有(2x)22a&#