2024八年级数学下册专题突破第11讲正方形中的几个常用模型探究含解析新版浙教版

Page32第11讲正方形中的几个常用模型探究ABABCDHGEF如图，正方形如图，正方形ABCD中，E、F在其左右两对边上，G、H在其上下两对边上.若有EF⊥GH，则必有EF=GH.证明方法：构造全等；逆向应用：见“十字架”想直角三角形全等【例题】：如图ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE＝CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请证明你的猜想．【分析】由DE＝CF可得AE＝DF⇒△DAF≌△ABE，然后依据全等三角形的对应角相等可得出BE与AF的关系．如图ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE＝CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请证明你的猜想．【解答】解：BE＝AF，BE⊥AF；理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，DE＝CF，∴AE＝DF，又∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△BAE≌△ADF∴BE＝AF，∠ABE＝∠FAD，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠FAD+∠AEB＝90°，∴BE⊥AF．故BE＝AF，BE⊥AF．【变式】去掉DE＝CF时，（1）若已知BE=AF，则BE⊥AF成立吗？【解答】解：BE⊥AF，理由如下；理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=90°，AB=AD易证得：Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）∴∠ABE=∠DAF∵∠DAF＋∠BAF=90°∴∠ABE＋∠BAF=∠AGB=90°即BE⊥AF（2）若已知BE⊥AF，则BE=AF成立吗？【解答】解：BE=AF，理由如下；理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=90°，AB=AD又∵BE⊥AF∴∠AGB=90°∴∠ABE＋∠BAF=90°∵∠DAF＋∠BAF=90°∴∠ABE=∠DAF∴△ABE≌△DAF（ASA）∴BE=AF【针对练习】1．（槐荫区期末）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（）A．2 B． C．4 D．【分析】依据题目中的条件，可以先证明△BAE和△ADF全等，然后即可得到∠ABE＝∠DAF，从而可以证明△BGF是直角三角形，再依据点H为BF的中点，可知GH是BF的一半，然后依据勾股定理可以求得BF的长，从而可以得到GH的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，∴∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，又∵BC＝CD＝5，DF＝2，∠C＝90°，∴CF＝3，∴BF＝＝＝，∴GH＝，故选：B．2．（灞桥区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（）A．1 B．2 C． D．2【分析】依据正方形的性质得到AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，依据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠DAF，求得∠AOB＝90°，依据三角形的面积公式得到OA＝1，由勾股定理即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△ABE与△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∴∠ABE+∠BAO＝∠DAF+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∵△ABE≌△DAF，∴S△ABE＝S△DAF，∴S△ABE﹣S△AOE＝S△DAF﹣S△AOE，即S△ABO＝S四边形OEDF＝1，∵OA＝1，∴BO＝2，∴AB＝＝＝，故选：C。3．（南京期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在CD、AD、BC上，且FG⊥BE，垂足为O．（1）求证：BE＝FG；（2）若O是BE的中点，且BC＝8，EC＝3，求AF的长．【分析】（1）作AM∥FG交BE于N，BC于M．依据正方形的性质证明△ABM≌△BCE可得AM＝BE．再证明四边形AMGF为平行四边形．即可得结论；（2）连接BF、EF，设AF＝x，则DF＝8﹣x，依据勾股定理即可求出AF的长．【解答】（1）证明：作AM∥FG交BE于N，BC于M．在正方形ABCD中，∴AD∥BC，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°．∵FG⊥BE，∴∠FOB＝90°．∵AM∥FG，∴∠ANB＝∠FOB＝90°．∴∠ABN+∠EBC＝90°∵∠C＝90°．∴∠BEC+∠EBC＝90°．∴∠ABN＝∠BEC．