专题3-平差数学模型与最小二乘原理(实习用—与开始统讲)

1、第二章第二章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 本章介绍测量平差的基本概念，简要地给出基本平差本章介绍测量平差的基本概念，简要地给出基本平差方法的数学模型，为以后各章系统学习各种平差理论打好方法的数学模型，为以后各章系统学习各种平差理论打好基础。最后介绍最小二乘原理，这是测量平差法所遵循的基础。最后介绍最小二乘原理，这是测量平差法所遵循的准则。准则。 第一节第一节 测量平差概述测量平差概述 第二节第二节 测量平差的数学模型测量平差的数学模型 第三节第三节 函数模型的线性化函数模型的线性化 第四节第四节 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理2-1 2-1 测量平差概述

2、测量平差概述 在测量工程中，最常见的是要确定某些几何量的大小。在测量工程中，最常见的是要确定某些几何量的大小。例如，为了求定一些点的高程而建立了水准网，为了求定例如，为了求定一些点的高程而建立了水准网，为了求定某些点的坐标而建立了平面控制网或三维测量网。前者包某些点的坐标而建立了平面控制网或三维测量网。前者包含点间的高差、点的高程等元素，后者包含角度、边长、含点间的高差、点的高程等元素，后者包含角度、边长、边的方位角以及点的二维或三维坐标等等元素。这些元素边的方位角以及点的二维或三维坐标等等元素。这些元素都是几何量，以下统称这些网为几何模型。都是几何量，以下统称这些网为几何模型。 为了确定一个

3、几何模型，并不需要知道该模型中所有元为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其它元素可以通过它们来确定。例如：它元素可以通过它们来确定。例如：（1 1）在图）在图2-12-1的的ABCABC中，为了确定它的形状（相似形），只中，为了确定它的形状（相似形），只要知道其中任意要知道其中任意2 2个内角的大小就行了，如个内角的大小就行了，如 等。它们都是同一类型的元素（角度）。等。它们都是同一类型的元素（角度）。（2 2）为了确定）为了确定ABCABC的形状和大小（全等形），只要知道其的形状和大

4、小（全等形），只要知道其中任意的中任意的2 2角角1 1边、边、2 2边边1 1角或角或3 3边的大小就行了，边的大小就行了，如如 、 、 , , 、 、 , , 、 、 ， ，等等。，等等。 返回目录23121,LLLLL或或3L1L2L1S2S3L1S1S2S3S（3 3）在图）在图2-22-2的水准网中，为的水准网中，为了确定了确定A A、B B、C C、D4D4点之间高点之间高度的相对关系，只要知道其中度的相对关系，只要知道其中3 3个高差就行了，如个高差就行了，如 、 、 或或 、 、 或或 、 、 等等。等等。它们是同一类型的元素（高它们是同一类型的元素（高差）。差）。 能够唯一地

5、确定一个几何能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，简称必要模型所必要的元素，简称必要元素；必要元素的个数用元素；必要元素的个数用t t来表来表示。对于上述三种情况，分别示。对于上述三种情况，分别是是t=2,t=3t=2,t=3和和t=3t=3。对于第二种情。对于第二种情况，况，3 3个元素中除了角度还至少个元素中除了角度还至少要包含一个边长，没有边长仍要包含一个边长，没有边长仍然只能确定其形状；然只能确定其形状；返回目录1h3h4h1h2h6h6h5h4h 而无法确定其大小，因此，必要元素不仅要考虑其个数，而无法确定其大小，因此，必要元素不仅要考虑其个数，而且要考虑以它的类型。由此可知，当某

6、个几何模型给定而且要考虑以它的类型。由此可知，当某个几何模型给定之后，能够唯一确定该模型的必要元素的个数之后，能够唯一确定该模型的必要元素的个数t t及其类型，及其类型，t t只与几何模型有关，与实际观测量无关。只与几何模型有关，与实际观测量无关。 对于任一几何模型，它的对于任一几何模型，它的t t个必要元素之间必要不存在函个必要元素之间必要不存在函数关系，亦即其只任一元素不能表达成其余（数关系，亦即其只任一元素不能表达成其余（t-1t-1）个元素）个元素的函数。例如，对于（的函数。例如，对于（1 1）中的情况，若以）中的情况，若以 和和 作为必要作为必要元素，则元素，则 与与 间无函数关系；

