数形结合巧解解析几何问题

1、“数形结合”巧解解析几何问题四川省遂宁高级实验学校 陈玉华我们都知道，解析几何的基本思想是用代数的方法(即坐标方法)研究几何问题但是解析几何归根结底是研究解决几何问题的，因而又不能片面地强调用代数方法而忽略了几何图形本身的性质在这里数形结合分析解决问题惟妙惟肖，各显神功圆是特殊图形，在初中平面几何中我们学过许多有关圆的性质，如垂径定理，切线性质等另外勾股定理，相似三角形性质、三角形中线、高线、角平分线性质，三角形内角和定理等等在解决解析几何问题时，应充分利用平面几何性质，有时可大大减少计算量,使问题变得简单明了，解法漂亮，避免复杂计算1.求轨迹问题【例1】已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2

2、=2外切，与圆C2:(x-4)2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程。【分析】利用两圆内外切的充要条件找出点M点满足的几何条件,结合圆锥曲线定义求解.【解】设动圆M的半经为r,则由已知|MC1|=,|MC2|=, |MC1|-|MC2|=,又C1(-4,0),C2(4,0)|C1C2|=8, |C1C2|,据双曲线定义可知,点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支, ,c=4 ,故点M的轨迹方程为: 【点评】求曲线的轨迹方程时,利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从而再利用待定系数法求出轨迹方程,这样可以减少计算量,提高解题速度与质量.【例2】如图,AOB中,AOB=,

3、AB在直线上移动,求AOB外心的轨迹方程.【解】设外心为M（x,y），连结MA、MB，AOB=，AMB=，过M作MNAB于N，则AMN=，又M为AOB的外心，|MA|MO|,于是|MN|=|MA|MO|,即，化简并整理得：【点评】利用了圆的几何性质:圆心角等于圆周角的二倍，寻找到动点M的等量关系，大大地提高了解题效率.2.求值问题【例1】直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于点,两点，由P,Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S.如果|PF|=,|QF|=,M为RS的中点,则|MF|的值为( ) A. B. C. D. 【解析】据抛物线的定义,有|PF|=|PR|,|QF|=|QS|,易

4、知PRS为直角三角形,故要求的是直角三角形斜边上的中线长,在直角梯形PRSQ中,容易求得|RS|=,故|FM|=|RS|=,选答案D.【点评】不会用圆锥曲线定义,想先求出M的坐标后,用两焦点间的距离公式求|MF|,由于计算中变量较多,关系复杂而无法计算出最后的结果.【例2】设动点P到两定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离分别为d1和d2, F1PF2=2,且存在常数,(0,1),使得d1d2sin2=,(1)证明:点P的轨迹C是双曲线并求出方程,(2)如图,过点F2的直线与双曲线C的右支交AB两点,问是否存在,使F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形?【解析】（1）略（2）假设存在使R

5、tF1AB为等腰直角三角形，记|AB|=t,|BF2|=x,则|BF1|=t,|AF1|=,由双曲线的定义可得：，在RtF1BF2中，【点评】充分利用双曲线的定义及等腰直角三角形的性质入手，使整个运算过程，化繁为简，代数运算方法望尘莫及，体现了数学的简洁美.3.求范围问题【例1】已知椭圆的右焦点为F，过F作直线与椭圆相交于A、B两点，若有，求椭圆离心率的取值范围.【解析】如图示，据椭圆的对称性，不妨AFX=,，设,则,其A、B两点在右准线上的射影分别为C、D，据椭圆的定义得：，过A作AEBD于E，则，在RtABE中得：【点评】利用椭圆的第二定义,抓住椭圆的对称性,构建直角三角形,转化为三角函数