在△ABE和△CDF中，，∴△ABM≌△BCE（AAS），∴AM＝BE．∵AD∥BC，∴AF∥MG．∵AM∥FG，∴四边形AMGF为平行四边形．∴AM＝FG．∵AM＝BE，∴BE＝FG．（2）如图，连接BF、EF，∵FG⊥BE，O是BE的中点，∴BF＝FE．在正方形ABCD中，∴AD＝AB＝DC＝BC＝8．∵EC＝3，∴DE＝5．设AF＝x，则DF＝8﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF2＝AB2+AF2＝82+x2．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2＝DF2+DE2＝52+（8﹣x）2．∵BF＝FE，∴BF2＝EF2．即82+x2＝52+（8﹣x）2，解得：x＝．∴AF＝．4．（内黄县模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是CD，BC边上的动点，且CE+CF＝4，BE和AF相交于点G，在点E、F运动的过程中，当△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍时，△BCG的面积为．【分析】利用SAS判定△ABF≌△BCE，则得∠AGB＝90°；利用当△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍时可得∠ABG＝45°或60°，于是∠GBF＝45°或30°；过点G作GH⊥BC于点H，通过计算GH的长得到△BCG的高，利用三角形的面积公式即可求得结论．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴CF+BF＝4．∵CE+CF＝4，∴CE＝BF．在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS）．∴∠AFB＝∠BEC．∵AB∥CD，∴∠ABG＝∠BEC．∴∠ABG＝∠AFB．∵∠ABG+∠FBG＝90°，∴∠AFB+∠FBG＝90°．∴BG⊥AF．∴∠AGB＝90°．∵△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍，∴∠ABG＝45°或60°．∴∠GBF＝45°或30°．过点G作GH⊥BC于点H，如图，当∠GBF＝45°时，点F与点C重合，∴GH＝，∴△BCG的面积＝×BC×GH＝4．当∠GBF＝30°时，∵BG＝AB＝2，∴GH＝BG＝1．∴△BCG的面积＝×BC×GH＝2．综上，△BCG的面积为4或2．故答案为：4或2．5．（罗湖区校级模拟）如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF；⑤∠BAE＝∠AFB其中，正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】依据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，然后依据全等三角形的性质可找出其中相等的线段可相等的角，然后再逐个进行推断即可．【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，∵CE＝DF，∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴AE＝BF，故①正确；∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE+∠BAO＝90°，∴∠ABF+∠BAO＝90°，在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF，故②正确；假设AO＝OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相冲突，所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；∵AE⊥BF，∴∠AOB＝90°．∴∠OAB+∠ABO＝90°．又∵∠AFB+∠ABO＝90°，∴∠BAO＝∠AFO，故⑤正确．故选：C．模型二正方形中的“三垂定理”模型如图，已知正方形ABCD，过点B、D两点分别向过点C的直线作垂线，垂足分别为E、F，则有△BCE≌△CDF【例题】．（蒙阴县期末）（1）数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．小明经过思索展示了一种正确的解题思路：取AB的中点H，连接HE，则可以证明AE＝EF．请你写出证明过程．（2）在此基础上，小颖提出：如图2，假如把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的随意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”照旧成立，你认为小颖的观点正确吗？假如正确，请写出证明过程；假如不正确，请说明理由；（3）如图3，假如点E是BC的延长线上（除C点外）的随意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”照旧成立吗？干脆写出结论，不用说明理由．【分析】（1）取AB的中点H，连接EH，依据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF；（2）如图2，在AB上取一点M，使AM＝CE，连接ME，方法同（1）可得出结论；（3）延长BA到M，使AM＝CE，依据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF．