试试你的创新思维

1、试试你的创新思维（一）我们说，思维能力是数学能力的核心。著名美籍华裔科学家、诺贝尔奖获得者杨振宁教授说：“优秀的学生并不在于优秀的成绩，而在于优秀的思维方式。”而创新思维可以说是优秀思维方式的精品。诺贝尔奖新得主朱棣文教授新近说到“创新精神最重要”。 这篇短文，我们将从不同侧面、不同角度给出若干具有新意的题目。解决这些题目需要灵活运用学过的相关知识，还要会有机地迁移知识或做好转换工作。整个解题过程也检测着你的创新精神与创新思维。【题目】计算 1998+1997-1996-1995+1994+1993- 1992-1991+6+5-4-3+2+1这道题，要是按部就班自左向右依次计算，也可以算出结

2、果。但运算量太大，也过分繁琐。稍有闪失，还可能全题出错。因此，这种笨拙的解法不可取。肯动脑筋的同学，经过审题会发现：题目中的“加数”或“减数”自左至右，依次少1；题目自1998向后，都是先两个数相加，再连减去两个数。因此这样想：从1998起，由左向右，每四个数组成一组例如（1998+1997-1996-1995），而每组数中，第一个比第三个大2，第二个比第四个大2。正因如此，所以这样的每一组数的计算结果都相同，都等于4。这样一来，问题的关键就转化为：原式总共可分成多少个这样的组？是否有剩余（即到最后不足一组）？因为题目中涉及加减运算的数一共有1998个，每四个一组，共有 1998÷4

3、=499（组） 2（个），即总共可分成499组，还剩两个数。而且前面已分析：这499组数的计算结果全等于4，所以有：原式=（1998+1997-1996-1995）+（1994+1993-1992-1991）+（10+9-8-7）+（6+5-4-3）+2+1=4×499+3=4×500-1=1999到此，一个繁杂的计算题，由于处理得当，思考周密精巧，加上开拓创新，很快便迎刃而解了。作为练习题，请同学们自己试一试：【题目】在120米的直道上，从距离起点3米处开始，依次重复地轮换插上红、黄、紫、蓝四种彩旗。相邻的两面彩旗间均隔3米，问距离起点87米的地方插不插旗？如果插，插的是

4、何种旗？（答案：插彩旗，插的是红旗）你能把这块土地分成五份吗？一个农民有五个儿子，他去世前，留下遗嘱，要儿子们按以下要求分配土地：1，每个儿子必须同时与其他四个儿子为邻。2，任何两个儿子的土地，必须至少有一条共同界线，而不能只是一个点。3，每个儿子的土地必须是一整块。请你自己画图试试，看能不能解决这个难题。实际上，要同时做到以上几点是不可能的。这个难题是一百多年前德国拓扑学家费地南德·摩比乌斯（上面说到过的奇妙纸环，就是以他的名字命名的）设计出来的。摩比乌斯发现五个图形，无论形状和大小如何，不可能同时有共同边界。多少年来，许多数学家寻求解答这个问题，但此难题还是无解。所以人们又把这道

5、难题叫做“无法兑现的遗嘱”。这个拓扑学上的难题有它特殊的用途，绘制地图的人只要用四种颜色，就能把各种不同的地区分别开来，因为最多只有四个地区可以同时拥有一条共同边界。这就是所谓“四色猜想”，这个猜想在1976年已由电子计算机作出证明。你能把一张纸剪成两张吗？找一张旧报纸，用剪刀把报纸剪出一张5厘米宽的纸条，把纸条的一头翻个面，然后和另一头粘在一起，形成一个扭曲的纸圈。沿着5厘米宽的纸圈的中心线把纸圈剪开，你能剪出两个纸圈吗？    剪完一圈，你会发现纸圈还是一个，不过比原纸圈长了一倍。这是什么原因呢？原来，这种扭曲的纸圈有一个奇妙的特点，它只有一个面，也就是没有正

6、反面。这是千真万确的，不信你自己做一个这样的纸圈，用铅笔在纸上画线，铅笔划过整个纸圈后，又回到了它原来的出发点，这种纸圈在拓扑学上叫摩比乌斯环。数学的另一面：猜想和发现创造，在数学学习中意味着什么？许多教师认为，学生不可能有“本质”的创造，他们在数学上的“创造”就是一题多解。张思明却不这样看，他说：“学生学习数学是一个有指导的再创造过程。数学学习的本质是学生的再创造。相对于数学家的创造来说，学生的创造大体上是一种相对于他们的已知世界和旧有知识体系的自主地拓展、开掘和再创造的工作，它应该或尽量由学生相对独立地去完成。”为了发展学生的创新精神和实践能力，教师应该关注学生建构知识的过程，努力挖掘创新

7、点，给学生提供充分的再创造机会。 众所周知，把立体几何平面化，把多维问题降维，是解决立体几何问题的基本思路。如何将这种方法教给学生呢？张思明在黑板上画出两种图形，左边是已学过的正三角形，右边是还未学过的正四面体。他请学生观察它们的异同，并且根据正三角形的性质猜测正四面体的性质。学生们通过观察，对平面图形与立体图形的异同有了直观认识，经过讨论，得出了正四面体的一些性质(见下图)： 问题并没有到此结束，张思明又启发学生，让他们自己找一找比较类似的平面图形和立体图形，并且按照上面的方法找出立体图形的性质。这个问题具有开放性，学生们找出了很多图形来进行对比：直角三角形和特殊三棱锥(墙旮旯)、一般三角形

8、和一般三棱锥、正方形和正方体、矩形和长方体、平行四边形和平行六面体、圆和球、扇形和球扇形。对于这些图形，张思明指导学生先从平面到立体进行类比的联想、猜测，找出哪些性质可以由平面“自然”迁移到立体；再引导他们逆向思考，看看是否有立体图形成立而平面图形不成立的性质。随着问题的逐步深入和难度的逐渐加深，学生慢慢掌握了从平面几何到立体几何“合情推理”的方法，他们的智力潜能以及探求科学真理的勇气也被充分地调动起来。 匈牙利数学家波利亚说过：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学看起来像是一门试验性的归纳科学。”传统的数学教学

9、过分强调“演绎推理”的作用，甚至有“将数学窄化为演绎”的倾向。由于演绎是一种从一般规则推导出特例的推理方法，学生就总是先学概念、定理，然后再运用它们去解题。课堂上知识的建构往往被“听讲”所代替，学生看不到数学“生动活泼”的面孔，更没法享受“发现的乐趣”。张思明大胆地将立体几何的教学变成了学生的“发现之旅”，不仅使他们在一种兴奋的状态中接触了数学知识，而且初步了解了归纳、类比、猜想等对于日常生活和科学发现都极为重要的思维方法。 当被问及“猜想”的教育价值，张思明不无感慨地说到：“数学上讲大胆推理，小心求证。但中国人的毛病就是大胆的方面都已经退化了。学生刚刚说点自己的想法，就遭到棒杀。小孩子把太阳画成蓝色的，老师就会批评他是色盲。孩子会说，从家里的彩色玻璃看出去，太阳就是蓝的；或是夏天的时候，太阳要是蓝的，人们该有多清爽啊。大胆猜想的思维方式在中国人身上已经退化了，还是应该鼓励孩子们去想，特别是基础教育。想的时候要大胆，但求证的时候一定要认真，这就是一种数学意识。” 在教学实践中，张思明还把这种想法渗透于习题课的教学之中，提出