量子力学2波函数与薛定格方程

1、问题问题:(1) 如何描述微观粒子的状态如何描述微观粒子的状态 ？ (2) 微观粒子的状态变化时应微观粒子的状态变化时应 遵循什么样的运动规律遵循什么样的运动规律 ？ 1 波波 函函 数数一一 . “波动性波动性”与与“粒子性粒子性”矛盾的分析矛盾的分析:1) 研究对象研究对象 - 微观粒子微观粒子: 既不是经典意义上的粒子既不是经典意义上的粒子, 也不是经典意义上的波也不是经典意义上的波.例例: 通过对光的认识过程可知通过对光的认识过程可知, 光就是光光就是光 -它既不是粒子也不是波它既不是粒子也不是波. 2) “波动性波动性”与与“粒子性粒子性”的的矛盾矛盾与与分析分析:历史上曾有过的错误

2、认识历史上曾有过的错误认识:a) 波包波包: 夸大了波动性的一面夸大了波动性的一面, 从而实际上抺杀了粒从而实际上抺杀了粒 子性的一面子性的一面 - 有片面性有片面性.b) 波是大量粒子集体运动的表现波是大量粒子集体运动的表现: 这种观点夸大了粒这种观点夸大了粒 子性的一面子性的一面, 从而实际上抺杀了波动性的一面从而实际上抺杀了波动性的一面 而被实践证明是错误的而被实践证明是错误的.3) 分析分析: 现在的研究对象现在的研究对象 微观粒子微观粒子: 具有一定的质量具有一定的质量, 电荷等属性被称为物质的电荷等属性被称为物质的“原子原子性性”, “整体性整体性”或或“粒子性粒子性”。但不是经典

3、的粒子但不是经典的粒子,抛弃了抛弃了“轨道轨道”概念概念.具有干涉具有干涉, 衍射现象衍射现象 本质上是波的相干迭加性本质上是波的相干迭加性.但又不是经典的波但又不是经典的波, 具有明确的局域性具有明确的局域性. 结论结论:1926年年, 玻恩玻恩( M.Born )把微观粒子的把微观粒子的 “原原 子子 性性” 和和 “波的相干迭加性波的相干迭加性” 统一起来统一起来, 提出了提出了“几率几率 波波”的概念的概念.4) 电子双缝衍射实验电子双缝衍射实验:目的目的: 通过分析电子双缝衍射实验通过分析电子双缝衍射实验, 去去寻找寻找正确理解正确理解和和 认识象电子这样的认识象电子这样的微观客体的

4、微观客体的行为特征行为特征的途径的途径.名人名言名人名言 Feynman认为认为: 这一实验设计的包含了量子力这一实验设计的包含了量子力学的一切秘密之处学的一切秘密之处, 它把自然的疑难它把自然的疑难, 特异和神奇性百分之百地摆在你的特异和神奇性百分之百地摆在你的面前面前.降低所发射的降低所发射的 电子束的强度电子束的强度, ,使其低到足以使其低到足以 分开每分开每一个事件一个事件特点：特点：实验实验 A) 电子是逐个到达荧光屏上的，所谓逐个的意思就是对电子是逐个到达荧光屏上的，所谓逐个的意思就是对每个事件在屏上只能观察到一个亮点，每个事件在屏上只能观察到一个亮点，而且各亮点而且各亮点涉及到的

5、涉及到的范围很小。范围很小。不会出现一大片光斑或光晕（粒子性的表现）。不会出现一大片光斑或光晕（粒子性的表现）。 实实验验结结果果 先只先只打开缝打开缝1并遮上缝并遮上缝 2开始对应于每个事件的亮点在屏开始对应于每个事件的亮点在屏上出现的位置是随机的。但积累了大量事件后就可上出现的位置是随机的。但积累了大量事件后就可看到单缝衍看到单缝衍射的图样。射的图样。反之亦然。反之亦然。 当当两个缝同时打开两个缝同时打开时：开始亮点在屏上出现的位置仍时：开始亮点在屏上出现的位置仍是随机的但积累了大量事件后就可看到的结果并不是是随机的但积累了大量事件后就可看到的结果并不是 中两中两个单缝衍射的图样简单相加，

6、而是个单缝衍射的图样简单相加，而是双缝的衍射的图样。双缝的衍射的图样。结论结论: :既不是经典的粒子既不是经典的粒子也不是经典的波也不是经典的波. .C) 为说明问题，实验按以下顺序进行：为说明问题，实验按以下顺序进行： B) 只要时间足够长就可记录下只要时间足够长就可记录下大量的事件，大量的事件，其其结果就结果就会看到会看到衍射条纹衍射条纹（波动性的表现）。（波动性的表现）。P1PP2 P1=| 1 |2P2=| 2|2经经典典理理论论P=P1+P2=| 1 |2+| 2|2量量子子理理论论P =| 1 + 2|2=| 1 |2+| 2|2+ 1* 2+ 1 2*简单相加相干迭加若以若以 来

7、描述电子衍射花样的强度分布来描述电子衍射花样的强度分布22),(tr的存在的存在的的A) 相干迭加相干迭加 的结果充分显示了的结果充分显示了 微观粒子与经典粒子的区别微观粒子与经典粒子的区别 . .若是若是经典粒子经典粒子, ,如细沙粒或子弹如细沙粒或子弹, ,它们一个一个地穿过狭缝它们一个一个地穿过狭缝, ,虽然两个缝都是打开的虽然两个缝都是打开的, ,但但穿过缝穿过缝2的粒子是无法感知缝的粒子是无法感知缝1, ,反之亦然反之亦然. .所以只能出现经典的结果。所以只能出现经典的结果。. .B) 如何理解相干迭加的这一结果呢如何理解相干迭加的这一结果呢? ?试想遵循下面的推理试想遵循下面的推理

