转子动力学中文讲稿

1、转子动力学刘占生2008.71.转子动力学基础1.1 转子在设备中的位置汽轮发电机组转子轴系转子在300MW汽轮机中的位置汽轮机低压转子转子在航空涡扇发动机中的位置转子在大型燃气轮机中的位置1.2 旋转机械中存在的转子动力力学问题及主要内容1.2.1 线性转子动力学 1.转子轴承系统临界转速 2.转子轴承系统不平衡响应 3. 转子轴承系统稳定性分析 4.轴承动力特性系数计算方法及实验方法研究1.2.2 非线性转子动力学 1.非线性环节的力学模型及系统加建模 2.非线性转子动力学方程的求解方法研究 3.非线性转子动力学方程的数值求解方法研究 4.转子轴承系统稳定性分析 5.汽弹耦合问题 6.故障

2、转子轴承系统动力学特性研究1.2.3 转子振动测量及旋转机械故障诊断1.3 THEJEFFCOTT MODEL:CRITICAL SPEEDS AND SYNCHRONOUS IMBALANCE RESPONSE the Jeffcott flexible motor model is illustrated in Figure 1.1,and consists of a flat disk supported by a uniform, massless, flexible shaft, which is supported at its ends by rigid frictionless

3、 bearings.1.1 The Jeffcott flexible-rotor modelThe X,Y,Z coordinate system is inertial, with Z the nominal axis of rotor rotation. The x,y,z system is fixed to the disk, and its origin is defined by the vector R relative to the X,Y,Z system.The mass center of the disk does not lie on the elastic axi

4、s of the shaft, and its position relative to the origin of the x,y,z system is defined by the vector a.The rotation of the x,y,z system relative to the X,Y,Z system is defined by the angle .The equations of motion for the system illustrated in Figure 1.1 can be stated from Newtons laws of motion asw

5、herec o ss in,s inc o s.XxyYxyaaaaaa. . .2. . .2. . . .,XXXXYYYYYXXYZZXXmRk Rfm am amRk Rfm am aJZm aRm aR(1.1)(1.2)Further, k is the shaft-stiffness coefficient, m is the rotor (disk) mass, and Jz is its moment of inertia about the z axis. The components of the external force vector are denoted by

6、fX,fY, and the component of the external moment vector along the z axis is MZ. An inspection of Eqs.(1.1) shows that transverse motion of the rotor can be readily excited by the components of the external force vector fX,fY.Typically, however, the dominant source of rotor excitation is the vector a,

7、 the rotor imbalance vector. We are initially concerned with the response of the . .rotor R to the imbalance vector a for constant running speed; i.e., =0. =, =t. The dimensionality of the governing equations (1.1) can be reduced by introducing the following complex variables:,XYXYxyRRjRAajaaajato o

8、btain(1.3).2222,j tkmRRaeA()(),jtRBaeBAThe steady-state solution for is:where22221(/)1()B For =, the following particular solution results:(/2)/222.jtjttRaeAe(1.4)(1.5)(1.6)(1.7)In words, these solutions show that the displacement vector R and imbalance vector a are in phase for a running speed whic

9、h is much less than the natural frequency . For much greater then , the two vectors are 1800 out of phase. For=, the amplitude of R grows linearly with time, and its phase is 900 behind a. Figure 1.2 illustrates these conditions.A physical interpretation of the above results is that a rotors motion

10、is harmonic when viewed from the side and a circular orbit when viewed axially. The frequency of this motion coincides with the running speed and is said to be “synchronous.” if the rotors running speed is increased slowly from amplitude diverges linearly with time, and this speed is customarily cal

11、led the “critical speed” of the rotor. The steady-state response of the rotor above its critical speed is also synchronous. For the Jeffcott model, the rotors critical speed is indistinguishable from its natural frequency; however, as we shall see in Section 1.4, this is not generally the case.The e

12、ffect of external (viscous) damping on the Jeffcott model of Eq.(1.1) will now be considered. The force due to external viscous damping is defined by .and is seen to be proportional to the velocity of the rotor in the X,Y,Z system R, but with opposite direction. The addition of external viscous damp

