高一数学必修二课件412圆的一般方程111

1、新课导入新课导入特征：特征： 直接看出直接看出圆心圆心A(a,b)与与半径半径r。 知识回顾知识回顾 圆的标准方程圆的标准方程: :222rb)(ya)(xxOyA(a,b)Mr指出下面圆的圆心和半径：指出下面圆的圆心和半径：(x-1)2+(y+2)2=2(x+2)2+(y-2)2=5(x+a)2+(y-2)2=a2 (a0) 练练手练练手22),(1,5(-2,2),|a|(-a,2),注意不是注意不是a，而是而是|a|.4.1.2 圆的一般方程圆的一般方程教学目标教学目标知识与能力知识与能力在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征

2、，由圆的一般方程确定圆的圆心般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的表示圆的条件条件。能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程准方程，能用待定系数法求圆的方程。培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。过程与方法过程与方法 情感态度与价值观情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新学

3、生创新，勇于探索。，勇于探索。通过对方程通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的解决问题的实际能力。实际能力。教学重难点教学重难点重点重点难点难点对圆的一般方程的认识、掌握对圆的一般方程的认识、掌握和运用。和运用。圆的一般方程的代数特征，一般方程圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数：确定方程中的系数：D、E、F。x2 y 2DxEyF0把圆的标准方程把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，得展开

4、，得由于由于a, b, r均为常数均为常数FrbaE,2bD,2a222令令结论：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：任何一个圆方程可以写成下面形式：0rba2by2axyx22222思考思考 方程方程 表示什么图形？表示什么图形？014y2xyx22对方程对方程 配方，可得配方，可得014y2xyx224,2)(y1)(x22此方程表示以此方程表示以（1，-2）为圆心，为圆心，2为半径长的圆为半径长的圆.064y2xyx22 方程方程 表示什么图形？表示什么图形？对方程对方程 配方，可得配方，可得064y2xyx22-1,2)(y1)(x22由于不存在点的坐标由于不存在点的坐标（x，y）满

5、足这个方程，所满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形。以这个方程不表示任何图形。探究探究 方程方程 在什么条件下在什么条件下表示圆？表示圆？0FEyDxyx22配方可得：配方可得：44FED)2E(y)2D(x2222 （1）当）当D2+E2-4F0时，表示以时，表示以 为圆为圆心，以心，以 为半径的为半径的圆圆; ;)2E,2D(4FED2122 （3）当）当D2+E2-4F0时，方程无实数解，所以时，方程无实数解，所以不表示任何图形不表示任何图形。 所以形如所以形如x2y2DxEyF0（D2+E2-4F0）可表示圆的方程可表示圆的方程。 （2）当）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组时

6、，方程只有一组实数解实数解， 表示一个表示一个点点)2E,2D(,2Ey,2Dx圆的一般方程：圆的一般方程：x2y2DxEyF0 （D2+E2-4F0）圆的标准方程圆的标准方程: :222rb)(ya)(x没有没有xy这样的二次项这样的二次项。（2）标准方程标准方程易于看出易于看出圆心圆心与与半径半径。一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特点：的特点：x2与与y2系数相同并且不等于系数相同并且不等于0；圆的一般方程与标准方程的关系：圆的一般方程与标准方程的关系：（1）4FED21r ,2Eb,2Da22解：解：设圆的方程为设圆的方程为 求过三点求过三点A（0，0），），B（6，0），），C（

7、3，1）的圆的方程。的圆的方程。例四例四 分析：分析：由于由于A，B，C三点不在同一条直线上，三点不在同一条直线上，因此经过因此经过A，B，C三点有唯一的圆。三点有唯一的圆。x2y2DxEyF0把点把点A，B，C的坐标代入得方程组的坐标代入得方程组F0,366DF0,913DEF0 。0.F8,E6,D所求圆的方程为：所求圆的方程为：解这个方程组，得解这个方程组，得08y6xyx22所求圆的圆心坐标是所求圆的圆心坐标是（3，-4），半径长为，半径长为54FED21r22求圆的方程常用求圆的方程常用“待定系数法待定系数法”。用待定系数法求圆的方程的步骤：用待定系数法求圆的方程的步骤：根据题意设出

8、所求圆的方程为标准式或一般式根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。根据条件列出关于根据条件列出关于 a，b，c 或或 D，E，F 的方程的方程。解方程组，求出解方程组，求出 a，b，c 或或 D，E，F 的值，代入的值，代入方程，就得到要求的方程方程，就得到要求的方程。 过点过点M（-6，0）作圆作圆 C： 的割线，交圆的割线，交圆C于于A，B两点两点. .求线段求线段AB的中点的中点P的的轨迹。轨迹。094y6xyx22例五例五解：解：圆的方程可化为圆的方程可化为42)(y3)(x22其圆心为其圆心为C（3，2）半径为半径为2. .设设P（x，y）是轨迹上任意一点是轨迹上任意一点MPCP