【解答】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠AEF＝90°，∵点H、E分别是边AB、BC的中点，∴AH＝BH＝BE＝CE，∴∠BHE＝45°，∴∠AHE＝135°，∵CF是正方形外角∠DCG的平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AHE＝∠ECF，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）解：正确．如图2，在AB上取一点M，使AM＝CE，连接ME，∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∠AME＝135°，∵CF是正方形外交∠DCG的平分线，∴∠DCF＝45°，∠ECF＝135°，同（1）可证明△AME≌△ECF，∴AE＝EF；（3）成立．理由如下：如图3，延长BA到M，使AM＝CE，∵∠AEF＝90°，∴∠FEG+∠AEB＝90°．∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∴∠MAE＝∠CEF．∵AB＝BC，∴AB+AM＝BC+CE，即BM＝BE．∴∠M＝45°，∴∠M＝∠FCE．在△AME与△ECF中，，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．【针对练习】1．（郾城区期末）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是．【分析】依据正方形性质得出AB＝CB，∠ABC＝90°，求出∠EAB＝∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE＝CF＝2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝180°﹣90°＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，在△AEB和△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴BE＝CF＝2，在Rt△AED中，由勾股定理得：AB＝＝，即正方形ABCD的面积是5，故答案为：5．2．（巴中期末）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，则点C到y轴的距离为OE，通过证明△CBE≌△BAO得到BE＝OA，利用点A，B的坐标可求OA，OB的长，则结论可求．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，如图，则点C到y轴的距离为OE．∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），∴OA＝2，OB＝3．∵CE⊥x轴，∴∠CEB＝90°．∴∠ECB+∠EBC＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB，∠CBA＝90°．∴∠EBC+∠ABO＝90°．∴∠ECB＝∠ABO．在△CBE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS）．∴EB＝OA＝2．∴OE＝OB+BE＝3+2＝5．∴点C到y轴的距离是5．故选：B．3．（鹿城区校级一模）如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为（）A． B． C． D．【分析】过D作DN⊥CF于点N，作DP⊥HM于点P，过点F作FQ⊥HM，交HM的延长线于点Q，依据勾股定理即可求得DF的长．再依据全等三角形的对应边相等可得FQ＝DP，进而判定△FQM≌△DPM，即可得到M是FD的中点，据此可得DM＝DF．【解答】解：如图所示，过D作DN⊥CF于点N，作DP⊥HM于点P，过点F作FQ⊥HM，交HM的延长线于点Q，∵∠ACB＝120°，∠ACF＝∠BCD＝90°，∴∠DCN＝60°，∠CDN＝30°，又∵BC＝DC＝2，AC＝FC＝3，∴CN＝CD＝1，FN＝CF﹣CN＝3﹣1＝2，DN＝＝，Rt△DFN中，DF＝＝＝．∵四边形BCDE是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，又∵CH⊥AB，∴∠DCP+∠BCH＝∠CBH+∠BCH＝90°，∴∠DCP＝∠CBH，又∵∠DPC＝∠BHC＝90°，∴△DCP≌△CBH（AAS），∴DP＝CH，同理可得△ACH≌△CFQ，∴FQ＝CH，∴FQ＝DP，又∵∠Q＝∠DPM＝90°，∠FMQ＝∠DMP，∴△FQM≌△DPM（AAS），∴FM＝DM，即M是FD的中点，∴DM＝DF＝．故选：A．4．（西湖区校级月考）如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C作l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，求AB的长．