13、ing to Eq.(1.1) yields.(),(1.8)deexyeFc I RJ Rc R.2.2.,(1.9).XeXXXXYYeYYYYXZZYXXYmRc RkRfmamamRc RkRfmamaJMma Rma RThe constant-running-speed version of this equation, comparable to Eq.(1.4), is.2222,(1.10)j teRRRaeA where2.(1.11)ecem ()|() |,(1.12)jtjRCaeCAeThe steady-state solution iswhere22222222

14、2()42|() |,tan.(1.13)eeC In physical terms, the rotor is in phase with the imbalance vector at low running speeds(/1), and is 900 behind the imbalance vector at the rotors undamped critical speed (=). A comparison of Eqs. (1.6) and (1.13) shows that external damping causes the rotors motion to be bo

15、unded at the critical speed. Figure 1.3 illustrates the solution of Eq.(1.12) for various damping factorse.1.4 用欧拉角描述刚体绕空间某一点转动速度.y .1y圆盘绕其中心运行的绝对角速度坐标系O11的转动角速度为在O11坐标轴上的投影11.cossinsinyyy 坐标系O 和坐标系O11的夹角为，其方向余弦为cossin0sincos0001A 111111cossinsincosA 在O坐标轴上的投影.coscossinsincoscossinyyy 或1.5 圆盘的动量矩动量矩

16、G在O坐标轴上的分量为GG iG jG kJiJjJk一般情况下，转动惯量J=J=Jd称为直径转动惯量；转动惯量J=Jp称为极转动惯量。()dpGJijJk1.6 圆盘的动能1212222122222221122()()(cos)(sin2sin )ddpdypyyTGGGGJJJJJ 当和y较小时，sinx，cos1，则22212()2)dxyppyxTJJJ 1.7 圆盘绕其中心的转动方程及陀螺力矩的产生原理22222122()()2)mdxyppy xTxyJJJ (),1,2,.jjjdTTQjndtqq1234,xyqx qy qq11 11 422 22 333 23 344 14

17、 4;yxxyQkxkQkykQkykQkxk 应用Lagrange方程建立转子系统动力学方程轮盘动能为广义坐标为广义力为11142223323341440 0000 000000 0000000000 000 000000 000 0 0000 xpxxdypyydxxxmkkyyymkkJJkkJJkk 11142223323341440000yxdxpyxdypxymxkxkmykykJJkykJJkxk单盘转子系统动力学方程矩阵形式单盘转子系统动力学方程111433322322414400000 0 000000000 000000000 000000000 0 0000 xpxxdy

18、pyydxxxmkkJJkkyyymkkJJkk 为了方便，动力学方程一般写成如下形式0200400600800100012001400160018002000F1241244246249251253255257259260262F214411652189121552442274830693403374741004459B1-241-238-234-231-227-223-218-213-208-203-197B2-1441-1258-1103-973-866-778-706-647-598-557-524某转子临界转速计算结果一阶正进动一阶反进动二阶正进动二阶反进动1e61e71e81e91

19、e101e111e121e131e14102103104105考虑陀螺力矩*前三阶正进动临界转速与支撑刚度关系刚度临界转速（rpm）1.8 某转子1支承与临界转速的关系支承刚度（N/m）1阶正进动r/min)2阶正进动r/min)3阶正进动r/min)1.00E+06288.2815598.50817703.535.00E+06643.8391337.91317710.531.00E+07909.15421891.40417719.255.00E+072008.7524216.95817788.221.00E+082799.3035941.86517872.55.00E+085616.3571

20、2883.8118497.981.00E+097082.6217165.5719546.375.00E+099535.6319683.1432582.571.00E+1010010.0219976.6234589.835.00E+1010425.9620240.9636377.241.00E+1110480.242027636632.065.00E+1110524.0220304.3736841.651.00E+1210529.5220307.9436868.22支承刚度（N/m）1阶正进动(r/min)2阶正进动(r/min)3阶正进动(r/min)1.00E+06288.28538.461