8、: :对对实实验验结结果果的的解解释释某处衍射条某处衍射条纹的强度纹的强度该处附近该处附近出现亮点出现亮点的次数的次数打在该处打在该处附近的电附近的电子的数目子的数目一个电子在该处一个电子在该处附近出现的几率附近出现的几率结论结论:以以 描述电子衍射花样的强度分布描述电子衍射花样的强度分布,则则应正比于电子在该处附近出现的几率应正比于电子在该处附近出现的几率.28Bullet Double-slit Interference结论结论: (1) 函数函数 (r) 在双缝衍射中对电子的状态具有在双缝衍射中对电子的状态具有 重要意义重要意义, 即可以用即可以用 (r) 来描写经双缝衍射后电来描写经双

9、缝衍射后电 子在到达屏上时所处的状态子在到达屏上时所处的状态. (2) 使用使用 (r) 的描述的描述, 可以统一可以统一“波动性波动性”与与“粒粒 子性子性”的矛盾的矛盾-“几率波几率波”二二. .波函数波函数: :1) 量子力学中使用波函数来描述微观粒子的运动状态量子力学中使用波函数来描述微观粒子的运动状态, 一般以一般以 (r,t) 来表示来表示. 波函数本身它并不是一个力学变量波函数本身它并不是一个力学变量-这是与经这是与经 典力学的一个重要区别典力学的一个重要区别. -从一开始量子力学就从一开始量子力学就 与经典力学完全不同与经典力学完全不同 它可以向我们提供被研究的微观粒子的各种力

10、学它可以向我们提供被研究的微观粒子的各种力学 量的取值及其变化的全部信息量的取值及其变化的全部信息.2)2)波函数的几率解释波函数的几率解释: :rdtrtrrdtrdW),(),(),(*2 为微观粒子为微观粒子 t 时刻在时刻在 r 处附近处附近 r r+dr 区间内出现的区间内出现的几率几率. 归一化条件归一化条件: 1,2rdtr)(全全空空间间 (r) 与与C (r) (C为一常数为一常数)所描写的是同一个微观状态所描写的是同一个微观状态. A) “几率波几率波”与经典波动有与经典波动有本质的不同本质的不同:y0Cy0X 对经典波动对经典波动: 波动方程前乘波动方程前乘以以C, 相当

11、与波的振幅被放大了相当与波的振幅被放大了C倍倍, 强度被放大了强度被放大了C2倍倍, 因此它们因此它们是完全不同的两个波是完全不同的两个波.讨论讨论: B) 归一化系数归一化系数:设设 (r,t) 为一个没被归一化的波函数为一个没被归一化的波函数, 若有常数若有常数 C 满足满足:1,2rdtrC其中其中rdtrC22),(1或或rdtrC2),(1C 被称为被称为 (r,t) 的归一化系数的归一化系数. 若有若有 (r,t) =C (r,t)且且 (r,t) 和和 (r,t) 描述的是同一个状态描述的是同一个状态.C) 波函数位相的不确定性波函数位相的不确定性: 当当 为实数时为实数时),(

12、trei与与),(tr描述的是同一个状态描述的是同一个状态且都是归一化的现象被称为且都是归一化的现象被称为波函数位相的不确定性波函数位相的不确定性. 3)3)波函数的标准化条件波函数的标准化条件: : 物理上要求：物理上要求：波函数满足波函数满足单值、连续和有限的条件单值、连续和有限的条件. . 有限性它不排除对某些孤立点有有限性它不排除对某些孤立点有: :20),(rrtr但但)(2,rrdtr有限值04)4)自由粒子平面波的波函数自由粒子平面波的波函数: :总体总体思路思路由由经典平面波波动方程的复数形式，利用经典平面波波动方程的复数形式，利用德布罗意关系式，把经典理论中描写粒子德布罗意关

13、系式，把经典理论中描写粒子性的物理量性的物理量E和和P揉入其中，形成自由粒子揉入其中，形成自由粒子的波函数的表达式。再去经受实践的检验。的波函数的表达式。再去经受实践的检验。其其复数形式复数形式为：为：A）经典的沿）经典的沿X方向传播的方向传播的平面波的波动方程平面波的波动方程：波的强度波的强度波的强度波的强度取其实部则可还原为其实数形式。取其实部则可还原为其实数形式。复数形式的优点：复数形式的优点：a) 方便运算。方便运算。B) 自由粒子与平面波自由粒子与平面波:自由粒子不受自由粒子不受外界作用外界作用, 其其动量为确定值动量为确定值德布罗意关系式对应的波对应的波长与波矢长与波矢为恒定为恒定

14、平面波平面波2AI )/(2cos),(xtAtxy)/(2),(xtiAetxy2AI b) 初位相初位相 f 以以 的形式出现，因此可以被包含在复振幅的形式出现，因此可以被包含在复振幅A中。中。ifeC）量子力学中自由粒子的波函数：）量子力学中自由粒子的波函数：)(0),(xpEtixetxh对对应应代代换换关关系系量子力学量子力学经典力学经典力学),(txy),(tx频率频率hE /能量能量波长波长xph /动量动量A振幅振幅0复振幅复振幅量子力学中量子力学中自由粒子的自由粒子的波函数波函数)/(2),(xtiAetxy)(0),(tErpietrh一般情况下的表示一般情况下的表示:特特

