有压管流显式计算

1、有压管道水力计算显式计算式张晓元 李长城（武汉大学水利水电学院 武汉市 430072）摘要 针对有压管道水力计算比较复杂的问题，本文通过对原隐式计算式进行处理和数值拟合，给出了紊流流动中的有压管道各类水力计算的显式计算式。求解流量的计算式是直接对原计算方程组进行推导所得，所得出的有压管道紊流流动的流量显式计算式与原隐式计算式成果完全一致。对于求解水头损失及管道直径的问题，本文通过对原隐式计算式进行处理和数值拟合，给出了相应的显式计算式。由此得出，对于有压管道中的水力计算问题，均可采用显式计算式直接计算，而不需要进行反复试算。管道水力计算显式计算式使有压管道的水力计算更为方便。关键词 有压管流

2、水力计算 显式计算式中图分类号 TV131.4文献标识码：A1 前言有压管流在实际工程中应用广泛。其水力计算包括三种类型：（1）管道系统及通过管道系统的水流流量已经确定，计算水流通过管道系统的水头损失，即已知管道粗糙度、管道直径、管道长度、流量及流体运动粘度，求沿程水头损失；（2）管道系统及水流通过管道系统的水头损失已经确定，计算管道系统所能通过的水流流量，即已知、及，求；（3）管道材料、通过管道系统的水流流量及水流通过管道系统的水头损失已经确定，计算所需管道直径，即已知、及，求。对管流的水力计算，现有的书籍给出的用公式进行计算方法是：应用计算流量的公式 （1）及计算水头损失的达西-威斯巴赫公

3、式 （2）再加上计算沿程水头损失系数的柯列布鲁克-怀特公式 （3）进行联立求解。以上各式中：为流量；为管径；为管长；为过水断面平均流速；为沿程水头损失；为沿程水头损失系数；为重力加速度，（称作雷诺数），为流体运动粘度。由于以上计算式中（3）式为隐式，因此，采用以上三式进行有压管道水力计算时，就必须进行试算，很不方便。但实际上通过对以上各式进行适当的处理，便可给出有压管道水力计算的显式表达式。2 有压管道显式计算式2.1 管道流量计算显式计算式当已知管道直径、管道粗糙度、流体运动粘性系数、管道长度及通过管道的水头损失，要求确定通过管道的水流流量时，由于管道过水断面的平均流速未知，雷诺数亦不能求得

4、，因而不能直接利用式（3）求出沿程水头损失系数，需反复试算。本文试图通过对各计算公式改变形式，并联立求解，给出直接计算流量的显式表达式。由连续性方程式（1），可得过水断面平均流速的表达式 （4）将式（4）带入式（2），可得流量、管径及沿程水头损失系数的关系式 （5）令表示单位长度上的沿程水头损失，称作水力坡度。式（5）可写成如下形式 （6）根据雷诺数的定义及连续性方程将雷诺数表示成以流量的关系式 （7）将式（7）带入式（3）可得 （8）将式（6）给出的以流量等表达的的关系式带入式（8），可得 （9）整理式（9）即可给出直接计算流量的表达式 （10）或写成 （11）式（11）即为在流体的流动状态

5、为紊流时，已知管径、管长、管道的相对粗糙度、流体运动粘性系数及通过管道的沿程水头损失，直接求解管流流量的计算式。2.2 管道紊流沿程水头损失系数显式计算式有压管道沿程水头损失的计算关键就是已知管道相对粗糙度及雷诺数，求沿程水头损失系数，若采用式（3）计算，则必须进行迭代。式（3）给出的的计算式适用于整个紊流区（包括光滑区、过渡粗糙区及粗糙区）。为了给出的显式计算式，可先分别对其两个极限状态（即光滑区和粗糙区）进行处理，给出他们各自的显式表达式，然后再统一给出整个紊流区的显式表达式。 紊流完全粗糙区沿程水头损失系数的显式计算式 根据式（3）即可给出紊流完全粗糙区与相对粗糙度的关系式 （12）上式

