解复数问题的思维策略

1、解复数问题的思维策略景海燕（江苏省海安高级中学226600） 高中学习复数是数域完整性的一个要求，对复数的学习要围绕“数系扩充”和基本概念开展，而不是将复数作为一种工具。该部分试题多围绕代数运算及复数的有关概念展开，结合方程、集合等知识，以小题为主，侧重考查基本知识和基本技能。复数集是实数集的扩充。因此，我们不能把实数集上的某些法则和性质照搬到复数集中来。单纯的复数加、减、乘、除理解起来并不是太难，但若涉及复数方程，复数求最值等问题，则我们就需要根据不同题型，选择恰当的思维策略来解决。下面笔者列举的几种思维策略，希望对解复数题有所帮助。一、化虚为实的思维策略 利用复数的代数形式将复数问题转化为

2、实数问题是一种最常见的解题策略，主要运用复数相等和模的概念，把复数问题“实数化”。例1：（2006上海春，18）已知复数满足（为虚数单位），求一个以为根的实系数一元二次方程. 解：设，则， 得 ， 所求一个以为根的实系数一元二次方程可以是：。二、分类讨论的思维策略 分类讨论是指按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况逐一求解的过程，也是常见的解题策略。在解题时，我们应关注复数的分类，掌握一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件。例2：设方程的根分别为，且，求实数的值。解：若为实数，则，且，解得； 若为虚数，则，且共轭，解得。综上，或。注：盲目套用是极易出现的错误。三、整体处理的思维策略整

3、体处理是数学解题策略中的又一种重要的思维方法，解答复数问题，我们要学会从整体的角度出发去分析和求解（整体思想贯穿整个复数内容）。如果遇到复数就设，则有时会给问题的解答带来不必要的运算上的困难，如能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，往往能收到事半功倍的效果。例3：如果虚数满足，那么的值是 。分析：若设，代入求值，过程复杂，不易求解，但运用整体代入的思维策略则显得简洁明快。解： 是虚数， ，即。 故实际上例1也可以整体化处理：由得，下同。四、数形结合的思维策略由于复数既可用代数形式，又可用几何形式表示，这使复数的各种运算都具有了几何意义。因此复数解题时，笔者常以形助数，数形结合，使问题的

4、解决更加形象。例4：复数，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。解法1：如图，设复数所对应的点分别为，正方形的第四个顶点对应的复数为，则：， ， ，yxDCBAO则，解得。 故点对应的复数为。注：利用向量运算法则求复数关键是找出所求复数对应的向量，然后根据几何意义求出复数。解法2：如图，设复数所对应的点分别为，正方形的第四个顶点对应的复数为。因为点与点关于原点对称，所以为正方形的中心，则关于原点对称，即，故点对应的复数为。点评：解法1的关键是要善于发现问题中可能被利用的条件，寻找最佳的解题方法；解法2利用正方形是中心对称图形，数形结合，解题思路巧妙，实质是运用了平行四边形对角线互相平分的性质。五、函数与方程的思维策略 函数与方程思想的实质是提取问题的数学特征，用联系变化的观点看待数学对象，建立函数关系，实现函数与方程的相互转化，以达到解决问题的目的。 例5：（2008上海春，16）已知，且为虚数单位，则的最小值是 .解：设，则。令，则， 则的最小值是3.另外，本题考虑几何意义也可速解：对应的点为以为圆心，1为半径的圆，表示对应的点到点得距离，则的最小值是3例6：已知关于的方程有实数根，求复数的模的最小值。