15、点点1)具有波动方程的形式具有波动方程的形式.2)包含经典理论中描述粒子特征的物理量包含经典理论中描述粒子特征的物理量 E 和和 p在空间各点发现自由粒子的概率相同。这时粒子的动在空间各点发现自由粒子的概率相同。这时粒子的动量是完全确定的，但其位置就完全不确定。量是完全确定的，但其位置就完全不确定。常数常数 2),(tr对自由对自由粒子粒子 波函数统计诠释涉及对微观世界本质的波函数统计诠释涉及对微观世界本质的认识与争论至今仍未完结。认识与争论至今仍未完结。哥本哈根学派哥本哈根学派爱因斯坦爱因斯坦设归一化因子为设归一化因子为C，则归一化的波函数为，则归一化的波函数为 ( (x)= )= C ex

16、p(-(- 2 2x2 2/2)/2) 1)(2dxx例题：例题：将波函数将波函数 归一化归一化 2exp22xxf 解解:dxeCx2212由由:可得可得:则归一化后的波函数为则归一化后的波函数为利用积分公式利用积分公式: :dxex22得得:2|CC2/22)(xex量量子子力力学学经经典典力力学学研研究究对对象象质质点点微微观观粒粒子子状状态态描描写写位位置置和和动动量量波波函函数数自自由由粒粒子子有有确确定定的的动动量量与与能能量量有有确确定定的的频频率率与与波波长长且且波波的的传传播播方方向向不不会会变变化化平平面面波波运运动动定定律律牛牛顿顿定定律律薛薛定定格格方方程程量子力学与经

17、典力学量子力学与经典力学一一. .自由粒子薛定格方程的建立自由粒子薛定格方程的建立: :自由粒子波函数自由粒子波函数1)1)为讨论其随时间的变化两边对为讨论其随时间的变化两边对t t求偏导得求偏导得: :),(),(trEittrh)(0),(tErpietrh)(0),(tEzpypxpizyxetzyxhttritrE),(),(h 2) 2)它启发我们它启发我们波函数随时间的变化与能量有关波函数随时间的变化与能量有关：)(2122222zyxpppmmpE自由粒子的能量表达式为自由粒子的能量表达式为: :在直角坐标系中的形式为：在直角坐标系中的形式为：这个式子当然也可写为这个式子当然也可

18、写为: :),()(212),(2222trpppmmptrEzyx),(),(2222trpxtrxh 3) 3)注意到自由粒子注意到自由粒子波函数对坐标的导数是与动量有关波函数对坐标的导数是与动量有关的的, ,而且对而且对自由粒子来讲，能量是可以由动量完全确定自由粒子来讲，能量是可以由动量完全确定下来的。下来的。因此要讨论波函数对坐标的导数因此要讨论波函数对坐标的导数: :),(),(trpixtrxhxtritrpx),(),(h同理同理ytritrpy),(),(hztritrpz),(),(h4)4)再由再由: :2222),(),(xtrtrpxh同理有：同理有：2222),(),

19、(ytrtrpyh2222),(),(ztrtrpzhxtritrpx),(),(h5)5)所以有所以有: :),()(),()(2222222222trzyxtrpppzyxh6)6)把把1)1)和和 5)5)代入代入 2)2)的两边可得的两边可得: :),()(2),(2222222trzyxmtrtihh-自由粒子波函数所满足的薛定格方程自由粒子波函数所满足的薛定格方程该方程的特点该方程的特点:A) A) 是一个线性微分方程是一个线性微分方程, , 迭加原理适用迭加原理适用. .若体系具有一系列不同的可能状态若体系具有一系列不同的可能状态 ，21 则则2211 CC也是其可能的状态也是其

20、可能的状态B) B) 方程系数中不包含与微观粒子状态有关的参量方程系数中不包含与微观粒子状态有关的参量. . 通过上述过程，能得到自由粒子波函数所满足的微分方通过上述过程，能得到自由粒子波函数所满足的微分方程，这是好的。但是程，这是好的。但是得到该方程的方法是我们所不感兴趣的得到该方程的方法是我们所不感兴趣的。 有意义是我们仍可以从上述过程中有意义是我们仍可以从上述过程中得到一些重要的启示得到一些重要的启示。再把这些启示进一步升华就可得到另外一种产生上述方程的再把这些启示进一步升华就可得到另外一种产生上述方程的方法。方法。 这种新方法的一个重要特征就是：可以这种新方法的一个重要特征就是：可以在

21、不知道自由粒在不知道自由粒子波函数的情况下子波函数的情况下，仍然能，仍然能得到正确的得到正确的关于自由粒子波函数关于自由粒子波函数随时间变化的随时间变化的偏微分方程偏微分方程。ttritrE),(),(hixxtritrpi),(),(h 给出我们这种启示的是在前面的的推导过程中所出现过给出我们这种启示的是在前面的的推导过程中所出现过的下述等式：的下述等式：zxyxxxi321,3 ,2, 1且其中2222),(),(ixxtrtrpih 当然，在前述过程中这些等式是在自由粒子的波函数为当然，在前述过程中这些等式是在自由粒子的波函数为已知的条件下被已知的条件下被“推导推导”出来的。这些等式可以

