避免分类讨论的策略

1、避免分类讨论的几种策略徐学军一些看似需要分类讨论的数学问题，虽然表现形式可能较为复杂，但其本质常存在简单的一面。因此，如果能用简单的观点、简化的方法对问题的各种情形实施综合、排除、转化等策略，则往往能找到解决问题的简易途径。一、充分利用隐含条件，缩小参数的取值范围例1 解关于x的不等式。解：因为x3，所以且。所以原不等式化为。即所以。解得x>7。所以原不等式的解集为。例2 已知实数x满足不等式。求x的取值范围。解：因为所以x>4或x<1。又因为所以x>4，此时所以原不等式可化为解得所以，所以原不等式的解集为例3 已知ABC中，角A、B、C成等差数列，求cosA的值。解：

2、因为，所以。又因为角A、B、C成等差数列，所以。这样是不可能的，因此。所以。所以二、将各种情形给予综合考虑，对问题进行整体处理例4 设函数。若0<a<b，且。证明：ab<1。解：因为，即所以所以即因为，所以所以，所以。所以ab<1。例5 圆的圆心C与抛物线的焦点F分居直线的两侧，求a的取值范围。解：求得C和F的坐标分别为C（a，1）、F（0，）因为圆心C与焦点F分居直线的两侧。所以C和F的坐标代入直线方程的左侧应为异号。即化简得所以。三、一些对称性问题，由于参数的地位均等，可以只考虑一种情形例6 （18届全苏中学生数学竞赛题）证明对任意实数a和任意正整数x、y有。证法1

3、：因为，所以原不等式等价于。又因为a为任意实数所以不妨设所以，又因为所以。所以原不等式成立。证法2：左右。例7 已知锐角、满足等式。求证：。证明：不妨设，则。又因为所以当且仅当时，等号成立。所以。四、跳出常规思维，转变考虑问题的角度例8 已知m、x为实数，且当时，不等式恒成立，求x的范围？解：令由题意可知，当时，不等式恒成立。因为为关于m的一次函数。所以只要即解得。说明：若用分类的方法，需对的符号进行讨论。例9 从6名短跑运动员中选出4个，参加4×100米接力赛，如果甲、乙两人不跑第一棒，则不同的参赛方案有几种？解：第一棒由甲、乙以外的4人中选一人参加，共有种方法；另三棒由剩下的5人

4、中选出三人参加，共有种方法。所以满足条件的参赛方案共有种。说明：若对甲、乙是否入选进行讨论，则需分4种情况。例10 已知关于x方程，问a为何值时，方程至少有一个整数根？解：若，则原方程为，矛盾！所以时，故原方程可化为因为aN，所以解得又因为xZ，且当x=0时，。所以x=3或x=1，此时a=1。所以当a=1时，方程有两个整数根3和1。说明：如果用求根公式解出x，再由a的值来讨论根的情况，运算就较为复杂。用构造法解三角求值题山西省大同县第二小学 贾海英用构造法求值极具巧思，关键是根据题中信息恰当创作一个新形式，使复杂问题简捷获解。本文举例介绍几种方法，供大家参考。一、构造互余式例1. 求的值。解：

5、设则二、构造和差式例2. 求的值。解：设，则三、构造方程（组）例3. 已知，求。解法一：将的两边平方，得：构造方程，则与是此方程的两个根。解此方程，得由知解法二：由得，设，于是有，消去y，得：解之，得：四、构造图形例4. 已知，且，试求与的值。解：，且依数字特征，构造RtABC（如图）。由，知据图形得五、构造数列例5. 已知，试求的值。解：构造等差数列，则（d为公差）两式平方、相加，得解之，得由知即例6. 在锐角ABC中，已知ABC，且，试求的值。解：及，且构造等比数列则，（q为公比，且）又，即解之，得（，舍）利用交点特征 研究图象性质肖泰来在三角函数图象性质的学习中往往会遇到直线ya与正、余

6、弦型函数图象相交的情形，以此为背景的题目有一定难度。正确地利用图象中的交点特征，是解决此类问题的关键，下面予以说明。1. 利用闭区间上的交点个数，来确定周期范围例1. 要使函数的值在区间a，a3上出现的次数不少于4次，不多于8次（），则k的值是_。分析：运用图形，知道与的图象相交时，每个周期内（半开半闭区间）都有两个交点，根据已知，需保证f(x)在长度为3的闭区间上，至少出现2个周期，至多出现4个周期，于是故有解得又因为，所以k2或32. 当交点为最值点时，可把相邻两点间的长度视为周期例2. 已知为偶函数（）其图象与直线y2相邻的两交点，横坐标为x1，x2，则常数_，_。分析：由于函数为偶函数

7、，易知因为，所以于是再根据最值点的特征，这样求得3. 当各个交点间隔相等时，要考虑直线的特殊位置例3. 已知，又的所有正根依次成等差数列，求f(x)的解析式，最小正周期和单调减区间。分析：因为f(x)3可由方程有正根且依次成等差数列，再转化成直线与的图象相交，且使y轴右方交点间的距离相等。考虑直线的特殊位置，显然有以下三种情况：（1），此时f(x)的最小正周期为6，单调减区间为（2），结论同上；（3），无解4. 利用交点间隔，寻找相应周期，计算线段长度例4. 曲线和直线，在y轴右侧交点，按横坐标从小到大依次记为P1、P2、P3、，则等于_。分析：由于可化为从而得到由与两图象交点知所以利用数学思