9、 16xy3x2y1kkMPCP即即：-6O3yxcAB。P化简得：化简得：0182y3xyx22在已知圆内的一段弧（不含端点）。在已知圆内的一段弧（不含端点）。0182y3xyx22所以所求轨迹为圆所以所求轨迹为圆 -6O3yxcAB。P 求曲线轨迹的问题求曲线轨迹的问题的关键是找出点的关键是找出点P（x，y）与已知点之间的位置关系，在本题中就是与与已知点之间的位置关系，在本题中就是与M，C之间的坐标关系：之间的坐标关系：y2y1x3x6 过点过点M与两个定点与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比是的距离之比是 求点求点M的轨迹方程。的轨迹方程。例六例六31设设点点M的坐标为（的坐标

10、为（x,y）,根据题意有根据题意有MM|MA| 2|MO|。因为因为O(0,0),A(3,0)，所以有，所以有2222(x3)y2 xy。化简，得化简，得032xyx22由以上过程可知，满足条件由以上过程可知，满足条件MM |M A| 2|M O |.的点满足方程的点满足方程032xyx22反过来，坐标满足反过来，坐标满足 的点也满足的点也满足032xyx222222(x3)y2 xy。即满足条件即满足条件|.MO|2|MA|MM因此所求点因此所求点M的轨迹方程是的轨迹方程是032xyx22即即4y1)(x22点点M的轨迹是以的轨迹是以C（-1，0）为圆心，半径长为为圆心，半径长为2的圆。的圆

11、。注意注意“轨迹的方程轨迹的方程”与与“轨迹轨迹”的区别：的区别：M的轨迹方程的轨迹方程是是032xyx22M的轨迹的轨迹是以是以C（-1，0）为圆心，半径长为为圆心，半径长为2的圆。的圆。 轨迹的方程是指点的坐标要满足的方程，而轨迹的方程是指点的坐标要满足的方程，而轨迹是对几何图形的描述。如例六中，轨迹是对几何图形的描述。如例六中，课堂小结课堂小结(1)圆的一般方程圆的一般方程(2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系圆的一般方程与圆的标准方程的联系配方展开一般方程一般方程标准方程标准方程( (圆心圆心, ,半径半径) )x2y2DxEyF0 （D2+E2-4F0） 若知道或涉及圆心和半径若知道

12、或涉及圆心和半径, ,我们一般采用圆我们一般采用圆的标准方程较简单的标准方程较简单。用配方法求解用配方法求解(3)给出圆的一般方程给出圆的一般方程, ,如何求圆心和半径如何求圆心和半径(4)要学会根据题目条件要学会根据题目条件, ,恰当选择圆方程形式恰当选择圆方程形式: : 若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程, ,我们常常采用圆的一我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解般方程用待定系数法求解。 随堂练习随堂练习1.如果方程如果方程所表示的曲线关于所表示的曲线关于y=x对称，则必有（对称，则必有（ ）A.D=E B.D=FC.E=F D.D=E=Fx2y2DxEyF0 （D2+E2-4F

13、0A2.已知圆已知圆 的圆心坐标为的圆心坐标为(-2,3), ,半径为半径为4, ,则则D,E,F分别等于分别等于（ ） A.4,-6,3 B.-4,6,3 C.-4,6,-3 D.4,-6,-3 x2y2DxEyF0D3.判断下列方程能否表示圆的方程判断下列方程能否表示圆的方程, ,若能写若能写出圆心与半径出圆心与半径。（1）x2+y2-2x+4y-4=0（2）2x2+2y2-12x+4y=0（3）x2+2y2-6x+4y-1=0（4）x2+y2-12x+6y+50=0（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0是，是，圆心圆心（1，-2）半径半径3是，是，圆心圆心（3，-1）半径半径10不是不

14、是不是不是不是不是4.圆圆 与与x轴相切轴相切, ,则这个圆截则这个圆截y轴所得的弦长是轴所得的弦长是（ ） A.6 B.5 C.4 D.30F10y8xyx22A5.点点A（3，5）是圆是圆 的一条弦的一条弦的中点的中点, ,则这条弦所在的直线方程是则这条弦所在的直线方程是 0808y4xyx22xy806.求下列各圆的半径和圆心坐标。求下列各圆的半径和圆心坐标。03aay322axy(3)x0,2byy(2)x0,6xy(1)x2222222（1）圆心圆心（3，0），半径），半径3。（2）圆心圆心（0，-b），半径半径 |b|。（3）圆心（圆心（a, , a），半径），半径 |a|。31a

15、24-6-37.已知圆已知圆 的圆心为的圆心为（-2，3）半径为半径为4 4，则，则D= = ，E= = ，F= =x2y2DxEyF08. 是圆的充要条件是是圆的充要条件是x2y2-2ax-ya09.若方程若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆，则表示圆，则a的值为的值为（ ）A.a=-1或或a=2 B.-1a2C.a=-1 D.a=2C习题答案习题答案1.（1）圆心坐标是圆心坐标是（3，0），半径长是，半径长是3； （2）圆心坐标是圆心坐标是（0，-b），半径长是，半径长是|b|； （3）圆心坐标是圆心坐标是（a, a），半径长是，半径长是|a|。30yx22064y2xyx222.（1）方程方程 表