【分析】先利用AAS判定△ABE≌△BCF，从而得出AE＝BF，BE＝CF，最终得出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBF+∠FBA＝90°，AB＝BC，∵CF⊥BE，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS）∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝3，∴AB＝＝＝．5．（济源期末）[经典问题回顾]如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．对于本题，我们常用的思路是在AB上截取BM＝BE，构造全等三角形进行证明．小明通过深度探讨，又总结出了以下三种思路：思路一：如图（1），在AB的延长线上截取BN，使BN＝BE，连接NE，利用全等三角形和特殊四边形，转化得到线段之间的数量关系，获证；思路二：如图（2），连接AC，过点E作EP⊥AC于点P，EQ⊥CF于点Q，利用全等三角形，获证；思路三：如图（3），连接AC，作EG∥AB，交AC与点G，利用全等三角形，获证．[进一步探究]小明接着对这道题目进行了改编，请完成下面改编题目的解答．四边形ABCD是正方形，点E是直线BC上一点，∠AEF＝β，EF交正方形外角平分线CF于点F．（1）如图（4），若点E在边BC延长线上，β＝90°，线段AE与线段EF存在怎样的数量关系？并加以证明；（2）如图（5），若点E在边BC上，AE＝EF，求β的度数．【分析】（1）结论：AE＝EF．如图（4）中，延长BA至H，使AH＝CE，连接HE，证明△HAE≌△CEF（ASA），可得结论．（2）如图（5）中，连接AC，过点E作EP⊥AC于点P，EQ⊥CF于点Q．证明Rt△APE≌Rt△FQE（HL），推出∠AEP＝∠FEQ，推出∠AEF＝∠PEQ＝90°，可得结论．【解答】解：（1）结论：AE＝EF．理由：如图（4）中，延长BA至H，使AH＝CE，连接HE，∵BA＝BC，AH＝CE，∴BH＝BE，∴∠H＝45°，∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF＝45°，∴∠H＝∠ECF，∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，∠HAE＝∠B+∠BEA，∠CEF＝∠AEF+∠BEA，∴∠HAE＝∠CEF，在△HAE和△CEF中，，∴△HAE≌△CEF（ASA），∴AE＝EF．（2）如图（5）中，连接AC，过点E作EP⊥AC于点P，EQ⊥CF于点Q．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECQ＝∠PCE＝45°，∴∠EPC＝∠Q＝∠PCQ＝90°，∴四边形EPCQ是矩形，∵∠PEC＝∠PCE＝45°，∴PE＝PC，∴四边形EPCQ是正方形，∴PE＝EQ，在Rt△APE和Rt△FQE中，，∴Rt△APE≌Rt△FQE（HL），∴∠AEP＝∠FEQ，∴∠AEF＝∠PEQ＝90°，∴β＝90°．条件：①正方形ABCD条件：①正方形ABCD，②∠EAF=45°结论：①EF=BE+DF；(△CEF的周长=正方形ABCD周长的一半）②EA平分∠BEF③FA平分∠DAE条件：①正方形ABCD；②∠EAF=45°条件：①正方形ABCD；②∠EAF=45°结论：EF=DF-BE☆：当∠EAF旋转到正方形ABCD外部时，则有：【例题】．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．（1）求证：CE＝CF．（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所累积的阅历和学问，完成下题：如图2，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠GCE＝45°，BE＝4，求GE的长．【分析】（1）由SAS证明△CBE≌△CDF，即可得出结论；（2）由（1）知，△CBE≌△CDF，得CE＝CF，∠BCE＝∠DCF，再证△ECG≌△FCG（SAS），即可得出结论；（3）过C作CD⊥AG，交AG的延长线于D，证四边形ABCD是正方形，设GD＝x，则GE＝4+x，AG＝12﹣x，在Rt△AEG中，由勾股定理得出方程，求出x＝6，即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠CDF＝90°，在△CBE和△CDF中，，∴△CBE≌△CDF（SAS），∴CE＝CF；（2）解：GE＝BE+GD成立，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，由（1）知，△CBE≌△CDF，∴CE＝CF，∠BCE＝∠DCF，∴∠DCF+∠ECD＝∠BCE+∠ECD＝∠BCD＝90°，即∠ECF＝90°，又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°，在△ECG和△FCG中，，∴△ECG≌△FCG（SAS），∴GE＝GF，∵GF＝DF+GD，DF＝BE，∴GE＝DF+GD＝BE+GD；（3）解：过C作CD⊥AG，交AG的延长线于D，如图2所示：则∠CDA＝90°，∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B＝90°，∴∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝12，∵BE＝4，∴AE＝AB﹣BE＝8，由（2）得：GE＝BE+GD，设GD＝x，则GE＝4+x，AG＝12﹣x，在Rt△AEG中，由勾股定理得：AE2+AG2＝GE2，即82+（12﹣x）2＝（4+x）2，解得：x＝6，∴GE＝4+6＝10．