数学北师大版九年级上册特殊平行四边形13正方形的性质与判定2同步训练含解析

1、2019-2019学年数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定（2）同步训练一、选择题1.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（） A. 3                                

2、60;       B. 12                                        C.

3、60;18                                        D. 362.矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A.对角线相等B.对角线互

4、相垂直C.对角线互相平分D.对角线平分一组对角3.如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（    ）A.                                   B

5、. 2                                   C.  +1            

6、0;                     D. 2 +14.如图，在正方形ABCD中，ABE和CDF为直角三角形，AEB=CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（   ）A. 7           &

7、#160;                           B. 8                    

8、0;                  C. 7                               

9、         D. 7 5.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（     ）A.5B.5 C.6D.6.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（    ）A.           &

10、#160;                            B. 2                   

11、0;                   C.                              &#

12、160;         D. 7.如图，在正方形ABCD中，ABE经旋转，可与CBF重合，AE的延长线交FC于点M，以下结论正确的是（   ） A. AMFC                          

13、;   B. BFCF                             C. BE=CE             

14、0;               D. FM=MC8.有3个正方形如图所示放置，直角三角形部分的面积依次记为A，B，则 A：B等于（    ）A.1： B.1:2C.2:3D.4:99.如图，在四边形ABCD中，ADCABC90°，ADCD，DPAB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是(   )A.3B.2 C.3 D.3 10.如图，点E在正方形ABCD的对角线

15、AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为(    )A.                                  

16、;  B.                                    C.           &

17、#160;                        D. 二、填空题11.如图,已知P是正方形ABCD外一点,且PA=3,PB=4 ,则PC的最大值是_；12.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，三角形AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：BE=DF，AG=2GC，BE+DF=EF，SCEF=2SABE正确的有_（

18、只填序号）13.在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，则PE和PC的长度之和最小可达到_14.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为_15.如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，BGEF，点G为垂足，AB=5，AE=1，CF=2，则BG=_ 16.在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，EFAE交BC于点F，且F为BC的中点，若AB=4，则EF=_三、解答题17.如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一点，AFBE于F，CGBE于G（1）若FAE=20°

19、，求DCG的度数； （2）猜想：AF，FG，CG三者之间的数量关系，并证明你的猜想 18.已知：如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC（1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果BE=BC，且CBE：BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形 19.如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D出发，以2 cm/s的速度同时分别向点B，C，D，A运动（1）在运动的过程中，四边形EFGH是何种四边形？请说明理由 （2）运动多少秒后，四边形EFGH的面积为52cm2？ 20.如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上

20、一点，点P是对角线BD上一点，且PEPC（1）求证：PCPE； （2）若BE2，求PB的长. 21.如图，在四边形纸片ABCD中，B=D=90°，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都和点G重合，EAF=45°（1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）求证：三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半； （3）若EC=FC=1，求AB的长度 答案解析部分一、选择题 1.【答案】C 【考点】正方形的性质 【解析】【解答】解：正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，AB=BC，OA=OC，AB= ，正方形的面积= ，故选C

21、【分析】根据正方形的性质和正方形的面积解答即可2.【答案】A 【考点】菱形的性质，矩形的性质 【解析】【解答】解： 矩形的对角线互相平分、相等，菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，故答案为：A【分析】从矩形和菱形的对角线的性质去解答此题。3.【答案】B 【考点】勾股定理，正方形的性质 【解析】【解答】解：正方形ABCD的面积为1，BC=CD= =1，BCD=90°，E、F分别是BC、CD的中点，CE= BC= ，CF= CD= ，CE=CF，CEF是等腰直角三角形，EF= CE= ，正方形EFGH的周长=4EF=4× =2

