初中锐角三角函数专题

1、精选优质文档-倾情为你奉上目录课题：锐角三角函数课件【引题】例题1：操作与探究（1）度量下列一组直角三角形30度角所对的边与斜边，计算它们的比值，发现什么规律？（2）度量下列一组直角三角形45度角所对的边与斜边，计算它们的比值，发现什么规律？（3）猜想：当A取其它一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比值是否定值？为什么？（4）用同样的方法探讨A的邻边与斜边、A的对边与邻边的比有什么规律？为什么？ 【归纳与总结】 三角函数的定义：如图，在RtABC中,C=90°，（1）我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记做sinA。即sinA=； （2）我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，

2、记做cos A。即 cosA=；（3）我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记做tanA。即tanA=；例题2：如图：利用特殊直角三角形求特殊角的三角函数。（1）已知，在RtABC中，C=90°，A=30°，求30°角、60°角的三角函数，并填出表格。（2）已知，在RtABC中，C=90°，A=45°，求45°角的三角函数，并填出表格。（3）分析上面特殊角的三角函数，你能从表格中发现什么规律？三角函数0°30°45°60°90°【归纳与总结】1余角三角函数关系： 如A+B

3、=90°, 那么：sinA=cosB； cosA=sinB； 2. 同角三角函数关系： sin2A+cos2A =1； 3. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦函数随角的增大，函数值反而减小.4. 函数值的取值范围： 在时. 正弦函数值范围：； 余弦函数值范围: ； 正切函数值范围：。 例题3：如图，在RtABC中，C=90°，求sinA、cosA和tanA的值例题4：如图，在RtABC中，C=90°，BC=6，求、的值【归纳与总结】在RtABC中，知道任意两条边的长，就可以求出两个锐角的所有三角函数。例题5：计算：（1） （

4、2）【基础与训练】1如图1，已知点P的坐标是（a，b），则sin等于（ ）A B C2在ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（ ） A B C D （1）3在RtABC中，C=90°，sinA=，则sinB等于（ ） A B C D4在RtABC中，C=90°，AB=10，sinB=，BC的长是（ ） A2【巩固与提高】1如图1，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）A Csina D1 (1) (2) (3) (4)2如图2，在四边形ABCD中，BAD=BDC=90°，且AD=3，

5、sinABD=，sinDBC=，则AB，BC，CD长分别为（ ） A4，12，13 B4，13，12 C5，12，13 D5，13，123如图3，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，ABD=a，则下列结论正确的是（ ） Asina= Bcosa= Ctana= Dtana=4如图4，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点17米的C处（ACAB）测得ACB=50°，则A、B间的距离应为（ ） A17sin50°米 B17cos50°米 C17tan50°米 D34cot50°米5如图，C=90°，DBC=30°

6、，AB=BD=2，利用此图求tan75°和tan15°6如图，POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C为CQ上，且OBC=30°，分别求点A，D到OP的距离 【提高与拓展1如图4，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处已知，则的值为( ) 图6图4图52如图5，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点 落在处，已知，则点的坐标是_3如图6，在等腰直角三角形中，为上一点，若 ，则的长为_4已知sina+cosa=m，sina·cosa=n，则m，n的关系是_5在RtABC中，C=90°，a+b=4，且SABC=2，则c=_6

7、将cos21°，cos37°，sin41°的值按从小到大的顺序排列为_7tan1°tan2°tan3°tan89°=_8在RtABC中，C=90°，CAB=60°，AD平分CAB，得的值为_9在ABC中，C=90°，且AC>BC，CDAB于D，DEAC于E，EFAB于F，若CD=4，AB=10，则EF：AF等于_解直角三角形应用题AB12千米PCDG60°图11.如图1，一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB的

8、方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D的正上方C处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米） 2.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡(2题图)角BAD=,坡长AB=,为加强水坝强度,将坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡的坡角F=,求AF的长度(结果精确到1米,参考数据: ,). 参考数据cos20°0.94，sin20°0.34，sin18°0.31，cos18°0.953施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB=4米，斜面距离BC=4.25米，斜坡总长DE=85米（1）求坡角

9、D的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?17cm（第3题）ABCDEF4 在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西195 km 处有一观察站A某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由 5. 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程

10、的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由(说明：的计算结果精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73，2.24，2.45)第5题6 如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得AEP74°，BEQ30°；在点F处测得AFP60°，BFQ60°，EF1km（1）判断ABAE的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A和

11、B之间的距离（结果精确到0.1km）（参考数据：1.73，sin74°，cos74°0.28，tan74°3.49，sin76°0.97，cos76°0.24）ADBADEBADFEBADQFEBADPQFEBAD 7图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m,每层楼高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH的长8在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A

12、的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？AB45°60°CED(第19题图)（2）求风筝A与风筝B的水平距离.(精确到0.01 m；参考数据：sin45°0.707,cos45°0.707,tan45°=1,sin60°0.866,cos60°=0.5,tan60°1.732）9 为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图

13、）已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°求路况显示牌BC的高度第19题图10.如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为_米（精确到0.1）（参考数据： ）82.0BAC（第11题图）11. 首届中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶

14、部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：） ABCD45°60°第（12）题12. 摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为，再往摩天轮的方向前进50 m至D处，测得最高点A的仰角为求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB（，结果保留整数） 13.小明想知道西汉胜迹中心湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东30°, 亭B在点

15、M的北偏东60°,当小明由点M沿小道向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A、B之间的距离14. A小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB米为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度（结果保留整数）（参考数据：）D37°C48°B 15.如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直