7、又如在（间无函数关系；又如在（2 2）情况中，）情况中，选选 、 、 ，则，则 + + =+ + =180 ，三者之间存在函数关系，三者之间存在函数关系，就不能说就不能说t=3t=3，实际必要元素只选了两个，而漏选了一个。，实际必要元素只选了两个，而漏选了一个。因此必要元素因此必要元素t t个量为函数独立量，简称独立量。个量为函数独立量，简称独立量。 在一个几何模型中，除了在一个几何模型中，除了t t个独立量以外，若再增加一个个独立量以外，若再增加一个量，则必然产生一个相应的函数关系式。仍以（量，则必然产生一个相应的函数关系式。仍以（2 2）情况）情况中，必要量选为中，必要量选为 、 、 ，若

8、增加一个量，若增加一个量 ，则存在，则存在 + + + =+ =180 ，若再增加一个量，若再增加一个量 ，则有，则有返回目录1L1L1L1L1L1L2L2L2L2L2L2L3L3L3L3L1S2S1212sinsinLLSS 由此可知，一个几何模型的独立量个数最多为由此可知，一个几何模型的独立量个数最多为t t个，除个，除此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式，此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式，这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。 在测量工程中，为了求得一个几何模型中各量的大小就在测量工程中，为了求得一个几何模型中各量

9、的大小就必须进行观测。如果总共观测了该模型中必须进行观测。如果总共观测了该模型中n n个量的大小，个量的大小，若观测个数少于必要元素的个数，即若观测个数少于必要元素的个数，即ntntnt，若令，若令 r=n-t r=n-t （2-1-12-1-1） 式中式中n n为观测值个数，为观测值个数，t t称为必要观测数，称为必要观测数，r r称为多余观称为多余观测数。多余观测数在测量中又称测数。多余观测数在测量中又称“自由度自由度”。返回目录 一个几何模型如果有一个几何模型如果有r r个多余观测，就产生个多余观测，就产生r r个条件方个条件方程。由于观测值不可避免地存在观测误差，由观测值组成程。由于观

10、测值不可避免地存在观测误差，由观测值组成上述条件方程必不能满足，仍以（上述条件方程必不能满足，仍以（2 2）中情况为例，若观）中情况为例，若观测了角度测了角度L1L1、L2L2、L3L3和边长和边长S1S1、S2S2，考虑观测误差，有，考虑观测误差，有 因因r=n-t=5-3=2r=n-t=5-3=2，可组成，可组成2 2个条件方程为个条件方程为 （2-1-22-1-2） （2-1-32-1-3）若用观测值组成上述两个条件方程，则不能成立，即若用观测值组成上述两个条件方程，则不能成立，即 （2-1-42-1-4）返回目录333222111,LLLLLL212211,SSSSSS180)()()

11、(332211LLL)sin()sin()()(11221212LLSSSS0180321LLL1212sinsinLLSS 造成条件方程不闭合，或者说存在闭合差，例如造成条件方程不闭合，或者说存在闭合差，例如 （2-1-42-1-4）式中的，就是该三角形角度条件方程的闭合差。）式中的，就是该三角形角度条件方程的闭合差。 由于观测不可避免地存在偶然误差，当由于观测不可避免地存在偶然误差，当ntnt时，几何模型时，几何模型中应该满足中应该满足r=n-tr=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不满足，个条件方程，实际存在闭俣差而并不满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达如何调整观

12、测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数一个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数学模型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这学模型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这种估计要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。种估计要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。返回目录2-2 2-2 测量平差的数学模型测量平差的数学模型 一、条件平差法一、条件平差法 二、间接平差法二、间接平差法 三、附有参数的条件平差法三、附有参数的条件平差法 四、附有限