21、7075.971.00E+07909.151701.7217094.661.00E+082799.055348.3717275.581.00E+097051.5015859.3518604.061.00E+109820.5219571.1126637.111.00E+1110242.4419746.6427663.651.00E+1210286.2419764.0127777.97不考虑陀螺力矩时某低压转子临界转速与支承刚度的关系考虑陀螺力矩时某低压转子临界转速与支承刚度的关系1.9 某转子2支承与临界转速的关系1e61e71e81e91e101e111e121e131/p>

22、105考虑陀螺力矩*前三阶正进动临界转速与支撑刚度关系刚度临界转速（rpm）2.滑动轴承动力学特性2.1 轴承结构轴承结构 图2.1 轴承及其计算坐标 h=C+ecos(-)2.2 轴承平衡半圆轴承平衡半圆33211()()12122hphphhRzzt2.3 Reynolds方程方程R-轴颈半径（m）p-油膜压力（N/m2）-润滑油粘度（Ns/m2）-轴瓦角坐标（弧度）-轴承偏位角z-轴瓦轴向坐标（m）C-轴承半径间隙t-时间（s）基本假设：(C/R)21，油膜压力沿油膜厚度方向不变油的流动是层流，CRe/R0(i=1,2,n)。（2）所有特征根具有负实部的必要条件是，方程(4.53)的所有

23、系数ai0(i=1,2,n) 。(4.53)4.2 非线性转子系统动力学的数值求解方法非线性转子系统动力学的数值求解方法4.2.1 非线性动力方程的形式非线性动力方程的形式 非线性转子轴承系统的动力学方程为 ),(tqqRqKqDqM 式中M、D和K分别为结构的质量、阻尼、和刚度矩阵， 为载荷列矢量， 分别为加速度、速度和位移列矢量。( , , )R q q t , , qqq tq 4.2.2 中心差分法中心差分法 中心差分法属于显式差分法，其差分格式为 ttttttqqqtq212 tttttqqtq21(4.54)(4.55)(4.56) 和 在t时刻上满足方程(4.54), tq ),

24、(tqqRqKqDqMttttt (4.57)将式(4.55)和(4.56)代入式(4.57)中可得 22211211()()()22ttttttMD qRKM qMD qttttt(4.58)从推导过程可看出(1) 的解是利用t时刻的平衡条件，该积分过程为显式积分法。(2) 在求解 时不须对刚度矩阵K进行三角分解。在应用此法时一般采用集中质量矩阵，而阻尼矩阵也通常为对角形式，这样，在运用式(4.58)时，就不需要对等号右端的系数矩阵 进行三角分解，从而可以节省大量计算时间。(3) 加速度和速度的差分格式都具有t2阶的精度。(4) 中心差分法所要求的步长为ttqttq )211(2DtMtnc

25、rTtt 其中Tn为有限元集合体的最小周期，n为单元系统的阶，tcr为临界时间步长。周期Tn事实上为系统最大特征值的倒数。 时间步长t小于临界时间步长tcr的差分格式称为条件稳定的。若tcr大于临界时间步长，则积分是不稳定的。 中心差分法是一种条件稳定的方法，这一缺点导致了它在使用上具有很大的局限性。首先是时间步长选择困难，当矩阵阶数较高时，而且原系统的质量分布不均匀，将使得M矩阵的个别对角线上的元素很小，从而使系统的高阶特征趋于无穷大，Tn趋于零。所以，仅因为一个十分小的质量元素，就会导致计算时间的大大增加。4.2.3 Newmark数值积分数值积分 法法 Newmark数值积分方法可以获得

26、较好的精度和计算速度，且无条件收敛。其差分格式为tqqqqtttttt 1 221tqqtqqqttttttt 其中和是根据积分的精度和稳定性的要求来确定的两个参数。 t+t时刻的平衡方程为ttttttttRqKqDqM| (4.59)(4.60)(4.61) 由式（4.60）通过 求出 ，然后把 代入式（4.59）中，就得到 和 的方程，它们仅仅通过位移 来表示。把这两个关于 和 的关系式代入式（4.61）中，求出 ，然后利用式（4.59）和式（4.61）就可以算出 和 。最终方程为ttqttq ttq ttq ttqttqttqttq ttqttqttq 221111121(2 )2ttt