16、线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.第15题图 解直角三角形的方法技巧例1.如图1，若图中所有的三角形都是直角三角形，且，求AB的长。图1思路1：所求AB是的斜边，但在中只知一个锐角A等于，暂不可解。而在中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解入手。解法1：在中，因，且，AE1故在中，由，得在中，由，得思路2：观察图形可知，CD、DE分别是和斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用

17、射影定理求解。解法2：同解法1得在中，由，得在中，由，得点拔：本题是由几个直角三角形组合而成的图形，这样的问题，可先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。例2.如图2，在中，AD是BC边上的中线。（1）若，求AD的长。（2）若，求证：图2分析：（1）由AD是BC边上的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在中求解AD。而在中，由已知BC边和可以先求出AC，从而使可解。（2）和分别为和中的锐角，且都以直角边AC为对边，抓住图形的这个特征，根据锐角三角函数可以证明

18、解：（1）在中，在中，（2）证明：在中，由，得在中，由，得故，又因BC2DC，故点拔：在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形，如图2，它是含有两个直角三角形的图形。随着D点在BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现出许多不同的解直角三角形问题。例3.如图3，在中，AD是的平分线。（1）若，求（2）在（1）的条件下，若BD4，求图3分析：在（1）中已知AD是的平分线，又知AB、BD这两条线段的比为，应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到中，先求出即可求得。解：（1）由AD是的平分线，得，即在中，由，得，（2）由，得由，得。又点拨：解直角三角形

19、时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，从而找到解决问题的突破口。例4.如图4，在中，D为BC上一点，BD1，求AB。图4分析：已知的角告诉我们，和都是特殊的直角三角形，抓住这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解解：在中，设，由，可知，得，在中，由，BD1，得得点拨：解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系布列方程，还要熟练地掌握特殊锐角的三角函数值，以使解答过程的表述简便。训练题：如图5，在中，D、F分别在AC、BC上，且，求AC。图5（提示：是直角三角形，AF为斜边上的高线，CF是直角边AC在

20、斜边上的射影，AC又为所求，已知的另外两边都在中，且，即是等腰三角形，因此，可以过D作，从而找到解题思路。由于DE、AF同垂直于BC，可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC）锐角三角函数考点考查重点与常见题型1 求三角函数值，常以填空题或选择题形式出现，如：在RtABC中，C90°，3ab，则A ，sinA 2 考查互余或同角三角函数间关系，常以填空题或选择题形式出现，如：(1) sin53°cos37°cos53°sin37° (2) 在RtABC中，C90°，下列各式中正确的是（ ）(A) sinAsinB (B)sinAc

21、osB (C)tanAtanB (D)c0tAcotB3 求特殊角三角函数值的混合运算，常以中档解答题或填空题出现，如：12sin30°cos30° 考点训练1RtABC中，C90°，AB6，AC2，则sinA（ ）（A） （B） （C） （D）2在ABC中，C90°，sinA，则tanA·cosA的值是（ ）（A） （B） （C） （D）3已知AB90°，则下列各式中正确的是（ ） （A）sinAsinB (B)cosAcosB (C)tanAcogB (D)tanAtanB4若0°<a<45°，则下

22、列各式中正确的是（ ） （A）sina>cosa (B)cosa>sina (C)cota<1 (D)tana>cota5RtABC中，C90°，ACBC1，则cosA= ，cotA 6设a为锐角，若sina，则a ，若tana，则a 7查表得cot56°421.5224，2的修正值为0.0019，则cot56°44 8已知a为锐角，若cosa，则sina ，tan(90°a) 9. 已知sina=, a为锐角，则cosa ，tana ，cota 10用“>”或“<”连结： cos18° cos18°

23、;3； tan31° tan32°； tan29°30 cot60°29 sin39° cos51°；cot30° sin89°；sinacosa 1（a为锐角）11计算：（1）sin60° cos45°sin30°·cos30°（2）3 tan30°cos0°·cos45°12ABC中，BAC90°，AD是高，BD9，tanB，求AD、AC、BC13已知方程x25x·sina10的一个根为2，且a为锐角，

24、求tana 的值。解题指导1 计算：（1）sin45°·cos45°3cot260°+（2）2 若a为锐角，tga3，求的值。3 在RtABC中，C90°，求证：a3cosAb3cosB=abc4 方程x2x m0的两根是一个直角三角形中两锐角的余弦cosA和cosB，求A、B的度数和m的值。5 若方程2x22x·cosaError! No bookmark name given.cosa（cosa4）0的两个根x1、x2满足（x11）（x21），求sina的值。6ABC中，ABAC，BAC36°，AD是BC边上的高，BE是

25、ABC的平分线，BC1，试利用这个三角形求出sin18°的值。7已知sin和cos是方程a2x2a3x10的两根，求a的值。独立练习1在RtABC中，C90°，sinAsinB34，则ctgA的值（ ）（A） （B） （C） （D）2若2cosa0，则锐角a（ ）（A） 30°（B）15° （C）45°（D）60°3 已知a=sin25°，b=tan46°，c=cot17°，m=cos20°，则a、b、c、m的大小关系（ ）（A） a<b<c<m（B）b<m<c<a（C）a<m<b<c（D）m<a<b<c4在RtABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（ ）（A） 都扩大两倍（B）都缩小两倍（C）没有变化（D）不能确定50°<a<45°，下列不等式中正确的是（ ）(A)cosa<sina<cota（B）cosa<co