13、制条件的间接平差法四、附有限制条件的间接平差法 五、平差的随机模型五、平差的随机模型返回目录 在日常生活和科学技术领域中，时常见到许多模型，在日常生活和科学技术领域中，时常见到许多模型，一般可将其分为两大类，一类是将实物尺寸放大或缩小而一般可将其分为两大类，一类是将实物尺寸放大或缩小而得的模型，称为实物模型；另一类是用文字、符号、图表得的模型，称为实物模型；另一类是用文字、符号、图表或者对研究的对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它或者对研究的对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在联系的模型。前者称为的某种特征或内在联系的模型。前者称为模拟模型模拟模型，后者，后者称为称为数学模

14、型数学模型。总称为。总称为抽象模型抽象模型。 在测量工程中，涉及的是通过观测量确定某些几何量在测量工程中，涉及的是通过观测量确定某些几何量或物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数或物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数学模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同，学模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同，它还要考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以它还要考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研究任何平差方法时必须同时予以考虑。究任何平差方法时必须同时

15、予以考虑。 函数模型是描述观测量与待求量间的数学函数关系的模函数模型是描述观测量与待求量间的数学函数关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。随机模型是描型，是确定客观实际的本质或特征的模型。随机模型是描述观测量及其相互间统计相关性质的模型。建立这两种述观测量及其相互间统计相关性质的模型。建立这两种 返回目录 返回本节 模型是测量平差中最基本而首先考虑的问题。模型是测量平差中最基本而首先考虑的问题。 对于一个实际平差问题，可建立不同形式的函数模型，对于一个实际平差问题，可建立不同形式的函数模型，与此相应，就产生了不同的平差方法。函数模型分为线性与此相应，就产生了不同的平差方法。函数模型分为

16、线性函数模型和非线性函数模型两类。测量平差通常是基于线函数模型和非线性函数模型两类。测量平差通常是基于线性函数模型的，当函数模型为非线性形式时（例如性函数模型的，当函数模型为非线性形式时（例如2-1-32-1-3式），总是将其用台劳公式展开，并取其一次项化为线性式），总是将其用台劳公式展开，并取其一次项化为线性形式。下面简述各类基本平差方法的线性函数模型和随机形式。下面简述各类基本平差方法的线性函数模型和随机模型，总称为模型，总称为数学模型数学模型。一、条件平差法一、条件平差法 以条件方程为函数模型的平差方法，称为以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法条件平差法。 现以图现以图2-22

17、-2所示水准网为例，说明条件平差的函数模型。图所示水准网为例，说明条件平差的函数模型。图中中A A为已知其高程的水准点，为已知其高程的水准点，B B、C C、D D均为未知点。网中均为未知点。网中观测向量的真值为观测向量的真值为 ， 为了确定为了确定B B、C C、D D三点的高程，其必要观测数（即必要元三点的高程，其必要观测数（即必要元素）素）t=3t=3，故多余观测数，故多余观测数r=n-t=3r=n-t=3。应列出。应列出3 3个线性无关的条个线性无关的条件方程，它们可以是件方程，它们可以是返回目录 返回本节ThhhhhhL6543211 ,6则上式为则上式为 （2-2-12-2-1）

18、又如在图又如在图2-1ABC2-1ABC中，观测了三个内角，多余观测中，观测了三个内角，多余观测r=n-tr=n-t=2-2=1=2-2=1，存在条件方程为，存在条件方程为令令返回目录 返回本节0)(0)(0)(643365223211hhhLFhhhLFhhhLF1011001100100001116, 3A01 ,66, 3LA0180321LLL 111 3, 1ATLLLL3211 , 31800A 则上式为则上式为 （2-2-22-2-2） 一般而言，如果有一般而言，如果有n n个观测值，个观测值，l l个必要观测，则应列个必要观测，则应列出出r=n-tr=n-t个条件方程，即个条件

19、方程，即 （2-2-32-2-3） 如果条件方程为线性形式，可直接写为如果条件方程为线性形式，可直接写为 （2-2-42-2-4） A0A0为常数向量，如在（为常数向量，如在（2-2-12-2-1）式中）式中 ，在，在（2-2-22-2-2）式中为）式中为-180-180。 将将 代入（代入（2-2-42-2-4）式，并令）式，并令 （2-2-52-2-5） 则（则（2-2-42-2-4）式为）式为 （2-2-62-2-6） （2-2-42-2-4）或（）或（2-2-62-2-6）式为条件平差的函数模型。）式为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多余观测数条件平差的自由度即为多余观测数r