27、tttttttttttKMDqKqttRMqqqtttDqqqRt tttttttqqtqqtq 121112ttttttqtqtqq )1(4.62)(4.64)(4.63)从上面的推导过程和差分格式可以看出：(1).Newmark法是隐式积分法，因为刚度矩阵 是未知位移矢量 的系数矩阵，必须求解式（4.72）才可得到 ；(2).Newmark法不需要特别的初始过程，因为在t+t时刻的位移、速度和加速度只是利用在t时刻的量来表示；(3).可以证明，Newmark法当0.5和0.25(+0.5)2时，积分格式是无条件稳定的。一般取=0.5和=0.25。 在大型通用程序中， , 的缺省值也分别为

28、0.5和0.25；(4).由于Newmark法是无条件稳定的，所以避免了t选取上的麻烦。同样，由于每一步都必须对原方程进行求解，尽管对K和M的三角分解只需进行一次，但每一步都必须进行回代。所以计算时间比有条件稳定的中心差分法长得多。 Kttqttq4.2.4 Wilson-数值积分数值积分 法法 Wilson-法是线性加速度方法的扩展。两者求解过程完全一致，只是差分格式不同而已。其差分格式为)(tttttqqtqq )(22ttttttqqtqqq )(612132tttttttqqtqqqq 其中为时间t至t+t的时间变量，可根据积分的稳定性和精度进行选取。威尔逊法具有以下一些特点:(1)

29、Wilson-法是一个隐式积分法；(2) Wilson-法不需要特别的初始过程；(3) Wilson-法当1.37时为无条件稳定的差分格式。一般情况下，取 =1.4。在许多大型通用程序中， 的缺省值都为1.4；(4) 若t选得较大,但结果仍是稳定的,影响的只是精度。4.2.5 精细积分方法精细积分方法 多自由度非线性转子系统，几乎无法进行解析求解，只能通过数值计算来分析其动力响应性态。虽然已有的直接积分方法，例如：Newmark法、Wilson-法、Runge-Kutta法等，能对这些系统进行某阶精度的数值计算，但还存在一定的局限性，例如Newmark法、Wilson-法精度较低，要求在每一积

30、分步长内求解一次隐式方程组，需要小积分步长来精确反映外载荷随时间变化的规律；Runge-Kutta无法处理一些奇异或病态矩阵的问题等。 结构的动力方程( )(0)(0)XXXtXXMGKr(n阶)4.2.6 利用打靶法求解周期激励系统的周期解利用打靶法求解周期激励系统的周期解 4.2.7 周期解的延拓周期解的延拓伪弧长算法伪弧长算法 非线性动力学中复杂性现象的发现及分岔和混沌理论的建立，被认为是当代基础科学的重大成就之一，它使得非线性科学有了可靠的理论保证。非线性科学的发展正在促使整个现代知识体系成为新体系，而动力系统、分岔、混沌和奇异形理论方法，广泛地应用于振动、自动控制、系统工程、机械工程

31、等领域的非线性问题的研究，并且对经典力学、物理学、固体力学、流体力学、化学工程、生态学和生物医学，乃至一些社会科学部门的研究和发展都产生深远的影响。4.3 非线性动力学的分析方法非线性动力学的分析方法4.3.1相平面上奇点的性质相平面上奇点的性质 设单自由度二阶系统的运动微分方程为),(),(21yxfyyxfx 设奇点位于坐标原点x=y=0，把函数f1,f2在远点附近展开为Taylor级数。为了方便，令x1=x，x2=y并且(4.70)1112111221222212( ,),( ,)xx xaaXaaaxx x 其中 在xj=0(i,j=1,2)处的值，1(x1,x2),2(x1,x2)为

