数学分析习题答案

1、1计算下列二重积分：（1），其中D由抛物线与直线所围成的区域；（2），其中；（3），其中为图21-9中阴影部分；（4），其中；解 （1）=（2）=（3）=（4）=2求由坐标平面及所围成的角柱体的体积.解： 角柱体如图所示，阴影部分为角柱体在平面上的投影区域. 于是.3（1）计算二重积分，其中D是由及所围成的区域。（2）计算二重积分，其中D由围成。（1）解：。（2）解: （结合图形）4计算二重 ，其中是由所围成的区域。解：作图y=-x3分区域D为D1和D2，利用对称性知：，则I=2=2=。5计算第二型曲线积分，为任意包含原点（不通过原点）的有界闭区域的边界曲线，逆时针方向。解: P=，Q=，所围

2、区域D，由于函数Q和P在区域D内的原点不连续，且不具有连续的一阶偏导数，作，边界为，规定方向为顺时针方向。Q=, P=且则由格林公式有，由于是逆时针方向，令，其中从0变化到，则6利用Green公式计算下列积分：，其中L是圆周的上半部分，方向从（0,0）到点（2,0）；解：记O（0，0），A（2, 0）.位于轴上的线段与L合起来形成封闭曲线，封闭曲线所围的区域设为D，且的方程为记则，于是利用Green公式得=.因此=.7应用格林公式计算下列曲线积分；（1），其中L是以为顶点的三角形，方向取正向；（2），其中m为常数，AB为由到经过圆上半部的路线.（3）应用格林公式计算曲线积分:其中L为上半圆周从

3、(a,0)到的一段.解 (1)作图：AB的方程为:,BC的方程为:CA的方程为:,设,则把三角形域分成两部分和,于是原式=(2)在轴上连接点与点这样就构成封闭的半圆形,且在线段上,于是而.由格林公式得:因此,原式=.（3）解 以为半径的上半圆域D,应用格林公式有=+0=而8验证下列积分与路线无关，并求它们的值：（1）（2）（3）沿在右半面的路线；（4）沿不通过原点的路线；（5）其中为连续函数。解 （1）因 P=所以P与Q满足定理条件，故积分与路线无关。于是，取路线为则有（2）因为所以.故由定理21.12知该积分与路线无关.因此(3)因，从而.因此,积分与路线无关,所以(4)当时是全微分,故积分

4、与路线无关,且原式=(5)因为连续函数,则与分别是的原函数,于是可见,积分与路线无关,从而9求下列全微分的原函数:(1)(2)(3)（4）解 (1)由于从而积分与路线无关.故其原函数为.(2)由于,从而积分与路线无关,因此被积式为全微分,设则.(3)为的全微分=（4）曲线积分和路径无关，存在10用极坐标计算下列二重积分:(1),其中;(2),其中;(3),其中为圆域:;(4),其中为圆域:.(5)计算，其中D是由所围成的闭区域解：（1）.(2)应用极坐标变换后积分区域从而=(3)由对称性有=（4）(5)解：11（1）计算下列三重积分：其中V是由和 所确定.（2） 其中由曲面=、z=围成的闭区域

5、；（3），其中v是由曲面与z=4所围的区域；解 (1)由于被积函数为,因此可以把三重积分化为“先二重后一重”的累次积分。又由于区域V用平行于xy平面的平面截得的是一个圆面，即从而（2）解：令x=rcos,y=rsin,z=z（3）解：令x=rcos,y=rsin,z=z12计算下列第一型曲面积分：（1）其中S是上半球面（2）其中S为立体的边界曲面；（3）其中S为柱面被平面所截取的部分；（4）其中S为平面在第一卦限中的部分.（5）其中是球面。解 (1)因从而=(2)面积S由两部分组成,其中它们在Oxy面上的投影区域都是由极坐标变换可得=(3)(4)（5）解：由题意可知，D是关于x,y,z轴对称1

6、3计算下列第二型曲面积分：（1），其中S为由六个平面所围的立方体表面并取外侧为正向；（2），其中S是以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向；（3），其中S是由平面所围的四面体面并取外侧为正向；解 (1)因为=,=,=所以,原积分=+=.(2)由对称性知须计算其中之一即可 由于故原积分=(3)由积分对称性知 原式14应用高斯公式计算下列曲面积分：（1），其中S是单位球面的外侧；（2），其中S是立方体表面的外侧；（3），其中S是锥面与平面z=h所围空间区域的表面，方向取外侧；（4），其中S是单位球面的外侧；（5），其中S是单位球面的外侧。（6）利用高斯公式计算曲面积分,其中S是边长为a的

7、正方体外侧。（7）利用高斯公式计算曲面积分，其中S是上半球面外侧。（8）利用高斯公式计算曲面积分，其中S是的上半球面外侧。（9）利用高斯公式计算曲面积分，其中上的部分，并取上侧。解 （1）（2） （3）解：，利用柱面坐标变换：（4）解：利用球面坐标变换：（5） 原式（6）解：，（7）解：取，方向向下其中：（因为）（8）取，方向向下其中：利用球面坐标变换：（因为）（9）解：取，其中：利用柱面坐标变换：15求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：（1）； （2）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8） 解：（1）由于，所以收敛半径，即收敛区间为，但当时，有均发散，所以级数在时也发散，于是这个级数的

8、收敛区域为。（2）由于，所以收敛半径，但当时，由于级数收敛，所以级数在也收敛，于是这个级数的收敛区域为。（4）由于，所以收敛半径，这个级数的收敛区域为。（5）由于=，所以收敛半径，于是这个级数的收敛区域为。（6）由于=，所以收敛半径，因而级数的收敛区间为，即，当时，级数为=收敛，当时，级数为，而由于且发散，故此时原级数发散，于是可得级数的收敛区域为。（7）因为，又，所以，从而收敛半径，又当时,，可见级数在时发散，故这个级数的收敛区域为。16应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的定义域）：（1）；（2）；（3）（4）解：（1）因为=，且时，与都是发散级数，所以幂级数的收敛区域为，设其和函数为，于是当时，逐项求导数可得，所以， （）（2）由于=，且当时，这个幂级数发散，所以幂级数的收敛区域为，设其和函数为，则=， 因为当时，=所以=，从而 （）（3）因为，且当时，这个级数发散，所以幂级数的收敛区域为，设其和函数为，则=，因而 = （）所以 （）(4)因为 =1，所以收敛半径=1，当时级数与都收敛，故这个幂级数的收敛区域是，设=则当时， ， ，从而可得 因此 故 17确定下列幂级数的收敛域，并求和函数：（1） ； （3） ；解：（1）因为 = 所以 ，当 时，与都发散，所以收敛域为， 令 则 = ，所以 =（3）设 ，