22、给出的启发出来的。这些等式可以给出的启发是：是： 但是如果我们认为在不知道波函数的具体形式时这些等但是如果我们认为在不知道波函数的具体形式时这些等式也是正确的。当然，这一认识对于自由粒子的情况一定是式也是正确的。当然，这一认识对于自由粒子的情况一定是没有问题的。没有问题的。 动量动量 p px x 对波函数的作用与算符对波函数的作用与算符 对波函数的作用对波函数的作用是相同的。是相同的。( (其中其中 x = x , y , zx = x , y , z ) )xih 动量平方动量平方 p px x2 2 对波函数的作用与算符对波函数的作用与算符 对波函对波函数的作用是相同的。数的作用是相同的

23、。( (其中其中 x = x , y , zx = x , y , z ) ) 222xh 那么就可以使用这些等式那么就可以使用这些等式在不知道自由粒子波函数的情在不知道自由粒子波函数的情况下得到况下得到自由粒子波函数随时间变化的自由粒子波函数随时间变化的偏微分方程偏微分方程。 对其具体的操作过程可表通过下面三个步骤完成：对其具体的操作过程可表通过下面三个步骤完成： 能量能量 E E 对波函数的作用与算符对波函数的作用与算符 对波函数的作用对波函数的作用是相同的。是相同的。tih 假设：假设：对未知的波函数，上述等式都是正确的。即对未知的波函数，上述等式都是正确的。即承承认认对未知的波函数对未

24、知的波函数下述的物理量与算符之间的对应关系是正下述的物理量与算符之间的对应关系是正确的。确的。tihE能量iixxiph动量2222iixxph动量的平方 写出写出经典力学的经典力学的自由粒子的能量表达式自由粒子的能量表达式：)222(2122zpypxpmmpE并对任意函数并对任意函数 可以得到可以得到等式：等式：),()(21),(222trpppmtrEzyx 使用使用 中给出的算符，替换中给出的算符，替换 中最后一个等式中中最后一个等式中相应的各个物理量就可得到与前面经过推导得到的完全相同相应的各个物理量就可得到与前面经过推导得到的完全相同的自由粒子的波函数所满足的偏微分方程。的自由粒

25、子的波函数所满足的偏微分方程。),()(2),(2222222trzyxmtrtihh- 这就是自由粒子波函数所满足的薛定格方程这就是自由粒子波函数所满足的薛定格方程 再强调一遍，这方法的一个重要特点就是：可以再强调一遍，这方法的一个重要特点就是：可以在不知在不知道自由粒子波函数的情况下道自由粒子波函数的情况下，仍然能，仍然能得到正确的得到正确的关于自由粒关于自由粒子波函数随时间变化的子波函数随时间变化的偏微分方程偏微分方程。 正是由于这个原因，使得使得这种方法更容易向一般的正是由于这个原因，使得使得这种方法更容易向一般的情况，即情况，即事先不知道波函数的具体形式，但是还要寻求波函事先不知道波

26、函数的具体形式，但是还要寻求波函数所满足的微分方程数所满足的微分方程的这种情况去推广。的这种情况去推广。二二. .一般情况下的薛定格方程一般情况下的薛定格方程: :1) 1) 一维的情况：一维的情况： 为了得到对于非自由粒子，即一般情况下的薛定格方为了得到对于非自由粒子，即一般情况下的薛定格方程我们假设：程我们假设： 前述的反映力学量与算符的对应关系的等式在一般前述的反映力学量与算符的对应关系的等式在一般情况下，即非自由粒子的情况下也是正确的。情况下，即非自由粒子的情况下也是正确的。 由此可以得到等式：由此可以得到等式：),(),(2),(2txtxUmptxEx使用前面的使用前面的 “算符关

27、系等式算符关系等式” 代换掉上式中的物理量可代换掉上式中的物理量可得到：得到：),(),(2),(222txtxUxmtxtihh2) 2) 三维情况：三维情况： hipkpjpipzyx222hhhiippp其中：其中：zkyjxi 其中其中 （x,tx,t）为未知的，可用来描写该粒子状态的波函数。）为未知的，可用来描写该粒子状态的波函数。),(txUmpEx 22在一维情况下，非自由粒子的经典力学能量表达式应写为：在一维情况下，非自由粒子的经典力学能量表达式应写为：),(),(2),(22trtrUmtrtihh ),(22trUmpE 该方程于该方程于1926被被Schdinger首次给

28、出首次给出, 并为此荣获并为此荣获1933年诺贝尔物理奖年诺贝尔物理奖. Schdinger方程是非相对论量子力学的基本动力学方程方程是非相对论量子力学的基本动力学方程.其在量子力学中的地位与牛顿定律在经典力学中的地位是其在量子力学中的地位与牛顿定律在经典力学中的地位是相同的相同的. 三维情况下的粒子经典力学的能量表达式为：三维情况下的粒子经典力学的能量表达式为：),(),(2),(2trtrUmptrE再使用再使用 “算符关系等式算符关系等式” 代换掉上式中的物理量就可代换掉上式中的物理量就可得到：得到： 并由此可以得到等式：并由此可以得到等式：三三. 定态薛定格方程定态薛定格方程:1) 定

29、态薛定格方程定态薛定格方程A)分离变量分离变量: )()(tEfdttdfih)()()(222rErrUmh 若在所研究的问题中若在所研究的问题中 U=U( r )与时间与时间t无关无关, 则可设则可设: ( r,t )= ( r ) f ( t ) 对对薛定格方程分离变量可得薛定格方程分离变量可得:其中其中E为常数为常数. B)本征值与本征值方程本征值与本征值方程: E为算符为算符 或或 的本征值而上述方程的本征值而上述方程被称为该算符的本征值方程被称为该算符的本征值方程. dtdih)(222rUmhC)与时间有关部分的解与时间有关部分的解: 由方程由方程可解出可解出: )()(tEfd

