全国百强名校2020-2021学年高三数学重难点训练

1、精选优质文档-倾情为你奉上专题九 数学思想方法精析第一讲函数与方程思想Z 一、函数思想就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，并用函数的解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图象和性质，使问题获解二、方程思想就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的讨论， 从而使问题获解三、函数思想与方程思想联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)0，就是求函数yf(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数yf(x)的正(或负)区间，再如方程f(x

2、)g(x)的解的问题可以转化为函数yf(x)与yg(x)的交点问题，也可以转化为函数yf(x)g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要 例1 (1)已知f(x)log2x，x2,16，对于函数f(x)值域内的任意实数m，使x2mx4>2m4x恒成立的实数x的取值范围为( D )A(，2B2，)C(，22，)D(，2)(2，)解析因为x2,16，所以f(x)log2x1,4，即m1,4不等式x2mx4>2m4x恒成立，即为m(x2)(x2)2>0恒成立设g(m)(x2)m(x2)2，则此函数在区间1,4

3、上恒大于0，所以即解得x<2或x>2.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数a满足f(2|a1|)>f()，则a的取值范围是(，).解析由f是偶函数且f在上单调递增可知，f(x)在上单调递减又因为f>f，ff，所以2<，即<，解得<a<.规律总结函数与方程思想在不等式问题中的应用要点(1)在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用函数的最值解决问题(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化一般地，已知范围的量为变量，而待求范

4、围的量为参数G 1(2018·太原一模)定义域为R的可导函数yf(x)的导函数为f(x)，满足f(x)>f(x)，且f(0)1，则不等式<1的解集为( B )A(，0)B(0，)C(，2) D(2，)解析构造函数g(x)，则g(x).由题意得g(x)<0恒成立，所以函数g(x)在R上单调递减又因为g(0)1，所以<1.即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集为(0，)2若不等式x2ax10对一切x(0，恒成立，则a的最小值为( C )A0B2CD3解析因为x2ax10，即a(x)，令g(x)(x)，当0<x时，g(x)(x)递增，g(x)

5、maxg()，故a，即a的最小值为. 例2 设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f(x4)f(x)，且当x2,0时，f(x)()x6.若在区间(2,6内关于x的方程f(x)loga(x2)0(a>1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是(，2).解析由f(x4)f(x)，即函数f(x)的周期为4，因为当x2,0时，f(x)()x6.所以若x0,2，则x2,0，则f(x)()x63x6，因为f(x)是偶函数，所以f(x)3x6f(x)，即f(x)3x6，x0,2，由f(x)loga(x2)0得f(x)loga(x2)，作出函数f(x) 的图象如图当a>1时，要使方程

6、f(x)loga(x2)0恰有3个不同的实数根，则等价于函数f(x)与g(x)loga(x2)有3个不同的交点，则满足即解得<a<2，故a的取值范围是(，2)规律总结利用函数与方程思想解决交点及根的问题的思路(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转论为函数零点问题(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决G 已知函数f(x)xcosx，则方程f(x)所有根的和为( C )A0BCD解析f(x)xcosx，f (x)sinx，当x(，)时，sinx>，f (x)sinx>0，f(x)xcosx在(，)上是增

7、函数f()cos，在区间(，)上有且只有一个实数x满足f(x).当x时，有x，cosx1，x时，f(x)xcosx1<，由此可得：当x时，f(x)没有实数根同理可证：x时，f(x)1>，方程f(x)也没有实数根综上可知f(x)，只有实数根.故选C 例3 直线ya分别与曲线y2(x1)，yxln x交于点A，B，则|AB|的最小值为( D )A3B2CD解析当ya时，2(x1)a，所以x1.设方程xln xa的根为t，则tln ta，则|AB|.设g(t)1(t>0)，则g(t)，令g(t)0，得t1，当t(0,1)时，g(t)<0；当t(1，)时，g(t)>0，所

8、以g(t)ming(1)，所以|AB|，所以|AB|的最小值为.规律总结求最值或参数范围的技巧(1)充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解(2)充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求解(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数G 如图，A是单位圆与x轴的交点，点P在单位圆上，AOP(0<<)，四边形OAQP的面积为S，当·S取得最大值时的值为( B )ABCD解析(1,0)，(cos

9、，sin)，·Scossinsin()，故·S的最大值为，此时.故选B 例4 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且3.(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围解析(1)设椭圆C的方程为1(a>b>0)，设c>0，c2a2b2，由题意，知2b，所以a1，bc.故椭圆C的方程为y21，即y22x21.(2)设直线l的方程为ykxm(k0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B2(x2，y2)，由得(k22)x22kmx(m21)0，(2km)24(k22)(m21)4

10、(k22m22)>0，(*)x1x2，x1x2，因为3，所以x13x2.所以则3(x2x2)24x1x20，即3·()24·0，整理得4k2m22m2k220，即k2(4m21)(2m22)0，当m2时，上式不成立；当m2时，k2，由(*)式，得k2>2m22，又k0，所以k2>0，解得1<m<或<m<1，即所求m的取值范围为(1，)(，1)规律总结利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤第一步：联立方程第二步：求解判别式.第三步：代换利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换第四步：下结论将上述等量代换式代入>0或0中，即可求出目标参数的取值范围G 若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( B