高中数学必修一人教B版教案323指数函数与对数函数的关系

1、指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数的关系引入引入我们现在在同一坐标系下作出我们现在在同一坐标系下作出 ， 和和 ， 的图像，并的图像，并观察分析它们之间的关系观察分析它们之间的关系.xylog21xylog312xy 3xy XYO112233445567Y=log2xY=XY=2x-1-1-212()xy=12lo gxy =从图上可以看出：从图上可以看出：点点(0,1)与点与点(1,0)关于直线关于直线y=x对称，对称，点点 与点与点 关于直线关于直线y=x对称对称.则则 上的点上的点p(a,b)与与 上的点上的点(b,a)关于直线关于直线y=x对称对称.ayxxaylog)21,

2、 1() 1,21(对称性：(1)logxayayxyx与的图象关于成轴对称1(2)( )xxyayya与的图象关于轴成轴对称1(3)loglogaaxyxxy 与的图象关于轴成轴对称二、新课讲授二、新课讲授问题：指数函数与问题：指数函数与对数函数有何内在联系？对数函数有何内在联系？(01)xyaaa且) 10(logaaxya且xay yxalogxyalog互化x、y互换探究：这种关系是否具有一般性？探究：这种关系是否具有一般性？对应法则互逆对应法则互逆强调强调：指数式与对数式互化图像不变，：指数式与对数式互化图像不变，互换引起图像关于直线互换引起图像关于直线对称对称问题问题1 1：第一步

3、变换有没有引起图像变化？为：第一步变换有没有引起图像变化？为什么？什么？问题问题2 2：第二步变换有没有引起图像变化？为：第二步变换有没有引起图像变化？为什么？什么？结结论论？xay yxalogxyalog互化x、y互换指数函数与对数函数之间的这种关系并不是指数函数与对数函数之间的这种关系并不是它们所特有的，有大量的函数之间具有这种它们所特有的，有大量的函数之间具有这种关系。我们称它们关系。我们称它们互为互为反函数。反函数。反函数的定义：反函数的定义：当一个函数是一一映射当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自

4、新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。两个函数互为反函数。函数函数y=f(x)(xy=f(x)(xA)A)的反函数的反函数. .三、明确定义：三、明确定义：记记：y= f 1 ( x )注意：yf1(x) 读作：“f逆x”表示反函数，不是-1次幂（倒数）的意思1 ( x )ffx1( x )ffx（1） 反函数的定义域与值域正好是原来函数的值反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义域。如：域与定义域。如： 不是函数不是函数 的反的反函数，因为前者的值域显然不是后者的定义域。函数，因为前者的值域显然不是后者

5、的定义域。（3） 反函数也是函数，因为他们符合函数的定义。反函数也是函数，因为他们符合函数的定义。（2） 对任意一个函数对任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数；不一定总有反函数；只有当确定一个函数的映射是只有当确定一个函数的映射是一一映射一一映射时，这个时，这个函数才函数才存在存在反函数反函数。如果有反函数，那么原来函。如果有反函数，那么原来函数也是反函数的反函数，即他们互为反函数数也是反函数的反函数，即他们互为反函数概念深化：概念深化：()2xyxZ2yx问题问题3 3：如何求函数的反函数？：如何求函数的反函数？求反函数的方法步骤：求反函数的方法步骤：1）求求出原函数的出原函数的值域值

6、域；即求出反函数的定义域；即求出反函数的定义域；2）由）由 y = f ( x ) 反解反解出出 x = f 1 ( y )；即把；即把 x 用用 y 表表 示出来；示出来；3）将）将 x = f 1 ( y ) 改写成改写成 y = f 1 ( x )，并写出反函，并写出反函数的定义域；即数的定义域；即对调对调 x = f 1 ( y ) 中的中的 x、y. 例例11 求下列函数的反函数：求下列函数的反函数：首先首先,将将y = (x)看作方程看作方程,解出解出x= -1(y) (yC);其次，将其次，将x,y互换互换,得得到到y= -1(x) (xC) . 最后最后,指出反函数的指出反函数

7、的定义域定义域6(1)3(2)logxyyx结论结论?四、巩固训练，加深概念：四、巩固训练，加深概念：同底的指数函数与对数函数互为反函数同底的指数函数与对数函数互为反函数( )A. y轴对称轴对称 B. x轴对称轴对称C. 原点对称原点对称 D. 直线直线yx对称对称 例例22函数函数y3x的图象与函数的图象与函数ylog3x的的图象关于图象关于D结论结论?函数函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数的图象与它的反函数 y = f 1 ( x ) 的图象关于直线的图象关于直线 y = x 对称。对称。 例例33 已知函数已知函数 . .（ 求证函数求证函数y=f(x)y=f(x)的图象

8、关于直线的图象关于直线y=xy=x对称对称. . 2( )log (12 )xf x ).21 (log)()21 (log212221)21 (log)2(222xyyxyxx的反函数yxfxy因因f(x)f(x)的反函数与原函数相同的反函数与原函数相同, ,故结论成立故结论成立. .证明证明：探究：如何证明一个函数的图象本身关于直线探究：如何证明一个函数的图象本身关于直线y=x对称？对称？结论结论?证明一个函数的图象关于直线证明一个函数的图象关于直线y=x对称，对称，只需说明它的反函数与原函数相同只需说明它的反函数与原函数相同 例例44函数函数f(x)loga (x1)(a0且且a1)的反

9、函数的图象的反函数的图象经过点经过点(1, 4)，求，求a的值的值. 若函数若函数yf(x)的图象经过点的图象经过点(a, b)，则其反函数的图象经过点则其反函数的图象经过点(b, a).结论结论？解解:依题意依题意,得得) 14(log1a. 3, 13log:a即a215124f xxxf 例 ：已知函数（ ）（）求出 （ ）的值。21 4525.xxxx 解：令 ，解之得：又，若函数若函数y=fy=f（x x）存在反函数，）存在反函数，且且f f-1-1（a a）=b=b，则，则f f（b b）=a=a结论结论？互为反函数的两个函数定义域、值域互换。互为反函数的两个函数定义域、值域互换。

10、练习：求下列函数的反函数：练习：求下列函数的反函数：x0123y0149问题问题4：练习中函数与函数：练习中函数与函数x-3-2-10123y9410149比较，有何异同？比较，有何异同？结论？结论？ 只有一一映射的函数才有反函数只有一一映射的函数才有反函数例例5：不查表，不使用计算器求值，比较：不查表，不使用计算器求值，比较log23与与 21.5的大小。的大小。图象法图象法练习1.log(0,0) xayayx aa 函数与且在同一坐标系中的图象只可能是（）xy011xy011xy011xy011 B C DA112.( )42(0)xxf xf设则23.lg() ,.yxaxaRa已知函

11、数的值域为求 的取值范围4.lg|1|.yx画出的图象5.|lg|.yx画出的图象6.|lg|1|.yx画出的图象五、互为反函数的函数图象增减速度比较：五、互为反函数的函数图象增减速度比较：x x1 12 23 32 22 21 12 22 22 2指指数数函函数数y y = = 2 2 , ,当当x x由由x x = = 2 2增增加加到到x x = = 3 3时时，x x = = 1 1, ,y y = = 2 2 - - 2 2 = = 4 4对对数数函函数数y y = = l lo og g x x, ,当当x x由由x x = = 2 2增增加加到到x x = = 3 3时时，x x = = 1 1, ,而而y y = = l lo og g 3 3- - l lo og g 2 2 = = 0 0. .5 58 85 50 0问题问题10：两个函数图象：两个函数图象在第一象限增长速度有在第一象限增长速度有何关系？