30、ttdfihEdtitftdfh)()(Etietfh)(D)定态定态: 这时这时 Etiertrh)(),(22)(),(rtr 在这种状态下微观粒子在各处出现的几率与时间在这种状态下微观粒子在各处出现的几率与时间无关无关 - 因此被称为定态因此被称为定态 )(r 被称为定态波函数被称为定态波函数. E)定态薛定格方程定态薛定格方程: 方程方程)()()(222rErrUmh被称为定态薛定格方程被称为定态薛定格方程.定义定义: :),(222trUmHh对定态情况对定态情况时有时有: :)(222rUmHh这里这里 被称为系统的哈密顿量被称为系统的哈密顿量. .H 定态薛定格方程也可表示为定

31、态薛定格方程也可表示为: :这时这时E E被称为被称为H H的本征值的本征值, ,而而 (r)(r)被称为被称为H H的本征函数的本征函数. .)()(rErH2) 2) 多粒子系统的定态薛定格方程多粒子系统的定态薛定格方程: :研究对象研究对象: : 总粒子数总粒子数=N, =N, 粒子的质量粒子的质量m mi i(i=1,2,3(i=1,2,3N)N)粒子间粒子间的相互作用势能为的相互作用势能为: :),(21NrrrV 外场与粒子外场与粒子间的相互作用势能为间的相互作用势能为: :)(iirU若若V V与与U Ui i都与时间无关都与时间无关, ,则我们可以研究其则我们可以研究其定态问题

32、定态问题. .以以 ),(21Nrrr 表示系统的定态波函数表示系统的定态波函数. . A)A)波函数波函数: : 其物理意义为其物理意义为: : NiiNrdrrrdW1221),(归一化条件为归一化条件为: : 1),(122, 1 NiiNrdrrrC)C)多粒子系统的定态薛定格方程多粒子系统的定态薛定格方程: : ),(),(),()(2212121122NNNNiiiiirrrErrrrrrVrUmh 这里的这里的E E就是该多粒子系统的能量本征值就是该多粒子系统的能量本征值. . B)B)多粒子系统的哈密顿量多粒子系统的哈密顿量: : 经典力学经典力学: : ),()(22112N

33、NiiiiirrrVrUmpH 量子力学量子力学: : ),()(221122NNiiiiirrrVrUmHh 2022-3-332 微观粒子的状态可用波函数来描写微观粒子的状态可用波函数来描写, 而而波函数随时间的演化遵从薛定格方程波函数随时间的演化遵从薛定格方程:),(),(trHtrtih一一、物理背景与简化近似、物理背景与简化近似: :3 3、一维无限深势阱一维无限深势阱简化近似：简化近似：x)(xU0U势阱深度势阱深度一维有限深势阱物理背景：物理背景：)(xU金 属 体0U势阱深度势阱深度金属中自由电子的势能曲线xx0U势阱深度势阱深度一维无限深势阱Ur)(rU原子核0U势阱深度势阱

34、深度原子核中质子的势能曲线物理背景物理背景简化近似简化近似一维无限深势阱的势能函数一维无限深势阱的势能函数axxU或或0)(势阱宽度a二、一维无限深势阱的定态、一维无限深势阱的定态 薛定格方程：薛定格方程：势阱中粒子的经势阱中粒子的经典力学能量关系典力学能量关系mPEx22应用前面应用前面得到的物得到的物理启示理启示22222xppxxh)(d(x)d2222xExmh其定态薛定格其定态薛定格方程可写为：方程可写为：边界条件0)(x时时axx ,0 x0U势阱深度势阱深度势能曲线Ua0 区区0301 区区 区区三、一维无限深势阱问题的解：三、一维无限深势阱问题的解：1、方程的通解：、方程的通解

35、：222kmE h0dd222kx)sin()(jkxAx令令:2、确定常数、确定常数 f f势阱无限深所以阱外有：势阱无限深所以阱外有： (x) = 0 （ x 0 x a ）由波函数由波函数 连续性，连续性， 边界条件边界条件 ： (0) = 0 (a) = 0j j = 0 0)=Asinj j = 0 x= 0处有处有ka =n (a)=Asinka =0n = 1 . 2 . 3 n = 0 ?注意到在注意到在x = a处有处有3 、能量本征值、能量本征值 E 的确定的确定：222kmE hka =n 22222manEEnhn = 1 . 2 . 3 一维无限深势阱中运动的微观粒的

36、能量只能取分立值。一维无限深势阱中运动的微观粒的能量只能取分立值。其中其中n -n -被称为量子数。被称为量子数。 能量的不连续这一结论能量的不连续这一结论并不用出自于普朗克假设。并不用出自于普朗克假设。它是量子力学的自然结果。它是量子力学的自然结果。基态能量基态能量 0-波动性。波动性。22212 maEh kxAx sin)(1d)(20 xx anaA2122 aA4、确定能量本征波函数、确定能量本征波函数：ka =n xanAx nsin)(22222manEnh 对应于对应于能量本征值能量本征值为为 的的本征波函数本征波函数。5、由归一化条件确定系数、由归一化条件确定系数A：归一化归