6、又可写成以下形式 （13）2.2.2 紊流光滑区沿程水头损失系数的显式计算式 根据式（3）可给出紊流光滑区与雷诺数的关系式 （14）从上式不能直接得出的显式计算式，但可得出与的离散点的关系，然后，通过曲线拟合即可得出的显式计算式 （15）2.2.3 管道紊流沿程水头损失系数的显式计算式综合式（13）及式（15）即可给出适用于管道紊流各流区的沿程水头损失系数的显式计算式 （16）2.2.4 管道紊流沿程水头损失系数显式计算式的误差由式（16）直接计算出的沿程水头损失系数（用表示）与由式（3）迭代计算得到的沿程水头损失系数（用表示）的相对误差见表1。表1 沿程水头损失系数相对误差值 /dRe0.0

7、1 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 100000000 0.003 0.016 0.091 0.431 1.080 80000000 0.004 0.020 0.107 0.479 1.070 50000000 0.005 0.028 0.148 0.578 0.999 10000000 0.020 0.096 0.378 0.636 0.441 8000000 0.024 0.113 0.417 0.585 0.349 5000000 0.035 0.157 0.493 0.435 0.155 1000000 0.123 0.418 0.425 -0.262 -0

8、.444 800000 0.146 0.466 0.353 -0.352 -0.513 500000 0.207 0.568 0.163 -0.522 -0.644 100000 0.630 0.681 -0.480 -0.828 -0.868 80000 0.724 0.649 -0.524 -0.826 -0.861 50000 0.955 0.557 -0.555 -0.777 -0.801 10000 2.037 0.692 0.152 0.086 0.079 8000 2.226 0.851 0.385 0.329 0.324 5000 2.699 1.362 1.028 0.990

9、 0.986 4000 2.978 1.701 1.419 1.387 1.384 根据表1所列数据绘制的相对误差等值线图见图1。图1 相对误差等值线图2.3 管道直径计算显式计算式为了得到管道直径与通过管道的水流流量、管道粗糙度、流体运动粘性系数、管道长度及通过管道的水头损失的显式关系式，则首先就必须将式（1）式（3）及雷诺数的定义式中的过水断面平均流速用流量及管道直径表示，因此对各计算式进行如下处理。沿程水头损失与流量、管径的关系式（5）又可写成如下形式 （17）引入无量纲管径，与以上类似，可引入无量纲管道粗糙度，通过量纲分析，还可引入无量纲流体运动粘度，可得，。将上述各关系式带入式（3）

10、，可得等式两端乘方并整理可得即 （18） （19）式（19）适用于整个紊流区，可先分别对其两个极限状态（即光滑区和粗糙区）进行处理，分别给出与及与的显式表达式，然后再统一给出整个紊流区的显式表达式，再将此无量纲显式计算式转换成用实际变量来表达即可给出管道直径的显式计算式。2.3.1 紊流完全粗糙区的显式计算式 根据式（19）即可给出紊流完全粗糙区与的关系式 （20）通过迭代计算，可得出与的离散点的关系，然后，通过曲线拟合即可得出的显式计算式 （21）2.3.2 紊流光滑区的显式计算式 式（19）给出紊流光滑区与的关系式 （22）迭代计算后得出与的离散点关系，拟合曲线后得出的显式计算式 （23）

11、2.2.3 管道直径的显式计算式综合式（21）及式（23）即可给出适用于整个紊流流动的与及的显式关系式 （24）将式（24）中的各无量纲量用实际变量代入，则上式成为 （25）整理后即可给出适用于整个紊流流动的管道直径的显式计算式 （26） 管道直径显式计算式的误差显式计算式（24）计算出的无量纲管道直径与由式（19）迭代计算得到的无量纲管道直径的相对误差（式中下标n表示新的显式计算式成果，下标o表示原隐式计算式成果）与及的关系见表2。管道直径与无量纲直径的关系为，因此，所以，在表2直接列出管道直径的相对误差。为了给出相对误差与及的关系，表2中同时算出其相应的（根据的定义即可得出其与及的关系为）

12、及（=）。表2 无量纲管道直径相对误差值计算表0.00060.0050.5140 0.5236 -1.84 0.01 4.1E+030.00010.0050.5079 0.5039 0.80 0.01 2.5E+040.000010.0050.5066 0.4990 1.52 0.01 2.6E+050.0000010.0050.5064 0.4985 1.59 0.01 2.6E+060.00000010.0050.5064 0.4984 1.60 0.01 2.6E+070.000000010.0050.5064 0.4984 1.60 0.01 2.6E+080.00060.00050.