20、 r，即条件方程的个数。，即条件方程的个数。返回目录 返回本节0oALA0)(LF1 ,1 ,01 ,rrnnrOALATOA0001 , 30 LL)(0AALW0WA二、间接平差法二、间接平差法 由由 2-12-1知，在一个几何模型中，最多只能选出知，在一个几何模型中，最多只能选出t t个独立个独立量，如果在进行平差时，就选定量，如果在进行平差时，就选定t t个独立量作为参数，那个独立量作为参数，那末通过这末通过这t t个独立参数就能唯一地确定该几何模型了。换个独立参数就能唯一地确定该几何模型了。换言之，模型中的所有量都一定是这言之，模型中的所有量都一定是这t t个独立参数的函数，个独立参

21、数的函数，亦即每个观测量都可表达成所选亦即每个观测量都可表达成所选t t个独立参数的函数。个独立参数的函数。 选择几何模型中选择几何模型中t t个独立量为平差参数，将每一个观测个独立量为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出量表达成所选参数的函数，即列出n n个这种函数关系式，个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，称为以此为平差的函数模型，称为间接平差法间接平差法，又称为，又称为参数平参数平差法。差法。 在图在图2-32-3的的ABCABC中，观测量为其中三个内角中，观测量为其中三个内角 选定选定AA和和BB为平差参数，设为为平差参数，设为 ，即，即 因为通过这因为通过这t=2

22、t=2个参数可以唯一地确定该三角形的形状。个参数可以唯一地确定该三角形的形状。将每一个观测量均表达为这两个平差参数的函数，将每一个观测量均表达为这两个平差参数的函数，返回目录 返回本节 TLLLL3211 , 3TXXX211 ,221XX 和 由图知由图知 （2-2-72-2-7） 方程的个数等于观测值的个数。方程的个数等于观测值的个数。 一般而言，如果某平差问题有一般而言，如果某平差问题有n n个观测值，个观测值，t t个必要观测个必要观测值，选择值，选择t t个独立量作为平差参数个独立量作为平差参数 ，则每个观测量必定可，则每个观测量必定可以表达成这个以表达成这个t t个参数的函数，即有

23、个参数的函数，即有 （2-2-82-2-8） 如果这种表达式是线性的，一般为如果这种表达式是线性的，一般为 例如，在（例如，在（2-2-72-2-7）式中）式中 返回目录 返回本节1802132211XXLXLXL1 ,tX)(1 ,XFLn1 ,1 ,1 ,nttnndXBLTLLLL321TXXX21 将将 代入（代入（2-2-92-2-9）式，并令）式，并令 l=L-d (2-2-10)(2-2-10) 则有则有 （2-2-112-2-11） 考虑考虑E E（ ）=0=0，上式也可写成，上式也可写成 （2-2-122-2-12） 以上的（以上的（2-2-92-2-9）或（）或（2-2-1

24、12-2-11）式就是间接平差的函数模）式就是间接平差的函数模型。型。 尽管间接平差法是选了尽管间接平差法是选了t t个独立参数，但多余观测数不个独立参数，但多余观测数不随平差不同而异，其自由度仍是随平差不同而异，其自由度仍是r=n-tr=n-t。返回目录 返回本节111001B18000d LLlBX XBlE)(三、附有参数的条件平差法三、附有参数的条件平差法 设在平差问题中，观测值个数为设在平差问题中，观测值个数为n n，t t为必要观测数，为必要观测数，则可列出则可列出r=n-tr=n-t个条件方程，现又增设了个条件方程，现又增设了u u个独立量作为参个独立量作为参数，而数，而0ut0

