新人教版九年级数学上——一元二次方程根与系数的关系

1、一元二次方程根与系数的关系  知识点一、根的判别式 从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的，原因在于配方得到的右边的项为 ；而当，是不能开方的，所以方程无实数解。而与0的大小关系又取决于； 所以：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根。 由此可知的取值决定了一元二次方程根的情况，我们把称作根的判别式，用符号“”表示； 即：根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。例题精讲【例1】 不解方程，判别一元二次方程的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根B没有实数根C有两个相等的实数根D无法确定【例2】 若方程

2、只有一个实数根，那么方程（ ）A没有实数根 B有2个不同的实数根C有2个相等的实数根 D实数根的个数不能确定【例3】 的何值时？关于的一元二次方程： 有两个不相等的实数根； 有两个相等的实数根； 没有实数根【例4】 为给定的有理数，为何值时，方程的根为有理数？【例5】 已知关于方程求证：无论取何值，这个方程总有实数根；若等腰的一边长为，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长针对练习1、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（ ）A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.不能确

3、定3、方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根，那么总成立的式子是（ ）A.b2-4ac0 B. b2-4ac0 C. b2-4ac0 D. b2-4ac04、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .5、试说明关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有两个不相等的实数根.6、已知一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求的取值范围.7、关于x的方程x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k( )A.k-1 B.k-1 C.k1 D.k08、当k为何值时，关于x的方程kx2（2k1）xk3 = 0有两个不相等的实数根？9

4、.已知关于x的方程，(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。知识点二、韦达定理 当0时，由求根公式可知。 可令， ，。我们把方程两根与方程系数存在的这种关系式称为：韦达定理注意：前提：对于而言，当满足、时，才能用韦达定理。主要内容：应用：整体代入求值。例题精讲例题1、已知x1、x2是方程2x2+3x4=0的两个根，不解方程，那么： x1+x2= ； x1·x2= ； += ； x21+x22= ； x1x2= 。针对练习.1、方程的两个根是x1,x2，求代数式的值。2、设x1，x2是方程2x2+4x-3=

5、0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）（x1+1）（x2+1） （2）例题2、已知是一元二次方程的两根，求以为根的方程。例题3.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0. (1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根. (2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.例题4.已知关于x的方程有两个不相等的实数根， （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例题5.如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有

6、，请说明理由。例题6.一元二次方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有两个不相等的实数根,并且这两个根又不互为相反数,(1) 求m的取值范围;(2)当m在取值范围内取得最小偶数时,方程的两根为x1,x2,求3x12 -4x2+1的值.例题7.关于x的方程kx2+（k+1）x+=0有两个不相等的实数根（1） 求k的取值范围（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由例题8.已知方程x2-4x-2m+8=0的两根一个大于1,另一个小于1,求m的取值范围.例题9.已知:ABC的两边AB,AC是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2

7、=0的两个实数根,第三边BC的长为5,(1) k为何值时, ABC是以BC为斜边的直角三角形;(2) k为何值时, ABC是等腰三角形,并求出此时ABC的周长.随堂练习：1.不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) A.-x2=2x-1 B.4x2+4x+=0; C. D.(x+2)(x-3)=-52.关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定3.关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A有两个不相等的实根 B有两个相等的实根 C无实数根 D不能确定4.如果x2+x1=0，那么代数式x3+2x27的值是（ ） A6 B8

8、 C6 D85.一元二次方程一根比另一根大8，且两根之和为6，那么这个方程是( ) A.x26x7=0 B.x26x+7=0 C.x2+6x7=0 D.x2+6x+7=06.已知关于的一元二次方程的两个实数根是，且，则的值是（ ） A8 B C6 D57.关于的方程有实数根，则整数的最大值是（ ） A6 B7 C8 D98.已知x1 、x2是方程x22mx+3m=0的两根，且满足(x1+2) (x2+2)=22m2则m等于（ ） A.2 B.-9 C.-9 或2 D.9 或29.当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。10.当取 时，多项式是一个完全平方式,这个完全平方式 11.设方程的两根分别为，则+ =_，·=_, =_, =_12.若方程x2-x+p=0的两根之比为3，则p= 13.已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .14.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是_15.若一元二次方程(k-1)x2-4x-