【针对练习】1．（高州市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足为E，且DE＝EB＝5，则四边形ABCD的面积．【分析】依据旋转的性质将四边形ABCD变形为正方形DEBE′，易求四边形ABCD的面积．【解答】解：把Rt△DEA以绕D按逆时针旋转90°，如图：∵旋转不变更图形的形态和大小，∴A与C重合，∠A＝∠DCE′，∠E′＝∠AED＝90°．∵在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，∴∠A+∠DCB＝180°，∴∠DCE′+∠DCB＝180°，即点B、C、E′在同始终线上，∵∠DEB＝∠E′＝∠B＝90°，∴四边形DEBE′是矩形，∴S矩形DEBE′＝DE×BE＝5×5＝25，∵S矩形DEBE′＝S四边形DEBC+S△DCE，∵S四边形ABCD＝S四边形DEBC+S△ADE＝S四边形DEBC+S△DCE，∴S四边形ABCD＝S矩形DEBE＝25．故四边形ABCD的面积为25．故答案为：25．2．（丽水期中）已知正方形ABCD中，M，N是边BC，CD上随意两点，∠MAN＝45°，连结MN．（1）如图①，请干脆写出BM，DN，MN三条线段的数量关系：；（2）如图②，过点A作AH⊥MN于点H，求证：AB＝AH；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．【分析】（1）延长CD到E，使DE＝BM，利用SAS证明△ABM≌△ADE，得∠BAM＝∠DAE，AM＝AE，再证明△AMN≌△AEN（SAS），得MN＝NE＝ND+BM；（2）由（1）知，∠AMB＝∠AED，∠AED＝∠AMN，得∠AMB＝∠AMN，再利用角平分线的性质可证明结论；（3）将图③放到图②中，利用HL证明Rt△ABM≌Rt△AHM，得BM＝MH＝2，同理得，NH＝ND＝3，设BC＝AB＝x，则CM＝x﹣2，CN＝x﹣3，在Rt△MCN中，利用勾股定理列方程，从而解决问题．【解答】（1）解：延长CD到E，使DE＝BM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABM＝∠ADE＝90°，∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE（SAS），∴∠BAM＝∠DAE，AM＝AE，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝∠NAE＝45°，∵AN＝AN，∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN＝NE＝ND+BM，∴MN＝BM+DN，故答案为：MN＝BM+DN；（2）证明：由（1）知，∠AMB＝∠AED，∠AED＝∠AMN，∴∠AMB＝∠AMN，∵AB⊥BC，AH⊥MN，∴AB＝AH；（3）解：将图③放到图②中，∵AB＝AH，AM＝AM，∴Rt△ABM≌Rt△AHM（HL），∴BM＝MH＝2，同理得，NH＝ND＝3，设BC＝AB＝x，则CM＝x﹣2，CN＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理得，（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，解得x1＝6，x2＝﹣1（舍），∴AB＝6．由（1）知，AB＝AH，∴AH＝6．3．（香洲区校级模拟）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？假如成立，请赐予证明，假如不成立，请说明理由；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．【分析】（1）在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，依据正方形性质得出AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，证△ABE≌△ADN推出AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，求出∠EAM＝∠MAN，依据SAS证△AEM≌△ANM，推出ME＝MN即可；（2）在DN上截取DE＝MB，连接AE，证△ABM≌△ADE，推出AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，求出∠EAN＝∠MAN，依据SAS证△AMN≌△AEN，推出MN＝EN即可．【解答】解：（1）图1中的结论照旧成立，即BM+DN＝MN，理由为：如图2，在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，∵在△ABE和△ADN中，∴△ABE≌△ADN（SAS）．∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，∵在△AEM和△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，即DN+BM＝MN；（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN﹣BM＝MN．