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文档简介

1、讲 授 内 容备 注第二十一讲二、广义积分敛散性的判定（十二法）1若，且可考察时，无穷小量的阶若阶数，则广义积分收敛；阶数时发散2若，可用比较判别法，或比较判别法的极限形式3若，考察是否关于一致有界4以上的条件，只要对于充分大的能保持成立即可5与同时收敛对有类似的方法6若时，无穷次变号，则上述判别法失效可考虑用或判别法7用或判别法判定为收敛，只是本身收敛至于是绝对收敛还是条件收敛，还有赖于进一步考虑收敛还是发散8以上方法失效，还可考虑用准则来判断9用定义，看极限是否存在10用分部积分法或变量替换法，变成别的形式的积分，看是否能判定它的敛散性11用级数的方法判定积分的敛散性12用运算性质判定敛散

2、性如若收敛，则收敛若收敛，发散，则发散注：对于无界函数的广义积分，以上各条都有类似的结论只是第1条要特别注意对无界函数的广义积分而言，此条应是趋向瑕点时，为无穷大量若无穷大量的阶数，则积分收敛若阶数，则积分发散例8 设在上连续， 对任意，有 另外试证：若，则收敛证（用比较判别法）当时，有即，当时因为，可取于是据比较判别法，积分收敛例9 设在上有定义，且在任意有限区间上可积又有定数，使得，对任意成立试证明：收敛证已知，使得，记，取，则故 对任意保持有界积分 收敛例10 设在区间里连续，且，对任何正整数，定义证明：广义积分收敛的充要条件是存在证充分性：当时，故的敛散性，可用非负函数的判别法进行判定

3、只需证明：当时，保持有上界在上连续，使得因而当时，在上恒有从而令，收敛必要性：对单调不减，且.关于单调有界且即单调有界，必存在极限存在例11 证明积分有意义证I积分时，故该积分为正常积分只要在处补充的值为零，则在上连续，积分有意义由判别法知，此积分收敛而在上单调有界，故由判别法知收敛综合，原积分有意义证II故该积分有意义例12 积分是否收敛？是否绝对收敛？证明所述结论解其中积分以为瑕点与同价所以积分收敛，上述积分为绝对收敛对积分可利用的展式，有于是而条件收敛，绝对收敛积分条件收敛故原积分条件收敛例13设为实数试讨论积分的敛散性解若，则不论，还是，积分发散若，则其中所以与积分同时收敛故当时收敛，即亦即时收敛被积函数为正，收敛为绝对收敛对于，只需讨论的情况当时（即）且收敛此时绝对收敛当时（即）单调减趋于零，由判别法知，收敛且由知非绝对收敛条件收敛当时（即），有知发散（准则）总之，原积分当时，绝对收敛；时，条件收敛；其他情况发散例14设在内可微，可积且当时，单调趋于零又积分收敛试证：收敛证已知收敛，只需证明存在收敛由准则，当时（

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