22、 ；故答案为：B【分析】根据正方形ABCD的面积，求出边长，由E、F分别是BC、CD的中点，由正方形的性质，得到CEF是等腰直角三角形，根据勾股定理求出EF的值，得到正方形EFGH的周长.4.【答案】C 【考点】正方形的性质 【解析】【解答】解：如图所示：四边形ABCD是正方形，BAD=ABC=BCD=ADC=90°，AB=BC=CD=AD，BAE+DAG=90°，在ABE和CDF中， ，ABECDF（SSS），ABE=CDF，AEB=CFD=90°，ABE+BAE=90°，ABE=DAG=CDF，同理：ABE=DAG=CDF=BCH，DAG+ADG=C

23、DF+ADG=90°，即DGA=90°，同理：CHB=90°，在ABE和ADG中， ，ABEADG（AAS），AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，EG=GF=FH=EF=125=7，GEH=180°90°=90°，四边形EGFH是正方形，EF= EG=7 ；故答案为：C【分析】由正方形的性质得出BAD=ABC=BCD=ADC=90°，AB=BC=CD=AD，由SSS证明ABECDF，得出ABE=CDF，证出ABE=DAG=CDF=BCH，由AAS证明ABEADG，得出AE=

24、DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，得出EG=GF=FH=EF=7，证出四边形EGFH是正方形，即可得出结果5.【答案】D 【考点】正方形的性质，轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小四边形ABCD是正方形，B、D关于AC对称，PB=PD，PB+PE=PD+PE=DEBE=2，AE=3，AE=3，AB=5，DE= ，故PB+PE的最小值是 故答案为：D.【分析】连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，利用正方形的性质可得出B、D关于AC对称，可得出PB=PD，

25、因此求PB+PE的值就转化为求DE的长，利用勾股定理可解答。6.【答案】C 【考点】勾股定理，正方形的性质 【解析】【解答】解：如下图，连接AC、FC，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，AB=BC=1，EF=CE=3，A=E=90°，ACD=GCF=45°，AC= ，CF= ，ACF=ACD+GCF=90°，AF= ，又点H是AF的中点，CH= AF= .故答案为：C.【分析】利用正方形的性质，可证得ACF是直角三角形，利用勾股定理分别求出AC、CF的长，再求出AF的长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CH的长。7.【答案】A 【考点】

26、正方形的性质，旋转的性质 【解析】【解答】解：ABE经旋转，可与CBF重合， BAE=BCF，ABE=CBFBCF+BFC=90°BFC+BAE=90°FMA=90°AMFC故选：A【分析】依据旋转的性质可知BAE=BCF，然后可证明BFC+BAE=90°，从而可得到问题的答案8.【答案】D 【考点】勾股定理，正方形的性质 【解析】【解答】解：如答图所示：设大正方形ABCD的边长为a，则小正方形BEFG的边长为 a，CE=BE=EF= a.AB=BC=a，B=90°，AC= =  = a，AM=HM=MJ=IJ=CJ= a，AH= A

27、M= × a= a，DH=AD-AH=a- a= a=DI，S1= DH·DI= × a× a= a2 ， S2= CE·EF= × a× a= a2 ， S1:S2= a2: a2=4:9.即A:B=4:9.故答案为：D.【分析】设大正方形ABCD的边长为a，可表示出小正方形BEFG的边长，利用勾股定理求出AC的长，利用正方形的性质，可证得AM=HM=MJ=IJ=CJ，再用含a的代数式表示出AH、DH的长，然后用含a的代数式表示出S1和S2 ， 就可求出它们的比值。9.【答案】C 【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的判

28、定与性质，几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：如图，过点D作DEDP交BC的延长线于E,ADC=ABC=90°,四边形DPBE是矩形,CDE+CDP=90°,ADC=90°,ADP+CDP=90°,ADP=CDE,DPAB,APD=90°,APD=E=90°,在ADP和CDE中, ,ADPCDE（AAS）DP=DE四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18,矩形DPBE是正方形,DP= 故答案为: 【分析】过点D作DEDP交BC的延长线于E，可证四边形DPBE是矩形，再证明ADPCDE，得出DP=DE，就可得出矩形D