25、ut，每增设一个参数应增加一个条件方程。以，每增设一个参数应增加一个条件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有参数附有参数的的条件平差法条件平差法。 例如，在图例如，在图2-32-3的的ABCABC中，中， 观测量为三个内角，观测量为三个内角， ，选择，选择AA为平差参数，为平差参数，此时，此时，r=n-t=2-2=1r=n-t=2-2=1，有一个条件方程，由于增加了一个参，有一个条件方程，由于增加了一个参数数 ，应再增加一个条件方程。现列出如下，应再增加一个条件方程。现列出如下 令令 返回目录 返回本节TLLLL321X, 00180

26、1321XLLLL018010,0011110ABA 则上式可写成则上式可写成 （2-2-142-2-14） 一般而言，在某一平差问题中，观测值个数为一般而言，在某一平差问题中，观测值个数为n n，必要，必要观测数为观测数为t t，多余观测数，多余观测数r=n-tr=n-t，再增选，再增选u u个独立参数，个独立参数，0ut0utut个参数，其中个参数，其中包含包含t t个独立参数，则多选的个独立参数，则多选的s=u-ts=u-t个参数必是个参数必是t t个独立参数个独立参数的函数，亦即在的函数，亦即在u u个参数之间存在着个参数之间存在着s s个函数关系，它们是个函数关系，它们是用业约束参数

27、之间应满足的关系。因此，在选定用业约束参数之间应满足的关系。因此，在选定utut个参数个参数进行间接平差时，除了建立进行间接平差时，除了建立n n个观测方程外，还要增加个观测方程外，还要增加s s个个约束参数的条件方程，故称此平差方法为约束参数的条件方程，故称此平差方法为附有限制条件的附有限制条件的间接平差法。间接平差法。 一般而言，附有限制条件的间接平差法可组成下列方程：一般而言，附有限制条件的间接平差法可组成下列方程： （2-2-192-2-19） （2-2-202-2-20） 线性形式的函数模型为线性形式的函数模型为 （2-2-212-2-21） （2-2-222-2-22） 该平差问题

28、的自由度该平差问题的自由度r=n-(u-s)r=n-(u-s)。返回目录 返回本节)(1 ,1 ,unXFL 0)(1 , Xs1 ,1 ,1 ,nuunnlXB1 ,1 ,1 ,ssxuusOWXC五、平差的随机模型五、平差的随机模型 对于以上四种基本平差方法，最基本的数据都是观测对于以上四种基本平差方法，最基本的数据都是观测向量向量 ，进行平有效期时，除了建立其函数模型外，还要，进行平有效期时，除了建立其函数模型外，还要同时考虑到它的随机模型，亦即观测向量的协方差阵：同时考虑到它的随机模型，亦即观测向量的协方差阵： （2-2-232-2-23） 式中式中D D为为L L的协方差阵，的协方差

29、阵，Q Q为为L L的协因数阵，的协因数阵，P P为为L L的权阵，的权阵，Q Q与与P P互为逆阵，互为逆阵， 为单位权方差。以上各种平差方法的函为单位权方差。以上各种平差方法的函数模型连同（数模型连同（2-2-232-2-23）式中的随机模型，就称为平差方法）式中的随机模型，就称为平差方法的数学模型。在进行平差计算之前，必须同时具备其函数的数学模型。在进行平差计算之前，必须同时具备其函数模型和随机模型，前者可以按上述介绍的方法建立，后者模型和随机模型，前者可以按上述介绍的方法建立，后者则须知道则须知道D D，Q Q或或P P中之一。一般情况下，观测向量的协方中之一。一般情况下，观测向量的协

30、方差阵差阵D D在平差前都是未知的，通常是按第二章中介绍的方在平差前都是未知的，通常是按第二章中介绍的方法估计确定，称为先验协方差。法估计确定，称为先验协方差。 可通过平差计算求出其可通过平差计算求出其估值估值 ，然后求得，然后求得D D的估值：的估值： （2-2-242-2-24）返回目录 返回本节1,20,20,nnnnnnPQDQD202020201 ,nL2-3 2-3 函数模型的线性化函数模型的线性化 在各种平差中，所列出的文件方程或观测方程，有的在各种平差中，所列出的文件方程或观测方程，有的是线性形式，也有的是非线性形式。在进行平差计算时，是线性形式，也有的是非线性形式。在进行平差

