极限与连续2014考研

1、第一讲 极限与连续一 内容提要1函数 （1）定义；（2）性质（有界性，单调性，奇偶性，周期性）；（3）复合函数；（4）反函数；（5）隐函数；（6）初等函数等。注意函数（分段函数）的复合运算、反函数的计算、函数符号的计算。2极限（怎么求极限，见后面归纳的常用方法） （1）数列极限的定义；（2）函数极限的定义；左、右极限； ；（3）极限的性质（注意极限的保号性，数列与子列的收敛情况）；（4）无穷小量与无穷大量：定义；关系；无穷小量比较；定义：设与为在同一变化过程中的两个无穷小量，（I）若，就说是比高阶的无穷小量，记为；（II），就说是比低阶的无穷小量；（III）若，就说是比同阶的无穷小量；（IV）

2、若，就说与是等价无穷小量，记为。注意两个无穷小量的阶的比较是通过计算极限来进行的。 无穷小量与极限存在的关系；（5）两个极限存在准则与两个重要极限；（6）极限的四则运算与复合运算（注意有理分式在自变量趋于无穷大时的极限）；（7）洛必达法则在极限运算中的应用；（各种未定式是怎么用的）3连续与间断（1）连续的定义：设在的某邻域内有定义，若，就称函数在 点处连续。在点连续在点既左连续，又右连续。（2）开（闭）区间上连续；（3）连续函数的运算、初等函数的连续性；（4）闭区间上连续函数的性质；（应用零点定理来找方程的根）（5）函数的间断点及分类：，为无穷间断点；振荡不存在，为振荡间断点；，为可去间断点；

3、 ，但两者存在，为跳跃间断点。(应该从左、右极限存在否，相等否去判别间断点类型)二常考的知识点及题型 常考的知识点：函数及其表示方法；极限、左极限与右极限；连续、左连续与右连续的概念与性质；函数间断点类型的判断；求极限的方法；运用闭区间上连续函数的性质证明命题（如证明方程根的存在性）等。 题型：函数记号的运算；分段函数的运算；简单反函数的定义域及表示；考查函数在一点处连续或极限存在的充要条件；判别函数的间断点及类型；无穷小量的比较；判断函数的性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；利用闭区间上连续函数的性质证明命题，主要是方程根的存在性；求极限（利用定义、等价无穷小、极限的运算法则、极限存在准

4、则、两个重要极限、函数连续性、罗比达法则、导数定义、定积分定义等）。三求极限的方法总结1约公因子法（约去趋于0或的公因子）例1。（约去趋于0的公因子）解 例2。（约去趋于无穷大的公因子） 解 原式= 2分子、分母有理化例3。解：原式= 例4。解：原式=3等价无穷小量替换（注意：要等价的无穷小量；一般替换的是因子项） ； 等。例5。解：= 例6。（注意写法）解：原式= 4利用（注意，只要在取极限过程中）例7。解：原式= 5利用 （幂指函数的未定式，注意变形，如，只要在取极限过程中；，只要在取极限过程中。）例8。 例9。解：原式= 原式=例1008数三： 例1112数三：= 解 原式= = 原式=

5、例1210数三： 解 原式= 其中 原式= 例1312数三：计算解： 原式= 6利用两边夹法则例14设常数，求。解 原式=所以 7利用单调有界有极限例15设满足，证明（1）存在，并求极限；（2）计算。解：（1）从而 即：单调下降，而且有界，从而存在设 对两边求极限 （2） 8利用洛必达法则（注意有失效情况，注意结合等价无穷小量简化求导数）例16。 例17。解 原式= 原式= 例18。解 原式= 9利用左、右极限例19。解： 原式极限不存在10利用定积分的定义（在定积分一章复习）11利用函数极限求数列极限（函数极限的性质4）例20。解 原式= 12利用有界量乘无穷小量为无穷小量例21。解 原式=

6、 四、其它极限相关知识的考查例22时，与为等价无穷小量，求。 解 所以 例23：若求。 例24：，则 解 由 得到 例25。 解 原式= = 例：若则 解 例26：充分大时， 的大小关系为 例27：设，则（A）若发散，则发散 （B）若无界，则有界（C）若有界，则必为无穷小 （D）若无穷大，则为无穷小 例：对任意总有 ，且，则不一定存在 五连续与间断1函数的连续性例28 在处连续，求。解： 在处连续的充分必要条件 即： 。2间断点及分类例29的可去间断点个数。 解 所以 是可去间断点 所以 是可去间断点 所以 是可去间断点 所以 是无穷间断点 的可去间断点个数有3个例30：的可去间断点个数 解

7、所以 是无穷间断点 所以 是可去间断点 所以 是可去间断点的可去间断点个数有2个。 例31，求的间断点并说明类型。解： 所以是跳跃间断点例32设，求的间断点。解： 是无穷间断点 3闭区间上连续函数的性质主要是零点定理（介值定理）例33设在0，1上连续，证明存在，使得。证明 在0，1上连续 且 由零点定理知，至少存在一存在，使得。例34设在上连续，证明在内至少存在一点，使得常数。证明：因在上连续，从而在上连续，即在上存在最大值M和最小值m 有介值定理知，在内至少存在一点，使得即在内至少存在一点，使得常数。六、渐近线（三类）例35：曲线的渐近线条数为 2 解： 是一条水平渐近线 是一条铅直渐近线例36：曲线的渐近线条数为 3 解： 是一条水平渐近线 是一条铅直渐近线 是一条斜渐近线例37：求曲线的渐近线 解： 是一条铅直渐近线七、函数性质例38：函数在下列哪个区间内有界. （A） （B） （C） （D） 解 ： 选（A)例39： 设在内有定义，且， 则（A）必是的第一类间断点 （B）必是的第二类间断点（C）必是的连续点 （D）在点处的连续性与的值有关 练习：1，则 1 2 则= 解 3. （ ）。 A. 2 B. 0 C. D. 不存在，不为 解 4. 在（0，2）内