32、二次方以上的函数项，则方程(4.70)可写为jiijxfa aXX Poincar指出，若矩阵非奇异，则可保证，当X趋于零时，作为高阶无穷小将更快地趋于零，故方程(4.71)与线性化方程(4.71)aXX(4.71)有相同的奇点，且奇点的分类准则完全由系数矩阵的特征值决定。系数的特征方程为02qp其中p=a11+a22，q=a11a22-a12a21，特征根为)4(2122,1qpp设=p2-4q二次方程根与系数的关系为qp2121(1) 0，此时有两个不同的实根。当q0时，两根同号，又若p0，是不稳定的结点。当q0的曲线上，为两相等实根。当p0时，为不稳定的结点。(3) 0，此时为共轭复根。

33、当p0时，为不稳定的焦点，p=0为中心。在参数平面(q,p)上，奇点的分布情况如下图所示鞍点鞍点稳定焦点稳定焦点不稳定结点不稳定结点稳定结点稳定结点不稳定焦点不稳定焦点鞍点鞍点4.3.2中心流形与惯性流形中心流形与惯性流形 对于维数很高的系统，可采用惯性流形的概念进行分析研究。它是全局吸引的有限维不变子流形，其基本思想是将相空间分解为主动模和被动模。通过投影，不变子流形上的动力学可描述为关于主动模系数的常微分方程。而被动模的性态完全由主动模的演化确定。4.汽轮发电机组的汽流激振及其稳定性 4.1 汽流激振的类型汽流激振的类型 发动机气流激振力通常来自三个方面：第一是密封流体激振力。一般认为该激

34、振力是由于转子在轴封和隔板汽封腔室中偏置时，蒸汽周向存在不均匀的压力分布引起的。由于密封腔中的汽流有旋转，使周向压力分布的变化与转子和密封腔之间的间隙变化不完全对应，最高压力点滞后密封腔最小间隙一定角度。这样，流体作用在转子上的力可分解出一个与偏置方向垂直的切向力，该切向力将激励转子涡动。当一个振动周期内系统阻尼消耗的能量损失小于该切向力所做的功时，就会诱发转子自激振动。第二是叶顶间隙激振力。它是汽轮机叶轮在偏心位置时，由于叶顶间隙沿圆周方向分布不均，蒸汽在不同间隙位置处的泄漏量不均匀，沿周向各叶片效率和压力分布不同，使得作用在各个位置叶轮的圆周切向力不同，就会产生一作用于叶轮中心的横向力（合

35、力），也称为间隙激振力。与前者一样，该横向力使转子运动趋于不稳定。第三是作用在转子上的静态蒸汽力。由于高压缸进汽方式的影响，高压蒸汽产生一作用于转子的蒸汽力，它一方面可影响轴颈在轴承中的位置，改变了轴承的动力特性（因轴承载荷变化）而造成转子运动失稳，另一方面可使转子在汽缸中的径向位置发生变化，引起通流部分间隙的变化。在喷嘴调节汽轮机中该蒸汽力是由于部分进汽引起的，通常考虑到汽缸温差方面的因素，喷嘴调节模式运行时首先开启控制下部180范围内的喷嘴的调节汽阀，即下缸先进汽。而对于引进型300MW、600MW汽轮机由于采用双层钢结构，并且两层缸夹层有冷却蒸汽，启动时，上下缸温差不大，采用上缸先进汽的

36、方式启动。调节级喷嘴进汽的非对称性，引起不对称的蒸汽力作用在转子上，在某个工况其合力可能是一个向上抬起转子的力，从而减少了轴承比压，导致轴瓦稳定性降低。此力的大小和方向受运行中各调门的开启顺序、开度和各调门喷嘴数量的影响。4.2 密封动力特性模型密封动力特性模型4.2.1 Thomas-Alford模型模型 Thomas和Alford基于叶轮的局部效率损失提出了间隙激振的概念，认为间隙气体激振力是由于转子在间隙中偏置时，间隙周向存在不均匀的压力所引起的，在习惯上该激振力称为Alford力，同时他们还分别给出了计算Alford力的公式。之后Thomas将Alford力和动力特性系数与转子的振动联