29、PBE是正方形，利用割补法可知四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，就可求出DP的长。10.【答案】A 【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：如图，可得EPMEQN，四边形EPCQ是正方形，又EP/AB，EC=2AE ，则可得CP=2BP，则有BP= BC=  a，S重叠部分=S正方形EPCQ=  ；故答案为：A.【分析】过E作EPBC于点P，EQCD于点Q，EPMEQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解。二、填空题 11.【答案】 【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质 【

30、解析】【解答】解：如图，过点B作BEBP，且BE=PB，连接AE、PE、PC，则PE= PB=4 ，ABE=ABP+90°,CBP=ABP+90，ABE=CBP，在ABE和CBP中， ，ABECBP(SAS)，AE=PC，由两点之间线段最短可知，点A. P、E三点共线时AE最大，此时AE=AP+PE= ，所以,PC的最大值是 .故答案为： .【分析】过点B作BEBP使点E在正方形ABCD的外部，且BE=PB，连接AE、PE、PC，然后求出PE=PB，再证出ABE=CBP，然后利用“边角边”证明ABE和CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=PC，再根据两点之间线段最短可知点A、

31、P、E三点共线时AE最大，也就是PC最大。12.【答案】 【考点】全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，正方形的性质 【解析】【解答】解：AEF为等边三角形，AE=AF，四边形ABCD为正方形，AB=AD，B=D=BAD=90°，在RtABE和RtADF中RtABERtADF，BE=DF，所以正确；BAE=DAF，AC平分BAD，BAG=FAG，AG垂直平分EF，CG= EF，即EF=2CG，而EFAG，AG2CG，所以错误；EAG=30°，BAE=15°，BEEG，BE+DF=2BE，EF=2EG，BE+DFEF，所以错误；延长CB到F

32、使BF=DF，作EHAF于H，如图，易得ABFABE，EAF=30°，设CG=x，则EG=GF=x，AE=2x，EH=x，SAFE= 2xx=x2 ， SCEF= x2x=x2 ， SCEF=2SABE ， 所以正确故答案为【分析】根据已知条件易证ABEADF，可得出BAE=DAF，BE=DF，可对作出判断；由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，可证得EF=2CG，由EFAG，可对作出判断；再证明BEEG，证得BE+DFEF，可对作出判断；设EC=x，BE=y，利用三角形的面积公式分别表示出SCEF和2SABE ， 就可以得出SCEF=2SABE ， 可对作

33、出判断。从而可得出答案。13.【答案】【考点】勾股定理，正方形的性质，轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【解答】解：如图,连接AE,因为点C关于BD的对称点为点A,所以PE+PC=PE+AP,根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值,CE1，BE=2,ABBC3，在RtABE中，AE=  ，PE+PC的最小值是 ；故答案是 。【分析】连接AE，根据正方形的性质，可知点C关于BD的对称点为点A，可得出PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短，可得AE就是AP+PE的最小值，再利用勾股定理求出AE的长，即可解答。14.【答案】 【考点】勾股定理，三角形中位线定理，正方形的

34、性质 【解析】【解答】解：延长GE交AB于点O，作 于点H，P 是 的中点,PH是 的中位线，   中,  , 是等腰直角三角形,即  同理 中,    在 中,  故答案为: 【分析】延长GE交AB于点O，作PHOE于点H，可证得PH是OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，然后在RtPGH中利用勾股定理求解。15.【答案】 【考点】正方形的性质 【解析】【解答】解：如图，连接BE、BF 四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD=5，AE=1，AF=2，DE=4，DF=3，EF= =5，SBEF= EFBG=S正方形ABCDS

35、ABESBCFSDEF ， 5BG=25 51 52 34，BG= ，故答案为 【分析】如图，连接BE、BF首先利用勾股定理求出EF，再根据SBEF= EFBG=S正方形ABCDSABESBCFSDEF ， 列出方程即可解决问题16.【答案】 【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质 【解析】【解答】解：过点E作EMAD于M，交BC于N，如图，四边形ABCD为正方形，ADBC，BDM=45°，MN=CD=4，ME=DM，设ME=x，则DM=x，AM=4x，NE=4x，AM=EN，F为BC的中点，FN=2x，EFAE，AEM=EFN，在AEM和EFN中 ，AEMEFN，M