31、计算时，必须首先将非线性方程按台劳公式展开，取至一次项，转必须首先将非线性方程按台劳公式展开，取至一次项，转换成线性方程。换成线性方程。 四种基本平差方法的一般形式的函数模型为（四种基本平差方法的一般形式的函数模型为（2-2-32-2-3）、）、（2-2-82-2-8）、（）、（2-2-152-2-15）和（）和（2-2-192-2-19）式。如果是非线性形式，）式。如果是非线性形式，就需要将其线性化。就需要将其线性化。 设有函数设有函数 （2-3-12-3-1） 为了线性化，取为了线性化，取 的充分近似值的充分近似值XoXo，使，使 （2-3-22-3-2） 同时考虑到同时考虑到 （2-3-

32、32-3-3） 均要求是微小量，故在按台劳公式展开时可以略去均要求是微小量，故在按台劳公式展开时可以略去二次和二次以上的项，而只取至一次项，于是有二次和二次以上的项，而只取至一次项，于是有返回目录 ),(1 ,1 ,1 ,uncXLFF XxXXO LL 若令若令 （2-3-42-3-4） （2-3-52-3-5） 则函数的线性形式为则函数的线性形式为 （2-3-62-3-6） 根据函数线性化过程，很容易将上述四种基本平差方根据函数线性化过程，很容易将上述四种基本平差方法的非线性方程转换成线性方程。法的非线性方程转换成线性方程。 返回目录xXFLFXLFxXLFFXLXl|),(),(00,1

33、0000,212221212111,|XLncccnnXLncLFLFLFLFLFLFLFLFLFLFA00,212221212111,|XLucccuuXLucXFXFXFXFXFXFXFXFXFXFBxBAXLFF),(0条件平差法：条件平差法： 式中式中 令令 W=-FW=-F（L L） （2-3-72-3-7） 可得其函数模型为可得其函数模型为 A-W=0A-W=0 （2-3-82-3-8） 此即（此即（2-2-62-2-6）式。）式。间接平差法：间接平差法： 式中式中 令令 （2-3-92-3-9） 可得其函数模型为可得其函数模型为 （2-3-102-3-10） 此即（此即（2-3-

34、112-3-11）式。）式。 返回目录1 ,1 ,1 ,1 ,)()(rnnrrrOALFLF,|LLFA1 ,01 ,1 ,)()(ttnnnxBXFXFLL,|0XXFB)(0XFLllxB 附有参数的条件平差法：附有参数的条件平差法： ， 式中式中A A，B B即（即（2-3-42-3-4）、（）、（2-3-52-3-5）式，令）式，令 （2-3-112-3-11） 可得其函数模型为可得其函数模型为 （2-3-122-3-12） 此即（此即（2-2-182-2-18）式。）式。附有限制条件的间接平差法：附有限制条件的间接平差法： 由（由（2-2-192-2-19）、（）、（2-2-202

35、-2-20）式知，一般方程为）式知，一般方程为 因为因为返回目录1 ,1 ,1 ,01 ,1 ,),(),(cuucnncccOxBAXLFXLF),(01 ,XLFWc0WxBA0)()(1 ,1 ,1 ,XXFLsun0)(|)()(1 ,001 .0uusXsxCXxXXX 令令 （2-3-132-3-13） 考虑（考虑（2-3-102-3-10）式，其函数模型为）式，其函数模型为 （2-3-142-3-14） （2-3-152-3-15）此即（此即（2-2-212-2-21）和（）和（2-2-222-2-22）式。式中）式。式中 （2-3-162-3-16）返回目录)(0XWxlxB

36、0 xWxC00|212221212111,XusssuuXusXXXXXXXXXXC2-4 2-4 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理 平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生，不论平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生，不论何种平差方法，平差最终目的都是对参数何种平差方法，平差最终目的都是对参数 和观测量和观测量 （或（或 ）作出某种估计，并评定其精度。所谓评定精度，）作出某种估计，并评定其精度。所谓评定精度，就是对待估量的方差与协方差作出估计。所以，可统称为就是对待估量的方差与协方差作出估计。所以，可统称为对平差模型的参数进行估计。对平差模型的参数进行估计。一、参数估计及其最