37、一化条件为条件为1)(2-dxxn (x) = 0 （ x 0 x a ）1sin20dxxanAaxanAxnsin)(a2（ 0 x a ）一维无限深势一维无限深势阱定态薛定格方阱定态薛定格方程全部解完。程全部解完。6 6、一维无限深势阱问题小结：、一维无限深势阱问题小结：1）一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度）一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度n = 1n = 2n = 3a22212maEh 2nnw 124EE 1w2w3w139EE 0 xnExaasin21xaa2sin22xaa3sin23n0 xnEahtEinnnex tx)(),(tinexana2)

38、sin(2驻波驻波 ？A)A)考虑考虑 时间因子时间因子 是沿是沿 x 轴正向、负向传播的波，形成轴正向、负向传播的波，形成 驻波驻波。两端为波节。只有某些波长的波才能形成驻波。两端为波节。只有某些波长的波才能形成驻波。n的取值不同的取值不同 , 能量不同，腹的数目不同。波腹的能量不同，腹的数目不同。波腹的数目等于数目等于 n的数目。的数目。a 为半波长的整数倍为半波长的整数倍.ieeii2sinqqq2）讨论：）讨论：C) 束缚态与扩展态束缚态与扩展态:022212222EmampEmpEaxpaxxxxhhhB) 基态能量与基态能量与测不准关系测不准关系:束缚态束缚态: 在在 r 时波函数

39、为零的状态称为束缚态时波函数为零的状态称为束缚态. n( x ) = 0 （ x 0 x a) xanAx nsin)(束缚态束缚态扩展态扩展态: 如对自由粒子的波函数如对自由粒子的波函数)(0),(xpEtixetrh有有: :常数202),(tr因此一般有因此一般有: :0),(2xtr所以自由粒子的状态所以自由粒子的状态为为扩展态扩展态.D) 宇称宇称:可以证明对势阱可以证明对势阱的势能函数为的势能函数为: :axxU 或或-a )(势阱宽度势阱宽度2a的一维无限深势阱中粒子其定态波函数为的一维无限深势阱中粒子其定态波函数为: :)(2sin1)(axanaxn该波函数具有下列性质该波函

40、数具有下列性质: :当当n n 为偶数时为偶数时: :当当n n 为奇数时为奇数时: : xxnn xxnn这来源于势函数这来源于势函数U(x)U(x)对对x=0 x=0处的对称性处的对称性U(x)=U(-x)U(x)=U(-x)宇称算符宇称算符: : xxPP P称为宇称算符称为宇称算符. . 以以P P表示把表示把X X变为负变为负X X的运算的运算, ,则有则有: : P P的本征值的本征值: : 由由 )(2xxPxP知知 P P2 2的本征值为的本征值为1, 1, 因此因此 P P的本征值为的本征值为+1+1或或-1, -1, 即有即有: : xxP11 xxP22偶宇称偶宇称 奇宇

41、称奇宇称 四、量子力学处理问题的基本步骤：四、量子力学处理问题的基本步骤：1)写出写出哈密顿量哈密顿量及及哈密顿算符哈密顿算符.4)由由初始条件初始条件和和边界条件边界条件,并依据波函数的并依据波函数的 标准化条件标准化条件的要求的要求,求出求出能量本征值能量本征值.3)解出解出通解通解,其中包含待定常数其中包含待定常数: 能量本征值能量本征值及一些及一些待定常数待定常数.5)求出与本征值相应的求出与本征值相应的本征波函数本征波函数.6)进行进行必要必要的讨论的讨论.2)建立薛定格方程建立薛定格方程.4 4、一维谐振子一维谐振子1)1)势函数势函数: :2222121)(xmkxxU m振子质

42、量，振子质量， 固有频率，固有频率，x离开平衡位置的离开平衡位置的位移位移2)2)哈密顿量哈密顿量: :22222212xmdxdmH h一一、哈密顿量及哈密顿算符哈密顿量及哈密顿算符:222212xmmpUTHx3)3)哈密顿算符哈密顿算符: : 由由xxdxdpx,2222 h得得: :为定态问题。为定态问题。二二. .定态薛定格方程定态薛定格方程: :)()()212(22222xExxmdxdmh1)1)定态薛定格方程定态薛定格方程: : 由由)()(xExH得得: :2)2)明确边界条件明确边界条件: : 因为因为 xxUx)(时严格的一维严格的一维谐振子谐振子是个一维是个一维无限深

43、势阱无限深势阱 -只存在只存在束缚态束缚态. .所以有所以有: :0)(xxx时这就一维谐振子的这就一维谐振子的波函数应满足的边界条件波函数应满足的边界条件. . (1)三三. . 解出定态薛定格方程的通解解出定态薛定格方程的通解: :1)1)方程的化简方程的化简: :hhEmx2,其中设dddxddddxd22222)(dddddxddxd222,xx代入方程代入方程(1)可得可得: :)()()212(2222222xExmddmhh21Ehm2)(21)()212(22222xxmmddmmhhhh0)(222dd2)2)求出渐近解求出渐近解: : 注意到注意到22时方程变为方程变为:

44、:0222dd该方程在该方程在 时有时有: :22e形式的解形式的解. .且满足边界条件的渐近解为且满足边界条件的渐近解为: :22 e(2)2222eedd22222222222)(eeeddedd22222222222) 1(eeedd因为因为22e 不满足边界条件的要求不满足边界条件的要求, 所以舍去所以舍去. 因此得方程在因此得方程在 时的近似解为时的近似解为:22 e3)厄米方程厄米方程: :)(2)()(222222222222uddedduddeeddudd设方程设方程(2)的通解为的通解为: :)(22ue则有则有:)(2)()()1(222222222uddeuddeeu代回