8、想处理三角函数问题陈显宏1. 数形结合思想体现在三角函数中是利用单位圆中三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等。例1. 从小到大的顺序是_。解析：这些角都不是特殊角，求出值来再比较行不通，若注意到相差较大，容易利用单位圆上的三角函数线区分它们各自函数值的大小。设（如图所示）可知b<0<a<c应填例2. 函数的定义域是_。解析：该函数定义域即不等式组的解集，即的解集，若用传统方法则要求与的交集，不太方便。若画出y=cosx，的图象（如图所示）由，易得2. 转化与化归思想体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、

9、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。例3. 若，则（ ）A. B. C. D. 解析：若直接比较a与b的大小比较困难，若将a与b大小比较转化为的大小比较就容易多了。因为又因为所以，所以又因为a，b>0，所以a<b故选（A）。例4. 求函数的值域。解析：先切割化弦，统一函数名称，得：令因为，所以于是求原函数的值域转化为求函数，由的值域，易得，所以原函数的值域为。3. 函数与方程思想的应用体现在三角函数中是用函数的思想求解范围问题，用方程的思想解决求值、证明等问题。例5. 已知函数，当有实数解时，求a的取值范围。解析：由得分离a得：问题转化为求a的值域。因为所以故当时，有实

10、数解。例6. 已知，求的值。解法1：只需求的某个三角函数或的值，又只需用倍角公式把已知条件“缩角升幂”转化为解三角方程。由倍角公式，原方程化为：分解因式得：由所以得解法2：可以将原方程配方转化得：即得因为则所以只有解得所以4. 分类讨论思想体现在三角函数中是根据求值或求角的需要对角的范围或参数的范围展开有序的讨论。例7. 已知：，求的值。解析：由已知条件得：即因为所以所以这里要求即求，需要去掉绝对值，从而对的符号要展开讨论：（1）当时，所以；（2）当时，所以；综上5. 分析与综合的思想体现在三角函数中是把多边形分割为三角形，把求某值转化为求另外的值等，然后依据分析结果，综合写出求解过程。例8.

11、 设，则arc cosx的取值范围是_。解析：运用分析与综合的思想方法，先分析x的取值范围，再综合求arc cosx的取值范围。因为则所以即所以填例9. 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。解析：先分析如何找到解题的突破口，再综合写出解题过程，如图所示，连结BD，则四边形ABCD的面积。而两个三角形的两边已知，只须求得已知两边的夹角的正弦值，又，只需求得其中一个角的正弦值或余弦值，解题从求余弦值开始，连结BD，在ABD中，由余弦定理，得：在CBD中，同理得：所以化简得2+cosA=3cosC又因为所以且sinA=sinC所以2cosC

12、=3cosC则所以四边形ABCD的面积：6. 整体思想的应用体现在三角函数中主要是整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数性质等。例10. 已知（1）求的值；（2）求的值。解析：由条件和问题联想到公式，可实施整体代换求值。（1）由平方，得：即因为又因为所以故（2）影响高中数学成绩的原因和解决方法2006-10-2311:16页面功能 【字体：大 中 小】【打印】【关闭】面对众多初中学习的成功者沦为高中学习的失败者，笔者对他们的学习状态进行了研究、调查表明，造成成绩滑坡的主要原因有以下几个方面。1被动学习。许多同学进入高中后，还像初中那样，有很强的依赖心理，跟随老

13、师惯性运转，没有掌握学习主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。没有真正理解所学内容。2学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。也有的晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。3不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基本知识、

14、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高鹜远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。4进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数在闭区间上的最值问题，函数值域的求法，实根分布与参变量方程，三角公式的变形与灵活运用，空间概念的形成，排列组合应用题及实际应用问题等。客观上这些观点就是分化点，有的内容还是高初中教材都不讲的脱节内容，

15、如不采取补救措施，查缺补漏，分化是不可避免的。高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动为主动。针对学生学习中出现的上述情况，教师应当采取以加强学法指导为主，化解分化点为辅的对策：1加强学法指导，培养良好学习习惯。良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动学生主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。课前自学是学生上好新课，取得较好学习效果的基础

16、。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习主动权。自学不能搞走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲课的思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。上课是理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可略；什么地方该精雕细刻，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。及时复习是高效率学习的重要一环，通过反复阅读教材，多方查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比较，一边复习一边将复习

17、成果整理在笔记上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。独立作业是学生通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程是对学生意志毅力的考验，通过运用使学生对所学知识由“会”到“熟”。解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神，做错的作业再做一遍。对错误的地方没弄清楚要反复思考，实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的地方拿出来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，长期坚持使对所学知识由“熟”到

18、“活”。系统小结是学生通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与有关资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系。以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富学生的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能满足和发展他们的兴趣爱好，培养独立学习和工作能力，激发求知欲与学习热情。2循序渐进，防止急躁由于学生年龄较小，阅历有限，为数不少的高中学生容易急躁，有的同学贪多求快，囫囵吞枣，有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就，有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。针对这些情况，教师要让学生懂得学习是一个长期的巩固旧知识、发现新知识的积累过程，决非一朝一夕可以完成，为什么高中要上三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。3研究学科特点，寻找最佳学习方法数学学科担负着培养学生运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学