37、优性质一、参数估计及其最优性质 由于多余观测而产生的平差数学模型，都不可能直接由于多余观测而产生的平差数学模型，都不可能直接获得唯一解。例如，条件平差的函数模型（获得唯一解。例如，条件平差的函数模型（2-2-62-2-6）式，条）式，条件方程个数为件方程个数为r r，而待估未知量，而待估未知量 有有n n个，个，nrnr， 不能唯一不能唯一确定。又如间接平差的函数模型（确定。又如间接平差的函数模型（2-2-12-2-1）式，方程个数为）式，方程个数为n n，待求参数，待求参数 和和 共有共有t+nt+n个，同样，个，同样， 和和 不能唯一确定。不能唯一确定。测量平差中的参数估计，是要在众多的解

38、中，找出一个最测量平差中的参数估计，是要在众多的解中，找出一个最为合理的解，作为平差参数的最终估计。为此，对最终估为合理的解，作为平差参数的最终估计。为此，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差所处理的计值应该提出某种要求，考虑平差所处理的 返回目录XXXL 是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻求，是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。这种型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。这种约束是用某种准则实现的，其中最广泛采用的

39、准则是最小约束是用某种准则实现的，其中最广泛采用的准则是最小二乘原理。二乘原理。 数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏性、一致性和有效性的要求，现简单引用如下：具有无偏性、一致性和有效性的要求，现简单引用如下：（1 1）无偏性无偏性 设设 为参数为参数 的估计量，如果估计量的数学期的估计量，如果估计量的数学期望等于参数，即望等于参数，即 （2-4-12-4-1） 则称则称 为为 的无偏估计量。否则估计量不具有无偏性。的无偏估计量。否则估计量不具有无偏性。（2 2）一致性一致性 满足概率表达式满足概率表达式 (2-4-2)(2-4-

40、2) 则称则称 为为 的一致估计量，其中的一致估计量，其中n n为子样容量，是任意小的为子样容量，是任意小的正数。正数。返回目录)(E1)(limPn 若估计量同时满足若估计量同时满足 （2-4-32-4-3） 则称则称 为为 的严格一致性估计量。严格一致性估计量一定的严格一致性估计量。严格一致性估计量一定是一致性估计量。是一致性估计量。（3 3）有效性有效性 若若 是是 的无偏估计量，具有无偏性的估计量的无偏估计量，具有无偏性的估计量并不唯一。如果两个无偏估计量并不唯一。如果两个无偏估计量 和和 ，具有，具有 （2-4-42-4-4） 则称则称 比比 有效，其中具有方差最小性的估计量，有效，

41、其中具有方差最小性的估计量， 即即 ，则，则 为为 的最有效估计量，称为最优估计量。的最有效估计量，称为最优估计量。 数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量必数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量必然是一致性估计量，所以测量平差中参数的最佳估值要求然是一致性估计量，所以测量平差中参数的最佳估值要求是最优无偏估计量。由于平差模型是线性的，最佳估计也是最优无偏估计量。由于平差模型是线性的，最佳估计也称为最优线性无偏估计。称为最优线性无偏估计。返回目录0)(lim0)(2EEn)()(21DDmin)(D12二、最小二乘原理二、最小二乘原理 在生产实践中，经常会遇到利用一组观测数据来估计

42、在生产实践中，经常会遇到利用一组观测数据来估计某些未知参数的问题。例如，一个作匀速运动的质点在时某些未知参数的问题。例如，一个作匀速运动的质点在时刻刻 的位置是的位置是 ，可以用如下的线性函数来描述：，可以用如下的线性函数来描述： （2-4-52-4-5） 式中式中 是质点在是质点在 时刻的初始位置，时刻的初始位置， 是平均速度，它是平均速度，它们是待估计的未知参数，可见这类问题为线性参数的估计们是待估计的未知参数，可见这类问题为线性参数的估计问题。对于这一问题，如果观测没有误差，则只要在两个问题。对于这一问题，如果观测没有误差，则只要在两个不同时刻不同时刻 和和 观测出质点的相应位置观测出质