证明：如图3，在DN上截取DE＝MB，连接AE，∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，∴△ABM≌△ADE（SAS）．∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，∴∠DAE+∠BAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，∵在△AMN和△AEN中，∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN＝EN，∵DN﹣DE＝EN，∴DN﹣BM＝MN．【其他模型练习】1．（平顶山期末）（1）如图1，边长为a的正方形ABCD对角线AC与BD相交于点O，且正方形OEFG绕点O旋转时，OE交边AB于点H，OG交边BC于点R．则图中阴影部分（四边形BROH）的面积为；（用含a的代数式表示）（2）如图2，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，BD平分∠ABC，点O为BD的中点．正方形OEFG绕点O旋转时，OE交边AB于点H，OG交边BC于点R．求图中阴影部分（即四边形BROH）的面积；（3）如图3，△ABC与△OEF均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠EOF＝90°，AB＝BC，OE＝OF．BD是Rt△ABC斜边AC上的中线，点O为BD的中点，OE交边AB于点H，OF交边BC于点R．设两三角形重叠部分（阴影部分）的面积为S，已知EF＝3，当两三角形的空白部分（除去阴影部分）的面积差为2时，干脆写出阴影部分面积S的值．【分析】（1）由题意得OA＝OB，∠OAB＝∠OBC＝45°又因为∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOR+∠EOB＝90°可得∠AOE＝∠BOR，依据ASA可证△AOH≌△BOR，由全等三角形的性质可得S△AOH＝S△BOR，可得重叠部分的面积为正方形面积的，即可求解；（2）介绍两种解法：解法一：如图2，过点O作MN∥AC分别与AB，BC交于点M，N，连接DM，DN，依据平行线分线段成比例定理可得点D，M，N分别为AC，AB，BC的中点，证明四边形BNGM是正方形，可得阴影部分的面积；解法二：如图3，如图3，过点O作MN∥AC分别与AB，BC交于点M，N，证明△MOH≌△BOR（ASA），可得阴影部分的面积；（3）先计算OE＝OF＝3，依据两三角形的空白部分（除去阴影部分）的面积差为2列方程（分两种状况），可得AB2的值，由（2）的结论可得S的值．【解答】解：（1）如图1，在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°，∵∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOR+∠EOB＝90°，∴∠AOH＝∠BOR．在△AOH和△BOR中，∴△AOH≌△BOR（ASA），∴S△AOH＝S△BOR，∴图中阴影部分的面积＝S△AOB＝S正方形ABCD＝a2，故答案为：a2；（2）如图2，过点O作MN∥AC分别与AB，BC交于点M，N，连接DM，DN，∴＝，∵AB＝BC＝a，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD，∴点D，M，N分别为AC，AB，BC的中点，∴MD∥BC，DN∥AB，∴四边形BNDM是平行四边形，∵∠ABC＝90°，BM＝BN，∴四边形BNGM是正方形，由（1）中得：S阴影部分＝S正方形BNDM＝×BM2＝；方法二：如图3，过点O作MN∥AC分别与AB，BC交于点M，N，同理得：BM＝BN＝a，∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴BO⊥MN，∠HMO＝∠RBO＝45°，OM＝OB，∠MOH+∠BOH＝∠BOH+∠BOR＝90°，∴∠MOH＝∠BOR，∴△MOH≌△BOR（ASA），∴S阴影部分＝S△BOM＝S△MBN＝×BM2＝×BM2＝；（3）∵△EFO是等腰直角三角形，且∠EOF＝90°，EF＝3，∴OE＝OF＝3，∵两三角形的空白部分（除去阴影部分）的面积差为2，分两种状况：①（AB2﹣S）﹣（﹣S）＝2，解得：AB2＝13，由（2）得：S＝AB2＝；②（AB2﹣S）﹣（﹣S）＝﹣2，解得：AB2＝5，∴S＝AB2＝；综上，S的值为或．2．（南岸区期末）已知四边形ABCD是正方形，点F为射线AD上一点，连接CF并以CF为对角线作正方形CEFG，连接BE，DG．（1）如图1，当点F在线段AD上时，求证：BE＝DG；（2）如图1，当点F在线段AD上时，求证：CD﹣DF＝BE；（3）如图2，当点F在线段AD的延长线上时，请干脆写出线段CD，DF与BE间满足的关系式．【分析】（1）由“SAS”可证△BCE≌△DCG，可得结论．（2）如图1中，设CD交FG于点O，过点G作GT⊥DG交CD于T．证明△DGT是等腰直角三角形，再证明△DGF≌△TGC即可解决问题；（3）如图2，过点G作GT⊥DG交DC的延长线于T，证明△DGT是等腰直角三角形，再证明△DGF≌△TGC即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD，四边形EFGC都是正方形，∴∠BCD＝∠ECG＝90°，CB＝CD，CE＝CG