6、的有界性,近而求出离心率的范围,具有异曲同工之妙！4.求最值问题【例1】已知F是椭圆的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点.(1)求的最小值,并求点P的坐标. (2)求的最大值和最小值. 【分析】问题(1)按常规思路,设P(x,y),则又P点在椭圆上,y可以用x表示,这样可以表示为x的一元函数,再求此函数的最小值,虽说此想法看上去可行,但实际操作起来,十分困难,如果利用椭圆的第二定义,转化到点到准线的距离来求,问题就变得简单了.【解】(1)由椭圆方程,得: ,左焦点F(-2,0)左准线设点P到左准线的距离为,则,即,由于A在椭圆内,过A作AK于K,易证|PK|即为的最小值,其值为,

7、此时P点纵坐标为1,得到横坐标为,的最小值为,这时点P的坐标为(,1).(2)记椭圆的右焦点为F2(2,0) ,据椭圆的第一定义可知: ,而,，.【点评】(1)转化是一种重要的数学思想，两小题充分利用了椭圆的第一、二定义，将看似没有“出路”的问题巧妙的化解了；（2）用几何法求最值“化曲为直”，其基本原理是利用三角形三边的大小关系，当三点共线时取等.【例2】已知抛物线,动弦AB长为2,求弦AB的中点M到轴的最小距离【分析】记A(x1,y1),B(x2,y2),要求出AB的中点纵坐标最小值,可求出y1+y2的最小值,结合图形,可以看到y1,y2是梯形ABC1D1的两底,这样就使中点坐标成为梯形的中

8、位线,可以利用几何图形的性质和抛物线的定义来求解.【解】设抛物线弦的端点A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),抛物线的焦点F(0,),准线,设A、B、M到准线垂足分别为C、N、D,则2|MN|=|AC|+|BD|,|MN|=y0+,2(y0+)=|AF|+|BF|AB|=22(y0+)2y0AB中点纵坐标的最小值为【点评】利用定义,数形结合,则解法直观,简明.5.求证明问题【例1】求证:以抛物线过焦点的弦为直经的圆,必与此抛物线的准线相切【分析】如右图,设AB为过焦点的弦,AB的中点M即为圆心,证明以|AB|为直经的圆与准线 相切,就是证明圆心M到的距离等于|AB|的

9、一半,一般的证法是先求出直经长,再推导圆心到准线的距离等于直经的一半,但计算过程比较繁,如果利用定义就能使推导过程简化.【证明】过AB两点分别作AC、BD垂直于，垂直分别为C、D。由抛物线的定义，有|AC|=|AF|，|BD|=|BF|AB|=|AC|+|BD|ACDB是直角梯形，|MH|=(|AC|+|BD|)=|AB|即|MH|为圆的半经,而准线过半经MH的外端且与半经垂直,故本题得证.【点评】在题目中涉及到圆锥曲线上的点到准点或到准线的距离问题时,常常使用圆锥曲线的定义,可使问题简化，同时该题还可以推广：椭圆中过焦点的弦为直经的圆与相应准线相离，在双曲线中过焦点的弦为直经的圆与相应准线相

10、交.【例2】如右图,已知F1、F2是双曲线的左右焦点, A、B是双曲线右支上不同于顶点的两点，M、N分别为AF1F2，BF1F2 的内切圆的圆心。 （1）圆M与F1F2相切于点P，求证：|PF1|-|PF2|=2. （2）证明：直线MN与y轴平行.【分析】从代数运算角度入手，思路较清晰，但运算繁琐，本题充分抓住双曲线定义及三角形内接圆的几何性质，找到点P的关系，当然第一问的证明为第二问证明作下了铺垫。【证明】（1）设圆M分别与AF1、AF2相切于点Q、R，则|PF1|=|QF1|，|PF2|=|RF2|,|QA|=|RA|所以|PF1|-|PF2|=|QF1|-|QF2|=(|QF1|+|QA|)-(|RF2|+|RA|)=|AF1|-|AF2|=2.(2)设双曲线的半焦距为c(c>0),连结MN,则|PF1|+|PF2|=2c.又|PF1|-|PF2|=2, |PF1|=c+,|PF2|=c-点F1,F2在x轴上,原点O为F1F2的中点,且|PF1|PF2|.点P在OF2上,又|OF2|=, |PF2|=点P的坐标为(,0), MPx轴,点