13、4928 0.5045 -2.30 0.001 4.2E+030.00010.00050.4669 0.4640 0.64 0.001 2.7E+040.000010.00050.4536 0.4434 2.30 0.001 2.9E+050.0000010.00050.4516 0.4401 2.62 0.001 2.9E+060.00000010.00050.4514 0.4397 2.65 0.001 2.9E+070.000000010.00050.4513 0.4397 2.66 0.001 2.9E+080.00060.000050.4907 0.5020 -2.26 0.0001

14、 4.2E+030.00010.000050.4574 0.4553 0.45 0.0001 2.8E+040.000010.000050.4223 0.4170 1.27 0.0001 3.1E+050.0000010.000050.4057 0.4020 0.91 0.0001 3.2E+060.00000010.000050.4026 0.3995 0.78 0.0001 3.2E+070.000000010.000050.4023 0.3992 0.76 0.0001 3.2E+080.00060.0000050.4905 0.5018 -2.23 0.00001 4.2E+030.0

15、0010.0000050.4567 0.4543 0.52 0.00001 2.8E+040.000010.0000050.4168 0.4112 1.37 0.00001 3.1E+050.0000010.0000050.3830 0.3830 0.01 0.00001 3.3E+060.00000010.0000050.3636 0.3714 -2.10 0.00001 3.4E+070.000000010.0000050.3591 0.3694 -2.79 0.00001 3.4E+080.00060.00000050.4905 0.5017 -2.23 0.000001 4.2E+03

16、0.00010.00000050.4566 0.4542 0.53 0.000001 2.8E+040.000010.00000050.4165 0.4105 1.45 0.000001 3.1E+050.0000010.00000050.3800 0.3787 0.33 0.000001 3.4E+060.00000010.00000050.3481 0.3569 -2.45 0.000001 3.6E+070.000000010.00000050.3268 0.3475 -5.97 0.000001 3.7E+08根据表2所列数据绘制的管道直径显式计算式成果相对于原隐式计算式成果的误差等值

17、线图见图2。图2 管道直径显式计算式相对误差等值线图3. 结论针对工农业生产和人们生活中经常遇到的有压管道紊流流动状态下的水力计算比较复杂的问题，本文通过分析推导及对原隐式计算式处理和数值拟合，给出了紊流流动中的有压管道水力计算各类的显式计算式。对于求解流量的计算式，推导中所采用的公式为水力计算中最基本的连续性方程式、沿程水头损失计算式和适用于紊流光滑区、过度粗糙区及完全粗糙区的计算沿程水头损失系数的柯列布鲁克-怀特公式，因此，所得出的有压管道紊流流动的流量计算式可适用于紊流的整个计算区域内，显式计算成果与原隐式计算成果完全一致。对于求解水头损失及管道直径的问题，本文通过对原隐式计算式处理和数

18、值拟合，给出了相应的显式计算式，并对新的显式计算式成果相对于原隐式计算式成果的误差进行了分析，给出了相对误差等值线图。管道水流水力计算的显式计算式给有压管道的水力计算带来极大的方便。参考文献： 1 李炜、徐孝平，水力学，武汉：武汉水利电力大学出版社，2000，6。 2 清华大学水力学教研组，水力学（上册），北京：高等教育出版社，1995，7。 3 武汉水利电力学院水力学教研室，水力计算手册，北京：水利出版社，1980，12。 4 成都科技大学水力学教研室，北京：高等教育出版社，1979，3。The explicit formulae of the pipe-flow problemsAbstr

19、act: The hydraulic computations of the pipe-flows have been a little complicated for they have encountered a problem of the implicit form of the Colebrook-Write equation. By transforming the Colebrook-Write equation or choosing the proper nondimensional variables and fitting the suitable curves to the Colebrook-Write equation, the authors have got the explic