45、方程代回方程(2)中可得中可得: :(3)0)()()(2)()() 1(22222222222222ueueuddeuddeeu0)()()(2)()() 1(2222uuudduddu0) 1(222uddudud 方程方程 (3) 在数学上被称为厄米方程在数学上被称为厄米方程, , 显然，只要由该方显然，只要由该方程求出函数程求出函数 u 就可得到方程就可得到方程 (1) 的解的解. .4) 厄米方程的级数解法厄米方程的级数解法: :设设: :0)()(saHu则有则有:01)()(saHddus 0222) 1)()(ssaHduds代回方程代回方程 (3) 中可得中可得: :0) 1

46、()(2) 1)(00221220111211sssasassa0) 1()(2) 1)() 1() 1(0021112111120sssssasassassassa在第一个求和号中取在第一个求和号中取 - 则有则有 + ，且有求和范围由，且有求和范围由:021转变为0)1()(2) 1)(2() 1() 1(021120sssasssassassa(4)欲使该式对任何欲使该式对任何 都等于零都等于零, 就要求就要求 各次幂的系数均为零各次幂的系数均为零:0) 1(0ssa0) 1(1 ssa0)1()(2) 1)(2(2asass这样，前面的方程就可写为：这样，前面的方程就可写为：则有则有:

47、c) 系数间的递推关系系数间的递推关系:b) 当当 时有时有: s=0 或或 s= -101aa) 当当 时有时有: s=0 或或 s=100aasssa) 1)(2(1)(22 因此因此, 只需确定系数只需确定系数 a0 和和 a1 , 则其它的系数都可通过该则其它的系数都可通过该递推关系完全确定递推关系完全确定.5) 根据波函数的标准化条件根据波函数的标准化条件, , 确定能量本征值确定能量本征值: : 一般情况下一般情况下 u( ) = H 是一个无穷级数是一个无穷级数. 当当 时时其渐近行为具有如下形式其渐近行为具有如下形式:2)(euA) 对对(4)中的结果进行分析中的结果进行分析:

48、 2lim2lim)1)(2(1)(2limlim22sssaabnexnennnnnnx)2(02020)!2(1!1!12lim22lim121lim)!2(1)!12(1limlim2bb2222222)()(eeeuex不满足不满足边界条件边界条件的要求的要求, 也不满足也不满足标准化条件标准化条件中关于中关于有限性有限性的要求的要求.0)(xxx时B) 解决办法解决办法: 为保证为保证 (x) 的的有限性且有限性且满足满足边界条件，边界条件，就要求级数就要求级数0)()(saHu从某一项开始其系数等于零从某一项开始其系数等于零, 这样无穷级数就变成一个有这样无穷级数就变成一个有限项的

49、多项式限项的多项式, 若有若有:asssa) 1)(2(1)(2202a01)(2s1)(2s1)(2shE2C) 确定能量本征值确定能量本征值: 注意到注意到 ;,0420 aaa可求时 ,0531aaa可求时同时不为零但不能10, aa(若如此则不能满足若如此则不能满足有有限性限性的要求的要求.) 设设:0,010aa这时有这时有s=0或或s=1两种情况两种情况:这时必有这时必有 =偶数偶数s=0时时, 定义定义: n= +s= 为偶数为偶数.s=1时时, 定义定义: n= +s= +1为奇数为奇数.综上有综上有: n= +s=正整数正整数. n=0,1,2,3,.注意到注意到: , 3,

50、2, 1 ,0)21(21nnEnhh该式给出了薛定格方程该式给出了薛定格方程 (1) 的能本征值的能本征值. 可以说明可以说明, 若设若设0,010aa时时s=0 , s=-1, 并不给出新的结果并不给出新的结果.6) 求解本征波函数求解本征波函数: :注意到注意到 x 则有则有:其中其中 Hn =Hn x 称厄米多项式称厄米多项式. 其具体的形式为其具体的形式为: Hn 的最高次幂的项为的最高次幂的项为 2n n可以证明有可以证明有:)()()(2222nnnHeue)()(222xHexnxnn=0, E0=(1/2)h h , H0 n=1, E1=(3/2)h h , H1 2 n=

51、2, E2=(5/2)h h , H2 4 2-2- - -n = n, En=(n+1/2)h h , 22) 1()(eeHnnnn 波函数的归一化波函数的归一化: 1)()(*2dxxxNnnn为此计算积分为此计算积分: )()()(*xdxxxnndeddeHednnnnnn222*) 1)(1)()(1deddHnnnn2)() 1(分部积分一次可得分部积分一次可得: deddHeddHnnnnnnnn211211)() 1()() 1(原式由厄米多项式由厄米多项式表达式可得表达式可得: )()(1) 1()()() 1()() 1(12211211nnnnnnnnnnHHeeHHe

52、ddH211211) 1()(eHennnn而而HnHn-1为关于为关于 的多项式的多项式, 其最高次幂为其最高次幂为: 2n n2n-1 n-1=22n-1 2n-1 它与它与 相乘相乘, 当当 时必为零时必为零. 因此有因此有:2ededdHnnnn2111)() 1(原式把这种分部积分反复进行把这种分部积分反复进行n次可得次可得: deHddnnnn22)() 1(原式但有但有: !2)2()(nddHddnnnnnnnnde2和和 !21)()(*ndxxxnnn21!2nNnn)(!2)(22122xHenxnxnn归一化后的波函数为归一化后的波函数为: 7)7)讨论讨论: :正交性