37、系起来，提出了密封力的8系数模型，其中包括两个主刚度k1，两个交叉刚度k2，两个主阻尼项c1，及两个交叉阻尼项c2,如下式所示。8个刚度阻尼系数(或近似4个刚度阻尼系数)可通过流体计算软件或本章后面介绍的控制体模型采用数值计算方法求得。下式，交叉刚度k2和主阻尼项c1是影响密封-转子系统稳定性的因素，交叉刚度k2越大，密封-转子系统的稳定性越差，主阻尼项c1越大，密封-转子系统的稳定性越好。yxccccyxkkkkFFyx12211221(4.80)4.2.2 Black-Childs模型模型 从式（4.80）可以看出，Thomas-alford模型是一个线性模型，在描述转子密封系统大涡动状态

38、下具有的非线性特点时具有很大的局限性。同时模型中忽略了密封中的周向速度。Black采用短轴承理论，推出了短密封动力系统的密封力理论公式，如式(4.81)所示yxmmyxccccyxkkkkFFffyx 12211221(4.81)各刚度系数为：2221302131,42kTkT 各阻尼系数为：2211322323,fcT cTmT (4.82)其中20321,12RPllTv232341112.3323.33 11.3312 2323420.33 12111 22 11.3312 8/3241871079.0avRRRa2,vaRvRR p是密封轴向压降，是密封气流周向进口损失系数，l是密封长

39、度，是径向密封间隙，v是密封腔中流体轴向平均流速，R是密封半径，Ra是轴向流动雷诺数，Rv是周向流动雷诺数，是摩擦因子，是转子自转角速度，是摩擦损失梯度系数，是流体粘度系数。(4.83) Black的结果在轴向雷诺数小于2104范围内已被实验证实，之后Childs和Nelson等人采用Hirs紊流方程对密封腔中的流场作了详细的讨论，Childs用摄动法求得了短密封动力系数的解析公式仍为(4.82)。但(4.83)中各公式需修改为0201212mEEBE61221221E612122120001mavmaRRRn其中20212,2 121vavaRmRBERR n0和m0是两个经验系数，由试验和

40、具体密封结构决定。3，Ra，Rv的定义同前。Nordmann和Dietzen则采用差分方法作了数值计算，虽然在计算模式中引入了更多的影响因素，但没有解析表达式。4.2.3 Muszynska模型模型 1987年， Muszynska和Bently在大量实验的基础上提出了Muszynska模型，其特点是，密封激振力对转子的扰动反力是以某一个固定角速度绕轴颈旋转的，且该反力在旋转坐标中可由下面数学表达式(5.6)描述，密封激振力的旋转效应是诱发转子失稳的主要因素。22222020 xfffyfffFDmmKmDxxxFmDmDKmyyy 式中K，D，mf体现了流体对转子扰动运动的刚度，阻尼和惯性效

41、应。实验和数值研究结果证实：，K和D均为扰动位移x，y的非线性函数，即(4.84)220011,1,32nnKKeDDen01,01beb式中 为转子相对偏心位移，c为密封间隙。一般01/2，K0，D0以及mf可以用Childs的环压密封动力系数公式(4.83)结合(4.85)计算。cyxe2203001323,fKDT mT 在式(4.84)中，交叉刚度D构成对转子的切向循环推动力是转子失稳的主要根源。由此可见，较大的流体阻尼不利于转子稳定，而降低则可提高其稳定性，如利用反旋流结构可以防止密封失稳，这已为实验证实并得到应用,这也说明Muszynska模型正确反映了密封的动力学基本特征。更重要

42、的是，式(4.84)已不限于适用转子在中心位置处的小位移情况，而是可以描述较大位移(相对)时的非线性密封力。4.2.4 Muszynska模型的修正模型的修正 由于Muszynska模型能够较好反映Alford力的某些非线性特征，所以当前在分析转子密封系统稳定性时主要采用的是该模型。在Mussynska密封力模型中，有4个待确定的变量系数：K，mf，D。这4个变量系数由：，m0，n，n0，b确定，这6个系数是关于损失方面的经验系数，它们是确定Mussynska模型的关键，以往这些系数只能根据实验及实际经验来确定，这往往造成系数的不确定性，它很难与密封腔实际结构联系起来。采用三维定常流场计算方法确定静态下的 与 之间的一系列关系，从而确定若干个关于6个系数的方程组，采用最小二乘法确定最佳的6个系