锐角三角形复习

1、第六章 三角形6.6解直角三角形教学目标：知识目标：立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能.能力目标：让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力情感与价值：通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展 教学重点与难点重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识教学过程：【知识回顾】ABCacb一、锐角三角函数的定义：1.如图，在RtABC中，C90°，A，B，C所对的边分别为a,

2、b,c,则sinA=,cosA=,tanA=,cotA=锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的. 特别提示:(1)当A为锐角时,0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0. (2)锐角A的正弦、正切值均随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.2.锐角三角函数的性质:(1)若A为锐角,则有sin(90°-A)=, cos(90°-A)=. (2)同角三角函数的关系:平方关系:sin2A+cos2A= . 商数关系: = . 二、特殊角的三角函数值：（并会观察其三角函数值随的变化情况）sincostanco

3、t30°45°1160°1三、解直角三角形（RtABC,C90°）三边之间的关系：a2+b2=c2两锐角之间的关系：AB90°边角之间的关系：sinA=,cosA=tanA=,cotA=解直角三角形中常见类型：已知一边一锐角已知两边解直角三角形的应用四、解直角三角形的应用1.解直角三角形的应用实际上是将实际问题通过图形使之转化到中,用锐角三角函数、代数与几何知识综合求解.  2.仰角和俯角:如图,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线上方的叫做,在水平线下方的叫做. 3.坡度(坡比)、坡角:通常把坡面的和的比叫坡度

4、(或叫做坡比),用字母 表示;坡面与水平面的夹角叫做,记作. 4.方位角:如图OA的方位角为角;OC的方位角为角. 【重点解析】知识考点01锐角三角函数的概念在直角三角形中,已知一锐角的三角函数值,求其他三角函数值时,常用比值设k法,运用勾股定理与三角函数定义求得结果.例1(2012·宁波)如图,在RtABC中,C=90°,AB=6,cosB= ,则BC的长为()A.4B. C. D. 【思路点拨】根据cosB=,可得 = ,再把AB的长代入可以计算出CB的长.【自主解答】cosB= = AB=6, CB= ×6=4. 【答案】A 【考点训练1】1.(2

5、012·内江)如图所示,ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinB的值为()A. B. C. D. 2.(2012·滨州)把ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值()A.不变 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定 3.(2011·福州质检)ABC中,a、b、c分别是A,B,C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是()A.bcosB=c B.csinA= C.atanA=b D.tanB= 知识考点02特殊角的三角函数 熟记特殊角的三角函数值是解决此类题的关键,特殊角的三角函数值可借助于直角三角板,根据三角函数定义得出:

6、例2(2012·南昌)计算:sin30°+cos30°·tan60°.【思路点拨】分别把各特殊角三角函数值代入,再根据二次根式混合运算法则进行计算即可.【自主解答】原式= + × = + =2. 【考点训练2】4.计算(-2)2+tan45°-2cos60°. 5.(2010·龙岩中考)计算:(2010-)0+-2tan45°+(-2)3.知识考点03解直角三角形及应用解直角三角形的几种类型如下:1.已知一条直角边和一个锐角(如a,A),其解法为:B=90-A, c= , b= (或b= );2

7、.已知斜边和一个锐角(如c,A),其解法为:B=90°-A, a=c·sinA, b=c·cosA(或b= );3.已知两直角边(如a,b),其解法为:c= , 由tanA= ,得A, B=90°-A;4.已知斜边和一直角边(如c,a),其解法为:b= , 由sinA= ,求出A, B=90°-A. 例3如图,在ABC中,B=45°,C=60°,AB=8,求AC.【思路点拨】作三角形的高AD,将原三角形转化为两个直角三角形求解.【自主解答】过点A作ADBC于D,在RtABD中, B=45°,BD=AD=AB

8、3;sin45°=8×= . 在RtACD中,AD=,C=60°AC=. 【考点训练3】6.(2011·三明中考)如图,小亮在太阳光线与地面成45°角时,测得树AB在地面上的影长BC=18 m,则树高AB约为m 7.(2013·宁德质检)为响应节能环保号召,小明家打算安装一台太阳能发电装置,已知当地安装电池板的最佳角度为60°.如图,按最佳角度安装,若斜杆AB长为1m,则垂直于地面的竖杆AC长应为m.(结果精确到0.01 m) 知识考点04解直角三角形的实际应用解直角三角形的应用题型主要有测量(测高求宽)

9、问题,修路筑坝(坡度)问题和航海安全(方位角)问题等,解决问题关键是构建直角三角形模型,把实际问题转化为数学问题来解决.例4要测量学校一幢教学楼的高度.如图,先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°,然后向教学楼前进60米到达点D,又测得点A的仰角为45°.请你根据这些数据,求出这幢教学楼的高度.(计算过程和结果均不取近似值)【思路点拨】RtACB和RtDAB有公共边AB,分别在这两个三角形中,用含AB的式子表示CB、DB,再根据CB-DB=CD=60列方程,求出AB.【自主解答】在RtDAB中,tan45°=1, DB=AB.在RtCBA中,tan30

10、76;= =, ., 3AB=(AB+60)·AB= =30+30(米).这幢教学楼的高度为(30+30)米.【探究拓展】方位角的应用方位角是在规定“上北下南,左西右东”的原则下,确定物体的位置的一种方法;方位角往往与解直角三角形的知识联系在一起进行考查,当然有时也与行程问题中的方程联系在一起. 例5 如图,一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行,在A处测得灯塔C在北偏西30°方向,轮船航行2小时后到达B处,在B处测得灯塔C在北偏西60°方向.当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时,求此时轮船与灯塔C的距离.(结果保留根号) 【思路点拨】结合方位角构造直角三角形

11、,再解直角三角形.【自主解答】由题意得CAB=30°,CBD=60°,ACB=30°.BCA=CAB. BC=AB=20×2=40.CDB=90°, sinCBD=,即:sin60°=.CD=BC×=40×=20(海里).此时轮船与灯塔C的距离为20海里.【考点训练4】1.如图所示,A、B两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB),经测量,森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心,50 km为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区?为什么?(参考数据: 1.732, 1.414)【解析】过点P作PQAB于Q,则有APQ=30°,BPQ=45°.设PQ=x,则PQ=BQ=x,AQ