高等数学1.3条件概率与独立性

1、1.3 条件概率与独立性条件概率与独立性第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率一、条件概率的定义：一、条件概率的定义：1、定义定义1.3: : 设设A与与B是两个事件是两个事件, ,且且 P(B) 0, , 称称为在事件为在事件B发生的条件下发生的条件下A发生的发生的条件概率条件概率.PB 条条件件概概率率符符合合概概率率定定义义中中的的条条 即即注注三三(),P ABP A BP B()() =( )AP A B 非非负负性性对对任任一一事事件件有有 (1),()0 ;PB规规范范性性对对必必然然事事件件有有 (2),() =1 ;A A 可可列列可可加加性性设设是是两两两两互互斥斥的的

2、事事件件 则则有有12(3),11iiiiPA BP A B() =()注注 (1)一般概率所具有的性质一般概率所具有的性质, 条件概率均满足条件概率均满足.条条件件概概率率定定义义中中的的式式子子可可变变形形, , 即即 (2)nA AAn,设设是是任任意意 个个事事件件12,P ABP B P A BP B()( ) () ( ( ) 0)2、定理定理1.3(乘法公式乘法公式):nnnP A AAP A P A AP AA AA12121121() =() ()()- -nP A AA若若则则有有121() 0, - -P BP B 条条件件概概率率定定义义中中的的与与是是(3) ( )

3、0 ( )0, B等等价价的的 也也就就是是说说事事件件 已已经经发发生生 .例例1.18(Polya模型模型)在有在有a个红球、个红球、b个黑球的袋中随机个黑球的袋中随机中连续中连续取球取球4次，试求第一、二次取到红球且第三、次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到黑球的概率四次取到黑球的概率 .于于是所求概率为是所求概率为iA ii 以以表表示示 第第 次次取取到到红红解解球球( = 1,2,3,4),取一球，记下颜色放回，并加入取一球，记下颜色放回，并加入c个同色球个同色球. . 若在袋若在袋iA ii则则表表示示 第第 次次取取到到黑黑球球( = 1,2,3,4),P A A A A

4、1234()P A P A A P A A A P A A A A1213124123=() () () ()aa + cbb + ca + b a + b + c a + b + c a + b + c=23例例1.19设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜, , 第一次落下时打第一次落下时打破的概率为破的概率为7/ /10 , 若前两次落下未打破若前两次落下未打破, 第三次落下第三次落下打破的概率为打破的概率为9/ /10 , 求透镜落下三次而未打破的概率求透镜落下三次而未打破的概率 .于于是所求概率为是所求概率为iA ii 设设 表表示示 第第 次次落落下下镜镜解解透透打打破破

5、( = 1,2,3),破的概率为破的概率为1/ /2 , 若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次落下打第二次落下打P A A AP A P A A P A A A123121312() =() () ()1793= 111=21010200 二二、独立性：、独立性：1、定义定义1.4: : 设设A与与B是两个事件是两个事件, ,且且 P(B) 0, , 若若则称事件则称事件A 与与B相互独立相互独立, 简称简称A 与与B独立独立.P A BP A ,() =( )AB 仅仅推推 与与 是是独独立立的的, , 其其证证余余类类似似. .2、定理定理1.4:设设A与与B是两个事件是两个事件

6、, , 若满足等式若满足等式P ABP A P B ,() =( ) ( ) 则事件则事件A 与与B独立独立 .AA BBABAB因因= P AP ABABP ABP AB= P ABP AP ABP AP A P B所所以以= P AP BP A P B=1=AB即即 与与 独独立立. .注注 独立性概念可推广到一般情况独立性概念可推广到一般情况 . .则称事件则称事件A ,B ,C相互独立相互独立 .P ABP A P B ,() =( ) ( ) P ACP A P C ,() =( ) ( ) P BCP B P C ,() =( ) ( ) P ABCP A P B P C ,()

7、=( ) ( ) ( ) 3、定义定义1.5: : 设设A, , B, , C是三个事件是三个事件, , 若满足如下等式若满足如下等式注注 要注意三个事件要注意三个事件相互独立相互独立与与两两相互独立两两相互独立的的区别区别 . .n A AAn设设是是 个个事事件件 若若对对于于其其中中的的任任意意 个个12, , 2,4、定义定义1.6: :n任任意意 个个任任意意 个个事事件件的的积积事事件件的的概概率率, , 均均等等于于3, ,nA AA.各各事事件件概概率率之之积积则则称称事事件件相相互互独独立立 12, , (1) 推论推论1.4: :若若A1 , A2 , , An 相互独立相

8、互独立, 则其中任意则其中任意k个个(2kn)事件均独立事件均独立 . .(2) 推论推论1.5: :若若A1 , A2 , , An 相互独立相互独立, 则将这则将这n个事个事件中若干个件中若干个 Ai 换作其对立事件换作其对立事件, 则所得则所得 的的n个事件仍独立个事件仍独立 . A An设设是是随随机机事事件件序序列列 若若序序列列中中任任意意 个个事事件件12, 5、定义定义1.7: : P P P P性性分分别别为为将将1234, , 均是相互独立的均是相互独立的 , 则称这个事件序列是相互独立事件则称这个事件序列是相互独立事件注注 在实际应用中在实际应用中, 若两事件若两事件A与

9、与B之间没有关联或者之间没有关联或者序列序列 .关联很微弱关联很微弱, 就认为它们是独立的就认为它们是独立的 .例例1.20设有设有4个独立工作的元件个独立工作的元件1 , 2 , 3 , 4 . 它们的可靠它们的可靠系系统统的的可可靠靠性性 . .它它们们按按右右图图联联接接, , 试试求求这这个个1234iA i =i设设表表示示 第第 个个元元件件正正常常工工作作 , ,解解 1,2,3,4B表表示示 系系统统能能正正常常工工作作, ,B = AA AA= A A AA A由由图图知知 123412314P B ( )= P A A AP A AP A A A A123141234()

10、+()() = P A P A P AP A AP A P A P A P A123141234() () ()+()() () () () = p p pp pp p p p123141234+ = P A A AA A12314()例例1.21三人独立地破译一份密码三人独立地破译一份密码, , 已知各人能译出的已知各人能译出的概率分别为概率分别为1/5 , 1/3 , 1/4 . . 问三人中至少有一人能将问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少此密码译出的概率是多少?iAi =i设设表表示示 第第 个个解解 人人能能译译出出密密码码 , , 则则 1,2,3,4P A=/ , P A=/ , P A=/123()1 5()1 3()1 4B再再设设 表表示示 密密码码被被译译出出 , , 则则 B = AAA123P B