43、点的相应位置 和和 ，由（，由（2-4-52-4-5）式分别建立两个方程，就可以解出式分别建立两个方程，就可以解出 和和 的值了。但是，的值了。但是，实际上在观测时，被观测的不是实际上在观测时，被观测的不是 而是而是 ， 是观测误差。是观测误差。 于是有于是有 这样，为了求得这样，为了求得 和和 ，就需要在不同时刻，就需要在不同时刻 来测定其位置，得一组观测值来测定其位置，得一组观测值 ，返回目录y ayaa0121y2yy yyyn,21nyyy,21 这时，由上式可以得到这时，由上式可以得到 （i=1,2,ni=1,2,n） （2-4-62-4-6） 若令若令 ， ， ， 则（则（2-4-

44、62-4-6）式为）式为 （2-4-72-4-7） 这是间接平差的函数模型。这是间接平差的函数模型。 如果将对应的如果将对应的 用图解来表示，则可作出用图解来表示，则可作出如图如图2-42-4所示的图形，从图中要以看出，由于存在观测误所示的图形，从图中要以看出，由于存在观测误差的缘故，由观测数据绘出的点差的缘故，由观测数据绘出的点观测点，描绘不成直观测点，描绘不成直线，某些线，某些“摆动摆动”。 这里就产生这样一个问题：用什么准则，来对参数这里就产生这样一个问题：用什么准则，来对参数返回目录,iiiynqnyyyY21,nnB111212,1 ,2Xnn211 ,YXBniyii, 2 , 1

45、,a 和和 进行估计，从而使直线进行估计，从而使直线 “ “最佳最佳”地拟合于地拟合于诸观测点。这里的诸观测点。这里的“最佳最佳”一词要以有不同的理解。例如，一词要以有不同的理解。例如，可以认为：各观测点直线最大距离取最小值时，直线是可以认为：各观测点直线最大距离取最小值时，直线是“最佳最佳”的；也可以认为，各观测点到直线的偏差的绝对的；也可以认为，各观测点到直线的偏差的绝对值之和取最小值时，直线是值之和取最小值时，直线是“最佳最佳”的，等等。在不同的的，等等。在不同的“最佳最佳”要求下，可以求得相应问题中参数要求下，可以求得相应问题中参数 和和 不同的不同的估值。但是，在解这类问题时，一般应

46、用的最小二乘原理，估值。但是，在解这类问题时，一般应用的最小二乘原理，按照最小二乘原理的要求，认为按照最小二乘原理的要求，认为“最佳最佳”地拟合于诸观测地拟合于诸观测点的估计曲线，应使诸观测点到该曲线的偏差的平方和达点的估计曲线，应使诸观测点到该曲线的偏差的平方和达到最小。到最小。 设观测值设观测值 的估值为的估值为 是观测值是观测值 的改正的改正数（或称残差），是数（或称残差），是 的估值，则由的估值，则由 可以写出可以写出 所谓最小二乘原理，就是要在满足所谓最小二乘原理，就是要在满足 （2-4-82-4-8） 的条件下解出参数的条件下解出参数 的估值的估值 ，若令，若令返回目录iayaiy

47、 iiiiyy,iyiiiay iiiya最小niniiiiya1122,a和a 若令若令 则上式也可写为则上式也可写为 （2-4-92-4-9） 式中式中 表示参数的估计向量，在上述例子中，表示参数的估计向量，在上述例子中， 。满足（满足（2-4-92-4-9）式中估计）式中估计 称为称为X X的最小二乘估计，这种求的最小二乘估计，这种求估计量的方法就称为最小二乘法。估计量的方法就称为最小二乘法。 从以上的推导看出，只要具有（从以上的推导看出，只要具有（2-4-62-4-6）式的线性关系的）式的线性关系的参数估计因此，这种估计方法在实践中被广泛地应用。参数估计因此，这种估计方法在实践中被广泛地应用。 测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最小二乘测