53、正交性: 一维谐振子的波函数一维谐振子的波函数 n(x)满足满足:(6)证明证明: 对对 m = n 的情况在归一化时已讨论过的情况在归一化时已讨论过, 对对 m , n 不相等的情况不相等的情况 , 不妨设不妨设 m x而按量子力学而按量子力学, 在在 处找到粒子的几率为处找到粒子的几率为:1x16. 02)(2221120dxedxxxC) 量子结果与经典结果间的联系量子结果与经典结果间的联系:可以证明可以证明: 当当 n1 时时, 量子力学的结果在平均值上量子力学的结果在平均值上 与经典力学的结果相符合与经典力学的结果相符合. 差别只在于差别只在于 | n(x)|2 是迅速振荡着的是迅速

54、振荡着的.21111nx线性谐振子线性谐振子 n =11 时的几率密度分布时的几率密度分布 4 4、势垒贯穿与扫描势垒贯穿与扫描遂穿显微镜遂穿显微镜一一、EUEU0 0时时势垒的反射与贯穿势垒的反射与贯穿: :1) 势函数势函数: :)(xU)0(0axx 0且且E U0的情况的情况, 其解可写为其解可写为:I区区:II区区:III区区:xikxikIeAAex11)(xikxikIIeBBex22)(xikxikIIIeCCex11)(5) 物理意义物理意义: : 这里这里 eikx 和和 e-ikx 分别表示沿分别表示沿X轴正方向和沿负方向传轴正方向和沿负方向传播的波矢为播的波矢为k的平面

55、波的平面波. 所以所以:A为入射波振幅为入射波振幅, A为反射波振幅为反射波振幅. C为透射波振幅为透射波振幅, C必须为零必须为零. 6) 解的情况解的情况: :把上述通解代入边界条件可得四个方程把上述通解代入边界条件可得四个方程. BBAA2211kBBkAkAkaikaikaikCeeBBe122aikaikaikeCkekBeBk112222从这四个方程中可解出从这四个方程中可解出B, B, C及及A 它们为它们为A, k1,k2,a的函数的函数. 其中有其中有: AekkekkekkCaikaikaik22212221121)()(4AekkekkakkkiAaikaik222122

56、2122221)()(sin)(2二二. . 几率流密度几率流密度: :rdtrwrdtrdW),(),(2),(),(2trwtr-几率密度几率密度本段讨论本段讨论 w ( r , t ) 随时间变化的情况：随时间变化的情况：（1）一维时的情况：）一维时的情况：),(),(),(),(*2txtxtxtxw),(),(),(),(*txttxttxtxtw由薛定由薛定谔方程：谔方程：),(),(2),(222txtxUxmtxtihh),(),(1),(2),(22txtxUixtxmitxthh1. 1. 几率流密度几率流密度: :把该式取复数共轭可得：把该式取复数共轭可得：),(),(1

57、),(2),(*2*2*txtxUixtxmitxthh把这两式代入前式可得：把这两式代入前式可得：),(),(),(),(2),(2*222*txxtxxtxtxmittxwh),(),(),(),(2*txxtxxtxtxxmih定义：定义：),(),(),(),(2),(*txxtxxtxtxmitxjxh- 几率流密度几率流密度上式可写为：上式可写为：0),(),(txjxttxwx（2）三维时的情况：）三维时的情况：),(),(),(),(*trttrttrtrtw),(),(2),(22trtrUmtrtihh ),(),(1),(2),(2trtrUitrmitrthh把该式取复

58、数共轭可得：把该式取复数共轭可得：),(),(1),(2),(*2*trtrUitrmitrthh(1)(2):),()2()1 (),(*可得trtr),(),(),(),(2),(*22*trtrtrtrmittrwh),(),(),(),(2*trtrtrtrmih这里使用了有关的矢量运算公式：这里使用了有关的矢量运算公式：定义：定义：),(),(*),(),(*2),(trtrtrtrmitrjh- 几率流密度几率流密度bababababa2)(bababa)(2上式可写为：上式可写为：0),(),(trjttrw- 连续性方程连续性方程（3）连续性方程的物理意义：）连续性方程的物理意

59、义：VVVrdtrjrdtrwdtdrdttrw),(),(),(由数学中的散度定理：由数学中的散度定理：SVsdtrjrdtrwdtd),(),(SVsdtrjrdtrj),(),(可得：可得：讨论该式的物理意义。讨论该式的物理意义。质量守恒方程质量守恒方程：电荷守恒方程电荷守恒方程),(),(trmwtr-质量密度质量密度*2),(hitrjmjm-质量流密度质量流密度SmVsdtrjrdtrdtd),(),(-质量守恒方程。质量守恒方程。),(),(trqwtre-电荷密度电荷密度*2),(mqitrjqjeh-电流密度电流密度SeVesdtrjrdtrdtd),(),(-电荷守恒方程。

60、电荷守恒方程。讨论讨论：这里的几率守恒有定域的性质：当微观粒子在空间：这里的几率守恒有定域的性质：当微观粒子在空间某处出现的几率小了，必然在另一些地方出现的几率增加了某处出现的几率小了，必然在另一些地方出现的几率增加了以使总的几率保持不变。如讨论：以使总的几率保持不变。如讨论：处全空间sdtrjrdtrwdtd),(),(由定域条件可知必有：由定域条件可知必有：0),(t则可得：则可得：0),(rtrj所以有：所以有：0),(全空间rdtrwdtd结论：在整个空间找到粒子的几率与时间无关。如果波函结论：在整个空间找到粒子的几率与时间无关。如果波函 数是已经归一化的，那末它将保持归一化的性质数是