36、E=FN，即x=2x，解得x=1，FN=1，EN=3，EF= = 故答案为 【分析】过点E作EMAD于M，交BC于N，根据正方形的性质，易证MN=CD=4，ME=DM，设ME=x，则DM=x，AM=4x，NE=4x，再表示出FN的长，然后证明AEMEFN，可得出ME=FN，就可求出x的值，得出FN、EN的长，利用勾股定理求出EF的长即可。三、解答题 17.【答案】（1）解：四边形ABCD是正方形， ABC=D=90°，AFBE，CGBE，AFE=CGE=90°，FAE=20°，FED=FAE+AFE=20°+90°=110°，DCG=

37、360°-D-FED-CGE=360°-90°-110°-90°=70°（2）解：猜想：CG=AF+FG，证明：ABF+CBG=90°，CBG+BCG=90°，ABF=BCG，在ABF和BCG中  ABFBCG（AAS），AF=BG，BF=CG，CG=BF=BG+FG=AF+FG 【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质 【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可得出ABC=D=90°，根据三角形的外角定理求出FED的度数，再根据四边形内角和求得结论。（2）利用ABF+CBG=90°

38、，CBG+BCG=90°，证得ABF=BCG，再证明ABFBCG，由全等三角形的性质证得BF=CG，AF=BG，根据线段的和差和等量代换即可求得结论。18.【答案】（1）证明：在ADE与CDE中， ，ADECDE，ADE=CDE，ADBC，ADE=CBD，CDE=CBD，BC=CD，AD=CD，BC=AD，四边形ABCD为平行四边形，AD=CD，四边形ABCD是菱形（1）（2）证明：BE=BC，BCE=BEC，CBE：BCE=2：3，CBE=180×  =45°，四边形ABCD是菱形，ABE=45°，ABC=90°，四边形ABCD是正

39、方形 【考点】菱形的判定与性质，正方形的判定 【解析】【分析】（1）先证明ADECDE，由全等三角形的性质可得ADE=CDE，由ADBC可得ADE=CBD，易得CDB=CBD，可得BC=CD，再证AD=BC，利用平行四边形的判定定理，可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形。（2）由BE=BC可得BEC为等腰三角形，可得BCE=BEC，利用三角形的内角和定理及CBE：BCE=2：3，可求出ABE的度数，就可证得ABC=90°，由有一个角是直角的菱形是正方形，可证得结论。19.【答案】（1）解：四边形EFGH为正方形理由如下：设运动时间为t s，则AEBFC

40、GDH2tcm，在正方形ABCD中，ABCD90°，ABBCCDDA，BECFDGAH.在AEH和BFE中， ，AEHBFE，同理可证：AEHBFECGFDHG，EHFEGFHG，四边形EFGH为菱形AEHBFE，AEHBFE，而BFEBEF90°，AEHBEF90°，HEF90°，四边形EFGH为正方形（2）解：设运动的时间为x s，则AEBFCGDH2xcm.ABBCCDDA10cm，BECFDGAH(102x)cm.由勾股定理得S四边形EFGHEH2AE2AH2(2x)2(102x)28x240x100.当S四边形EFGH52 cm2时，8x240

41、x10052，即x25x60，解得x12，x23.当x2时，AE2x2×2410；当x3时，AE2x2×3610.x2或3均符合题意故运动2s或3s后，四边形EFGH的面积为52cm2. 【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质 【解析】【分析】（1）设出运动时间，表示出AE，BF，CG，DH的长度，可知AE=BF=CG=DH，由题意即得出BE=CF=DG=AH，再证明AEHBFECGFDHG，利用全等三角形的性质得出EHFEGFHG，可证四边形EFGH是菱形，通过求HEF=90°即可推出结论。（2）设运动时间为x，依据勾股定理推出，EH2=AE2+AH2=8x2-40x+100，由S四边形EFGH=EH2=52，列出方程8x2-40x+100=52，解方程即可推出