方法归纳构造基本图形解直角三角形的实际问题习题

1、方法归纳 构造基本图形解直角三角形的实际问题类型一 构造单一直角三角形解决【例1】如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C、B在同一条直线上，已知AC=32米，CD=16米，求荷塘宽BD为多少米？(取1.73，结果保留整数) 解：在RtACB中，CAB=60°，CB=AC·tan60°=32.DB=CB-CD=32-1639. 答：荷塘宽DB的长约为39米.【方法总结】通过构造单一的直角三角形,只要知道其中的一条边长和一个锐角,就可以利用解直角三角形的知识求出其余各边的长. 变式练习1 如图，在一次测量活动中，小华站在

2、离旗杆底部(B处)6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米.试帮助小华求出旗杆AB的高度.(结果精确到0.1米，1.732) 类型二 构造单一非直角三角形解决【例2】为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200 m，CAB=54°，CBA=30°，求隧道AB的长(参考数据：sin54°0.81，cos54°0.59，tan54°1.38，1.73，精确到个位). 解：过点C作CDAB于D.在RtBCD中，B=30°，BC

3、=200 m.CD=BC=100(m)，BD=100 m, 在RtACD中，tanCAB=,AD=72,AB=ADBD=245(m).答：隧道AB的长约为245 m.【方法总结】通过构造一个非直角三角形,已知其中的两角和一边,可过第三个角的顶点作高,将三角形转化为两个直角三角形,再利用解直角三角形的知识求出其余各边长. 变式练习2 如图某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？(参考数据：si

4、n36.9°，tan36.9°，sin67.5°，tan67.5°) 类型三 构造双直角三角形解决【例3】如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民.此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(1.41，1.73，2.45) 解：过点A作ADBC，交BC的延长线于点D. 由题意得DAC=4

5、5°，DAB=60°，ADBC,sinDAC=，cosDAC=，tanDAB=,即sin45°=，cos45°=，CD=AD=5，tan60°=，BD=5.BC=BD-CD=5-55.2(海里). 中国海监船赶到点C所用的时间为时，某国军舰到达点C所需的时间为时，中国海监船能及时赶到C地救援我国渔民.【方法总结】如图,构造两个直角三角形,利用解直角三角形的知识容易知道如下结果: tan=,tan=,a=-,b=,h=. 变式练习3 如图，王强同学在甲楼楼顶A处测得对面乙楼楼顶D处的仰角为30°，在甲楼楼底B处测得乙楼楼顶D处的仰角为4

6、5°，已知甲楼高26米，求乙楼的高度.(1.7) 类型四 构造梯形解决【例4】如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡BC的坡角B=30°，背水坡AD的坡度为1，坝顶DC宽25米，坝高CE是45米，求：坝底AB的长、迎水坡BC的长及BC的坡度(答案保留根号). 解：作DFAB于点F,作CEAB于点E.在RtADF中,DF=45 m,=,AF=45m.在RtBCE中,CE=45 m,BE=45.AB=(45+25+45)m.BC=90(m),iBC=. 【方法总结】通过作梯形的高,把梯形转化为直角三角形和矩形,利用解直角三角形等的有关知识加以解决,注意分清坡角和坡度的不同. 变式练习

7、4 如图，在一滑梯侧面示意图中，BDAF，BCAF于点C，DEAF于点E.BC=1.8 m，BD=0.5 m，A=45°，F=29°. (1)求滑道DF的长(精确到0.1 m)； (2)求踏梯AB底端A与滑道DF底端F的距离AF.(精确到0.1 m，参考数据：sin29°0.48，cos29°0.87，tan29°0.55) 参考答案例1变式练习1 在RtACE中，CEA=60°，CE=BD=6,tanAEC=，AC=CE·tanAEC=6tan60°=6，AB=AC+BC=6+1.510.39+1.5=11.89

8、11.9(米).例2变式练习2 设BC=x海里，由题意，易得AB=21×(14-9)=105(海里)，则AC=105-x(海里).在RtBCP中，tan36.9°=,PC=BC·tan36.9°=x.在RtACP中，tan67.5°=,PC=AC·tan67.5°=(105-x).x=(105-x),解得x=80.PC=x=60(海里),PB=100(海里).答：此时轮船所处位置B与城市P的距离约为100海里.例3变式练习3 作DEAB交AB的延长线于点E,则四边形BCDE是矩形.BC=DE.DAE=60°,DBE=45°.设DC=x,则AE=x-26.tanDAE=,DE=AE·tan60°=AE.tanDBE=1,DE=BE.x=AE=(x-26),x61.5.答：乙楼高为61.5米.变式练习4 (1)在RtDEF中，DEF=90°，DE=BC=1.8，F=29°，sinF=，